对高中数学新教材一道三角恒等变换习题的拓广探索

2022-09-22张静元

数理化解题研究 2022年25期

关键词：余弦定理等式思路

张静元

(云南省昆明市教育科学研究院 650000)

1 问题呈现

题目(人民教育出版社《普通高中教科书数学必修第一册A版》第230页，简单的三角恒等变换习题5.5拓广探索第18题)观察以下各等式

分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.

2 问题解决方法

2.1 从角的特征探索发现共同规律

综合考查三个等式中的角发现共同规律：

60°=30°+30°；45°=30°+15°；50°=30°+20°.

以第三个等式为例证明：

2.2 写出反映一般规律的等式

三个等式中给出的两个角60°，30°；45°，15°；50°，20°都满足β=30°+α，则一般规律的等式为：

2.3 从不同的角度证明等式的正确性

思路1 和差角公式.

思路2 降幂扩角公式.

思路3 三角函数在单位圆上的定义.

图1

思路4解直角三角形.

图2 图3

当α为钝角时，如图3，同理可证.同理，当α为特殊角或大于180°，等式成立.

思路5解三角形.

在△ABC中，A=α，B=30°，则C=150°-α.设b=1，由正弦定理,得a=2sinα，c=2sin(150°-α).

由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC，则4sin2(150°-α)=4sin2α+1-4sinαcos(150°-α).

3 问题探索

3.1 统一函数名

思考1 对于等式中的60°，能改为任意角吗？

猜想：对任意的角β，sin2α+sin2(β-α)+sinαsin(β-α)=sin2β.下面取特值验证：

当β=90°，等式左边=sin2α+cos2α+sinαcosα=1+sinαcosα，等式右边=1，显然对任意角α等式不正确.所以，对于任意的角β，sin2α+sin2(β-α)+sinαsin(β-α)≠sin2β.

既然对任意角β等式不成立，那么角β能取到哪些值才能使等式成立？

思考2 探索角β取何值能使猜想正确.

把β作为自变量，构造函数f(x)=sin2α+sin2(x-α)+sinαsin(x-α)-sin2x，其中α为参数，用计算机作出函数f(x)的图象，考查函数f(x)的零点，即为等式成立的情况：

如图4,函数f(x)部分零点从左至右依次为：

图4

图5

3.2 探索角的特征

由于sin260°=sin2120°，等式写成sin2α+sin2(60°-α)+sinαsin(60°-α)=sin2120°，发现α+(60°-α)+120°=180°，如果规定这三个角在(0°,180°)内，联想这三个角为△ABC的内角，猜想sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，其中A+B+C=180°.由于上面的探索，等式不能对任意的角C都成立，下面探索在△ABC中，满足什么条件，等式sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C能成立.

3.3 拓广问题

通过探索发现，在三角形中，由余弦定理a2+b2-2abcosC=c2变形公式可得：sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C.教科书中的三个等式，就是余弦定理变形公式中C=120°，A+B=60°的情形.归纳为：sin2A+sin2B-2sinAsinBcos120°=sin2120°，其中A+B=60°.