时滞耦合忆阻神经网络固定时间抗干扰二分同步

毛 坤, 刘小洋, 胡元发, 胡晓婷

(江苏师范大学 计算机科学与技术学院,江苏 徐州 221116)

0 引言

忆阻神经网络是一种模仿生物神经网络结构和功能的人工神经网络[1],其由于具有自学习、联想记忆和高速寻找优化解的特点,被广泛应用于模式识别[2]、自动控制[3]和预测估计[4]等领域.目前,忆阻神经网络的同步与控制问题已逐渐成为学术界的研究热点[5-7].事实上,许多网络都会受到时滞和外部干扰等不确定因素的影响,在研究网络同步的时候考虑这些不确定因素很有必要,也更加具有现实意义,如：Liu等[8]分析了具有随机干扰的耦合神经网络的牵制同步问题,He等[9]研究了具有分布时滞神经网络的牵制脉冲控制同步问题.

值得注意的是,现有文献[10-11]所研究的网络系统都是无符号网络,即网络节点之间都是正向合作关系.但在实际情况下,网络节点之间既存在正向合作关系,又存在竞争对立关系,这种网络被称为符号网络.与无符号网络的完全同步不同,符号网络主要考虑二分同步或二分一致,对于理解社会群体中的派系结构具有较大的社会意义.许多学者对符号网络的二分同步问题已经进行了深入研究[12-13],如Liu等[14]研究了具有竞争关系的耦合神经网络的二分牵制同步问题,Meng等[15]考虑了符号有向图下多智能体网络的区间二分一致性问题.另外,收敛速度是评价网络同步性能的重要指标.有限时间同步相比于渐进同步,具有更快的收敛速度以及更强的抗干扰能力.但是,其收敛时间严重依赖于初值,这对初值未知的网络化系统具有一定的局限性.而固定时间同步的收敛时间是一个与初值无关的固定上界,这能有效避免初值未知的问题.Polyakov[16]首次提出了固定时间稳定性定理；Li等[17]在以往研究的基础上考虑了复杂网络的固定时间同步问题,提出了一种经济型控制方法；Moulay等[18]提出了一种可变指数系数方法,使受干扰的标量系统达到固定时间稳定.

目前,能够同时考虑时滞和干扰的耦合忆阻神经网络的固定时间二分同步研究还相对较少.本文在文献[17-18]的基础上,设计了一类新的经济型控制协议,有效地克服了时滞和干扰,确保网络实现固定时间二分同步.

1 预备知识与模型描述

1.1 符号图

对于符号图G,如果存在2个集合V1和V2,满足V1∪V2=V,V1∩V2=∅,并且对于∀vi,vj∈Vl(l∈{1,2}),qij≥0;对于∀vi∈Vl,vj∈Vk(l≠k,l,k∈{1,2}),qij≥0,则称该符号图为结构平衡图.否则称为结构非平衡图.

1.2 模型描述

考虑由N个节点耦合而成的时滞忆阻神经网络模型,其第i个节点(i=1,2,…,N)的动力学方程如下:

(1)

忆阻神经网络(1)的初始条件为

假设1假设忆阻神经网络(1)的符号图连通且结构平衡.

引理1[10]在假设1的条件下,存在对角矩阵Δ=diag(δ1,δ2,…,δN),δi∈{-1,1},使得ΔQΔ=Qu,其中Qu=(|qij|)∈RN×N.

忆阻神经网络(1)的同步目标为

(2)

其中y(t)=(y1(t),y2(t),…,yn(t))T.

假设2激活函数f(·)满足以下条件:

1)对于∀xi∈Rn,f(-xip)=-f(xip);

2)对于∀xi,yi∈Rn,存在正常数zi>0,使|f(xip)-f(yip)|≤zi|xip-yip|;

3)对于∀xi∈Rn,存在正常数Mi>0,使|f(xip)|≤Mi,

其中：i=1,2,…,N；p=1,2,…,n.

定义2如果忆阻神经网络(1)、(2)满足如下条件：

1)达到有限时间二分同步;

2)对于任意初值x0(t),存在常数Tmax>0,使得T(x0(t))≤Tmax，

则称网络(1)和(2)达到固定时间二分同步.

引理2[16]考虑如下系统：

(3)

引理3[19]对于a1,a2,…,an>0,0

2 主要结论

主要考虑在结构平衡图下,时滞耦合忆阻神经网络(1)与目标(2)的同步问题.为此,设计控制器

(4)

定理1若时滞耦合忆阻神经网络(1)满足假设1、2及以下条件:

(5)

(6)

ε-k<0,

(7)

则(1)将在控制器(4)下固定时间二分同步到网络(2),且驻留时间T满足

记同步误差ei(t)=δixi(t)-y(t),可得误差系统

(8)

如果误差系统(8)是固定时间稳定的,则存在与初值无关的时间T,使得当t→T时,ei(t)趋于0,即δixi(t)→y(t).由δi∈{-1,1}可得,xi(t)→δiy(t).因此,基于定义2,时滞耦合忆阻神经网络(1)和(2)的二分同步问题可转换为误差系统(8)的稳定性问题.

构造如下Lyapunov泛函:

沿误差系统(8),V(t)对时间t求导,可得

其中

(9)

由假设2,可知

(10)

类似地,

(11)

根据引理4,有

(12)

另一方面,

(13)

综合公式(9)—(13),可得

由条件(5)及条件(6),可得

(14)

接下来分2种情形讨论.

由条件(7)可知k-ε>0.根据引理2的证明过程[16],可得V(t)将在固定时间收敛到集合{V(t)|V(t)≤1},且收敛时间T1满足

情形2如果V(t)≤1,则

将上式代入(14)，可得

综上所述,时滞耦合忆阻神经网络(1)和(2)在固定时间T=T1+T2内达到二分同步.证毕.

接下来,考虑不带时滞的耦合忆阻神经网络,此时系统(1)简化为

(15)

相应地,同步目标为

(16)

设计控制器

(17)

推论1若耦合忆阻神经网络(15)满足假设1、2及条件(5)和(7),则(15)将在控制器(17)下固定时间二分同步到目标网络(16),且驻留时间T满足

证证明与定理1类似,此处省略.

注2与常规的固定时间控制协议不同,文献[17]提出了一类经济型的控制方法,将原本控制器中2项控制项合并为1项,节约了控制成本.但是这种控制方法在解决受扰网络的同步问题时不能消除干扰的影响,需要在控制器中再增加控制项来克服干扰,因此并不能发挥其经济的特性.文献[18]提出了一种可变指数系数的方法,解决了受干扰标量系统的固定时间稳定性问题.受此启发,本文将这种方法应用在时滞耦合忆阻神经网络二分同步问题上,既减少了控制消耗,又进一步提高了网络的鲁棒性能.

3 数值仿真

本节将通过数值仿真来验证本文理论的有效性.

考虑由4个3维(N=4,n=3)的忆阻神经网络耦合而成的网络系统(1),其拓扑结构如图1所示.将网络节点集划分成2个子集V1={1,2},V2={3,4},对应的Δ=diag(1,1,-1,-1).矩阵C=diag(3,3,3), 耦合强度σ=1,干扰φi(t)=(sin(t),sin(t),sin(t))T,激活函数f(xi(t))=(tanh(xi1(t)),tanh(xi2(t)),tanh(xi3(t)))T,时滞τ(t)=0.01cos(t),则Mi=1,zi=1.给定权重如下:

图1 耦合忆阻神经网络(1)拓扑图

其中

a

4 结论

本文主要研究了结构平衡图下时滞耦合忆阻神经网络固定时间二分同步问题.通过设计一类全新的固定时间控制协议,消除了外部扰动以及通信时滞的影响,实现了时滞耦合忆阻神经网络固定时间抗干扰二分同步.与之前的研究相比,本文使用经济型固定时间控制方法使受扰动网络达到固定时间同步,丰富了有关网络固定时间二分同步的研究.最后通过仿真实验,验证了理论结果的有效性.