小学数学协作学习课堂教学设计范式构建研究——基于认知心理学和协作学习理论

陈发军 张曼姿

(1.广东教育研究院，广东 广州 510030；2.广州市第十六中学东华实验学校，广东 广州 510100)

《义务教育数学课程标准(2011年版)》在各学段安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”，其课程目标从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面进行阐述。根据小学数学低年级和高年级的课程内容和目标，运用认知心理学理论，构建了概念教学、运算教学、操作技能教学、统计概率教学、解决问题教学等五大类课型的课堂教学设计范式。

一、小学数学协作学习课堂教学设计范式构建的理论基础

1.认知心理学理论

现代认知心理学把个体的知识分为两类：一类为陈述性知识，另一类为程序性知识。陈述性知识是个人有意识地提取线索，因而能直接陈述的知识；程序性知识是个人没有有意识地提取线索，只能借助某种作业形式间接推测其存在的知识，它主要用来解决怎么办的问题。[1]

陈述性知识能用多种不同的方式来表征信息，安德森(Anderson，1983，1993)提出了三种不同类型的组块，每一种组块都储存了不同类型的信息：(1)时间序列；(2)表象；(3)命题。[2]时间序列保存的是我们对事情发生的时序和顺序的知觉。表象是表征物体所在空间位置的信息组块。表象与我们的视知觉紧密联系，当我们知觉某项经验的重要方面为空间关系时，我们往往将信息贮存为表象。命题是一种基于语言的表征，它储存了一个信息组块中至少两个元素间的语义联系。陈述性知识主要以命题网络或图式表征，命题网络是多个命题通过共同成分彼此联系以层次结构的形式贮存。图式是根据客体的一组属性组合表征一类客体的结构。它是人在某特定领域中拥有的、有组织的及有内在联系的陈述性知识的记忆结构。[2]图式包括自然范畴的图式、脚本、文本图式三种类型。陈述性知识学习包括符号表征学习、概念学习和命题学习。符号表征学习，指学习单个符号或一组符号的意义。课程标准中提出要注重发展学生符号意识，“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”[3]符号表征学习是贯穿于整个数学学习过程之中的，那就是数学符号与它们所代表的数学意义在学生认知结构中建立相应的等值关系，以此为基础进入命题学习，也就是学习若干事物或性质之间的关系。命题学习必须以概念学习为前提。因此，小学数学概念教学是作为第一类课堂教学设计范式提出来的。

“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”[3]通过练习，运算技能是能够达到高度自动化的程序性知识，因此，小学数学运算教学应该以自动化程序性知识学习过程和条件为依据来设计课堂教学范式。

课程标准中提倡学生动手实践、自主探索，通过观察、实验和操作进行验证、猜想和推理。操作技能属于程序性知识中的动作技能，动作技能同样能够通过练习达到高度自动化程度。小学数学课程中，特别是在图形与几何的学习方面，学生要掌握测量和画图、图形平移和旋转、图形投影和视图等操作技能，经历借助图形思考问题的过程，建立几何直观。这类操作技能应以动作技能的程序性知识学习原理进行教学设计。

课程标准中对于小学阶段“统计与概率”的目标为：能对调查过程中获得的简单数据进行归类，体验和认识数据中蕴涵着信息，发展数据分析观念；经历数据的收集、整理和分析的过程，掌握一些简单的数据处理技能；体验随机事件和事件发生的可能性，通过实例感受简单的随机现象；能借助计算器解决简单的应用问题。在此过程中，通过观察、实验、猜想、验证等活动，发展合情推理能力。这类学习更接近于探究性学习，或者说是准科学研究范式的学习，在加涅的认知结果分类中属于认知策略。认知策略属于智慧技能，认知心理学将智慧技能分为两个亚类：一类用于对外办事，一类用于对内调控。认知策略是学习者用以支配自己的心智加工过程而组织起来的智能。同时加涅认为程序性知识分为两个亚类：一类通过练习，其运用能达到相对自动化程度，很少或不需要受意识控制；另一类一般是受意识控制的，其运用难以达到自动化程度。前一类可与加涅的智慧技能大体对应(也包括动作技能)；后一类与加涅的认知策略大体对应。前一类程序性知识譬如运算、阅读、书写以及动作技能类的例如舞蹈、驾驶、球类运动等。后一类程序性知识，或者说认知策略，例如写作策略、阅读策略等，这些认知策略需要学生的反省认知，“认知策略的习得不仅包括具体方法、技术的掌握，还要学会监控自己的策略执行情况，并了解不同策略适用的条件或情境”。因此，统计与概率课堂教学设计主要运用认知策略的学习原理加以构建。

美国心理学家纽厄尔与西蒙认为：“问题是这样一种情景，个体想做某件事，但不能即刻知道做这件事所采取的一系列行动。”张春兴(1998)解释为“个人在有目的待追求而尚未找到适当手段时感到的心理困境。”问题皆可用问题空间、初始状态、目标状态和算子加以描述。“所谓问题空间，是问题解决者内部(或心理)对问题解决的表征，包括初始状态、当前状态和目标状态，还包括使问题从一种状态改变为另一种状态的算子。”[4]因此问题空间是一种心理空间，它可外化为对问题各种状态和心理或行为上的操作。[5]信息加工心理学家一般把解决问题过程分解为问题表征、设计解题计划、执行解题计划和监控四个步骤。问题表征指形成问题空间，包括明确问题的给定条件、目标和允许的操作。事实上，问题表征也就是我们通常所说的“审题”，换言之，就是理解题意的过程。设计解题计划指确定解题的步骤和方法，对问题进行重新表述，使之更加接近学科能够解决的问题，建立问题的目标、子目标及其层次结构。执行解题计划指运用学科知识采取一系列行动贯彻解题计划，如运用公理、定理、定律等进行运算或其他操作。监控指问题解决者对自己的思维过程进行判断和评价，分析和反思问题解决的行动过程是否恰当。《义务教育数学课程标准》在问题解决总目标方面是这样阐述的：初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识；学会与他人合作交流；初步形成评价与反思的意识。小学阶段的问题解决主要培养学生以下能力：尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决；能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性；经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程。从课程标准和认知心理学角度看待小学数学问题的解决，可以看出学生解决数学问题的能力可以分解为应用三类知识的能力：问题表征，即问题的表层和深层理解需要陈述性知识，涉及语词知识、事实知识和问题类型知识；解题计划的执行需要程序性知识，主要为运算技能；解题计划的设计与监控需要运用策略性知识，包括反省认知知识。可以说，问题解决的课堂教学设计范式要综合运用到认知心理学中三类知识(包括动作技能)的学习原理。

2.协作学习理论

建构主义认为：学生与其环境，尤其是与其环境中的他人的互动，会影响他们所形成的理解类型。因此，应允许学生对问题的不同观点展开辩论；学生需要学会使用技术的能力，以便拓展自己解决问题的能力；学生需参与到合作解决问题的活动中，特别是那些要求学生在解决问题时贡献其不同专长的活动；学习的经历应延伸至学生所处的群体。[2]教师需要创设情境让学生有机会与成年人和同伴一起学习而建构理解，达到此目的的一个途径是通过在学生学习或解决问题时，提供支架来创设与成人或同伴共同学习的问题解决或学习情境；另外一个途径是创设诸如合作学习等小组学习情境。协作学习(Cooperative Leaning)也称为合作学习，它是学生一起工作完成共享目标的学习方式。有效合作学习的方法有五个共同的特征：有效的合作学习中，学生分配在小组中共同工作，面对面互动，从而达到个人的目标和小组的目标；有效的合作学习会促进积极的相互依赖感，学生相信必须通过彼此帮助才能取得成功；有效的合作学习赋予每个个体以责任，教师通过测验每个个体或者让他们负责部分项目来激发他们的个人责任感；在有效的合作学习中，学生在与他人互动时学习使用适当的社会技能。当你使用合作学习的方式进行教学时，不仅要帮助学生达到学业目标，也要帮助他们学会在小组中更为有效地互动；有效的合作学习要给学生时间让他们讨论小组的运作技能，让他们思考如何能够合作得更好以及未来如何改进这种合作。合作学习类型有学习小组成就区分法、组合阅读以及小组探究等。[2]

二、小学数学五大类型课堂教学设计范式

“教学设计是面向教学系统、解决教学问题的一种特殊的设计活动，是运用现代学习论和教育心理学、传播学、教学媒体论等相关的理论与技术，分析教学中的问题和需要，设计解决方法，试行解决方法，评价试行结果并对评价手段、活动等进行总体规划的过程。”[6]“教学设计是指教师对课堂教学的内容、方法、手段、活动等进行总体规划的过程。”[7]奚定华(2001)认为“数学教学设计是以数学学习论、数学教学论等理论为基础，运用系统方法分析数学教学问题、确定教学目标，设计解决数学教学问题的策略方案、试行方案，评价试行结果和修改方案的过程。”“小学数学教师依据数学教学论和学习论，针对小学生及小学数学教学的实际，用系统的方法将数学教学中各要素组织起来，制订完整的教学方案，包括确立教学目标、选择教学内容、设计教学过程等，用以指导教学实践，更好地解决教学中的问题。”[8]“小学数学教学设计不仅要关注教师、学生、内容、环境、方法等因素，同时还需考虑教学观、学生观、数学观等不同的视角，是一项较为复杂的系统过程。”[9]“教学设计是由目标设计、达成目标的诸要素的分析与设计、教学效果的评价所构成的有机整体。”[10]何小军(2016)指出小学数学教学设计由6个基本要素和7个环节构成，即：目标设计、情景设计、问题设计、组织设计、习题设计和信息技术设计6个基本要素，明确目标—寻找联系—尝试理解—深度理解—展示分享—实践反馈—小结反思7个环节。王光明、康明媛(2014)等人从“学”的角度出发，指出教学设计包括“学什么”、“怎么学”和“学得怎么样”三个具体要素，明确指出分析、设计与反思三大系统。

通常认为，范式的基本含义有：某一学科或相关联的科学领域即“科学共同体”所具有的共同的基本理念，包括中心观点和价值取向；以这种共同理念为基础，形成科学共同体的行为规则、模式；具有公认的研究问题和解决问题的方法和框架；有十分典型的范例作为模板或者典范。也就是说，范式就是科学共同体所共有和公认的一套规则。库恩“范式”是指一个科学共同体在某一专业或学科中所具有的共同信念，这种信念支撑了一系列的基本观点、基本理论和基本方法，为科学提供了共同的理论框架和研究方法的集合体，并为整个学科领域的发展规定了基本方向。在这里，范式是指解决某一类问题的方法论，是将解决某类问题的方法总结归纳到理论高度，成为公认的模型或模式。

根据小学数学课程标准，结合认知信息加工心理学和协作学习相关理论，提炼出小学数学五大类型知识或技能的课堂教学设计操作程序，形成理论与方法的完整范式。

1.概念教学设计

概念是指符号所代表的具有共同关键特征的一类事物或性质。概念是数学学习的基础，例如长方形、平行四边形、分数、周长、面积等概念，学生只有掌握了这些概念，才能学习数学的规则和高级规则(如公理、定律等)。概念学习方式分为两类：概念形成和概念同化学习。

奥苏泊尔的上位学习模式是概念形成教学的理论基础。在教学时，教师先呈现概念的若干正例，引导学生进行辨别，让学生独立探究概念的本质属性；再通过小组协作，提出假设，并进行检验；再由小组用比较准确的语言对概念的本质特征进行提炼和概括；最后教师再呈现一系列正反例证，通过变式练习，加深学生对概念本质特征的理解，纳入学生的认知结构之中。

奥苏泊尔的下位先行同化模式是概念同化教学的理论基础。概念同化是从上位到下位的学习，其先决条件是学生认知结构中具有同化下位概念的上位的一般概念。在教学时，教师复习原有相关概念，例如在学习百分数概念时，先复习分数概念，然后呈现百分数的几个例证，让学生先独立探究百分数的分母为100的关键属性，再由小组协作概括出新概念，通过正反例证将百分数的概念同化到分数的下位概念的认知结构中。两类概念学习的教学设计范式见图1。

图1 概念学习的教学设计范式

2.运算教学设计

运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。[3]运算能够帮助学生建立数感和符号意识，初步发展抽象思维。

根据皮亚杰对认知发展过程四个阶段的划分，7—11岁的儿童处于具体运算阶段，对于小学一年级儿童而言，正好是学生从前运算阶段向具体运算阶段发展的时期。前运算阶段儿童的象征性思维能力(即符号功能)已经有了较成熟的发展，也就是说“他们现在能够运用心理符号来表征这些体验，在儿童的许多行为模式中，包括延迟模仿和象征性游戏中，都可看到这种符号功能的发展。”[2]运算是一种能使儿童对其体验进行逻辑推理的内化的认知行为，处于前运算阶段的儿童还未发展出运算的逻辑，相反，他们只能依靠直觉和知觉。此阶段儿童的推理活动具有不可逆性、自我中心主义以及中心化这些局限。具体运算阶段儿童的思维已不受自我中心主义、不可逆性和中心化的影响，具体运算是指作用于物质对象的那类心理活动及儿童是如何开始理解客观现实的性质的，而守恒、序列化以及分类规则是这类具体运算的一些重要特征。

小学数学运算教学的低年段要求儿童能够从日常生活经历中抽象出数的过程，理解万以内数的意义，初步认识分数和小数，掌握必要的运算技能，能准确进行运算，能够在具体情境中，选择适当的单位，并能够进行简单的估算。到高年段则要求能从具体情境中抽象出数的过程，认识万以上的数，理解分数、小数、百分数、负数的意义，理解估算的意义，能用方程表示简单的数量关系，能解简单的方程。因此，对于小学的运算教学，应该从儿童的心理发展阶段出发，通过具体事物的操作，抽象出数的概念和进行符号的运算，刚开始儿童必须要利用具体事物形象来辅助进行运算，这种具体事物类似于支架式教学，再通过变式练习，逐步脱离具体事物，发展到能够直接运用数学符号进行运算，以至达到熟练和自动化水平。

运算的教学设计以学生的心理过程为基础，首先是设计生活情境，让学生运用具体事物(图像)来解决问题，在教师的引导下，让孩子一步一步独立操作运算过程，直至获得结果。再引入类似的数学情境，让孩子们分组一起协作完成操作运算，在协作中找到最优的运算方法。最后，将这些运算方法迁移到其他数学情境中。具体事物操作运算过程中，引出数学符号，并与活动相对应地逐步进行抽象符号的运算。符号运算教学刚开始是用陈述性知识的教学方法，在教师的示范下，让孩子按照运算步骤一步一步操作，并且让孩子以出声的语言，对自己的思维过程进行描述，从而监控自己的运算行为。通过这种方式，强化练习，直至学生能够将运算步骤联结连锁，完成运算自动化。运算的教学设计范式见图2。

图2 运算教学设计范式

3.操作技能教学设计

操作技能是指学生能够正确运用工具和材料，熟练地按照任务要求和程序完成目标活动的程序性知识。小学阶段数学要求学生掌握的操作技能主要有：测量、画图、图形移动、投影以及一些数学综合实践课程中的变换操作。数学操作能够让孩子通过具体的形象支撑，综合运用触觉、视觉等多渠道感知系统，逐步经历从具体形象思维到抽象逻辑思维的提升过程，感受几何直观，形成空间观念。在小学数学应用题解决问题过程中，学生还可以通过画示意图的方式，将数学过程正确地进行外部表征，从而正确地判断位置、数量关系，把握数学相关量的关系和计算应用条件，顺利地解决问题。

操作技能的学习依据动作技能形成的心理过程进行设计。以画圆为例，首先是教师示范过程，正确使用圆规，让学生对教师的示范过程进行视觉编码，在此过程中，教师边示范，边运用语言陈述操作的步骤。示范完成后，让学生模仿教师的操作过程，可以让学生边操作边用出声语言说出自己的操作过程。小组协作过程中，可以让学生展示自己的操作过程，让同伴观察并纠正。对于比较复杂的操作，教师需要将复杂的动作分解为几组简单的动作，分别示范，让学生模仿。当几组简单动作能够较为熟练掌握时，再将几组动作联结起来，加强练习，直至达到自动化水平。操作技能的教学设计范式见图3。

图3 操作技能教学设计范式

4.统计概率教学设计

统计概率的教学设计主要依据加涅关于认知策略学习的心理过程来进行设计。认知策略的学习需要学生能够清晰地监控自己的思维过程。以“单手投球远还是双手投球远”教学为例，首先要让学生明确问题与目标，该教学要学生能够根据实验数据推断结论。教学过程可以通过真实情境设计，让学生分组，小组的每个学生实践操作，测量、记录和比较每个人的两个数据。教师可以先行示范，设计记录的表格。小组再根据数据共同协作完成数据记录，然后根据表格的数据在方格子上画条形图。画条形图的重点是让学生自己尝试着建立坐标纵轴的刻度范围，这个过程可以让小组的学生独立完成，给予他们尝试的机会。每个学生画出的图形呈现的效果肯定会有所不同，教师可以提醒学生在组内先进行讨论和比较，分析数据，进行合情推理，验证自己的假设。学生在此过程中，既有独立探究的活动，也有协作活动。同时要求学生在即将完成活动时，要对自己的思维和操作过程重新描述和梳理，以增强学生元认知监控能力。认知策略的学习对于不同情境的迁移比较弱，因此，统计概率教学需要给出尽可能多的情境让学生去探究。统计概率的教学设计范式见图4。

图4 统计概率教学设计范式

5.问题解决教学设计

乔纳森从问题结构维度出发，把教学问题归为良构问题，把现实生活问题划为劣构问题，而逻辑问题则处于这两类问题中间，提出了以信息加工理论为基础的良构问题的教学设计模型和以建构主义理论为基础的劣构问题的教学设计模型。结构良好的问题解决教学步骤：复习概念、规则与原理;呈现问题领域的概念模型或因果模型;出示样例;呈现练习问题;支持搜索解法;反思问题状态与问题解法。结构不良问题的教学过程提出了从五个方面环节，帮助学生成为更好的问题解决者：利用社会交互作用;在有意义的情境中呈现问题;提供发现问题的练习;为问题解决新手提供支架;教一般问题解决策略。问题解决教学的一般过程应该包括以下几个环节：创设问题情境、提出问题、提出假设、解决问题、检验假设、总结评价。[11]

对于小学数学的问题解决而言，要求学生能够“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；学会与他人合作交流；初步形成评价与反思的意识；获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。”[2]“数学问题解决更强调真实情境，需要借助生活经验，考虑生活情境或数学情境的因素，培养发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。数学问题解决能力的培养可以帮助学生理解现实生活中的数学，让学生获得与自己生活息息相关的数学知识，激发学生学习数学的兴趣。”[12]通过问题解决的教学，发展学生合情推理和演绎推理能力、数学模型思想、数学应用和创新意识。

以小学数学《植树问题》为例来阐述问题解决的教学设计。[13]第一步，呈现生活情景。生活情景尽可能丰富，但也不能淹没问题的主题，更加强调现实背景。课堂引入，可以提问“你们哪位同学家里有田地，或者房子前后有自家的自留地?”然后再询问这块地大概有多长？有多宽？这样就把数学问题变成了一个现实生活的情景。教师开始设计数学问题，如果你家的田地长100米，现在要种荔枝树(以当地学生熟悉的树木)，荔枝树栽植的要求是每10米种植一棵，首尾都要种，那么一排能够种植多少棵？第二步，请同学们先列数学式子和画图，让孩子们先提出假设。先让学生们自己通过画线段图、摆小棍等来获取答案，再询问答案如何列出数学式子来表达，让学生自己提出假设。这样可以得到“全长÷间隔长度=间隔段数”，然后再根据示意图得出“植树数量=间隔段数+1”的数学表达式。第三步，变式检验和验证假设。这里可以有两种变式的方法，一是田地的总长度不变，改变间隔长度，如“如果现在改种芒果，芒果树栽植的要求是每5米种植一棵，首尾都要种，那么一排能够种植多少棵？”让学生小组协作学习和讨论，并让学生自己再改变题目，在小组内讨论。二是间隔长度不变，仍然是种荔枝，田地的总长度改变，如改成总长度为120米等。第四步，小组汇报，反思总结。各个小组分别展示自己创造的新题目、问题解决过程与结论。通过展示，学生能够对自己提出问题、解决问题的过程进行反思，提升他们的元认知监控能力。问题解决的教学设计范式见图5。

图5 问题解决教学设计范式

问题解决教学设计主要是考虑小学生的认知发展水平和学习心理过程，学生需要从问题情景的文字陈述中提炼和转化数学问题，此时的数学问题停留在言语表征，为了能够理解数学问题，学生需要通过具体实物、画图等方式，用视觉空间表征的方式将言语信息涉及的数学信息和参量表征出来，在图示中标明数学问题的参量，形象直观地理解各数学参量之间的关系，为抽象成数学表征提供“脚手架”，然后再根据相关数学概念、规则建立数学模型进行运算操作。在此过程中，学生能够发展合情推理、归纳推理、演绎推理等逻辑思维能力，初步发展数学模型思想，同时在假设、验证的探究过程中体验发现、创新和运用数学知识解决实际问题的快乐。

三、结语

小学数学协作学习课堂教学设计的五大类范式也只是对小学数学所涉及的几大部分的课程内容进行了抽象的概括和提升，并建立了具有可操作性的程序和流程，不可能完全覆盖整个小学数学课程的全部领域。同时范式是建立在理论和方法抽象的基础上完成的，面对小学数学实际教学，可以根据认知心理学和协作学习理论模仿和创新出更多的范式变式。