极坐标与参数方程问题中的“破题”例析

巨小鹏

(陕西省汉中市龙岗学校 723102)

极坐标与参数方程作为选做题，由于难度不大，极易被考生选择.文章从设点坐标、参数几何意义和极坐标应用三种不同方法入手，对极坐标与参数方程问题做了例题总结，在例题总结中强化基本概念和几何意义，找到“破题”入口.

1 利用参数方程的参数几何意义

几个常见的参数方程：

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为

y=xtanα+2-tanα；

当cosα=0时，l的直角坐标方程为x=1．

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程得

(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0．

①

于是直线l的斜率k=tanα=-2．

“破题”与评注关键是恰巧线段中点在椭圆内部，利用直线的参数几何意义，求出直线斜率.本题考查曲线的极坐标、参数方程与普通方程之间的转化，考查直线参数方程的几何意义，对于这一类问题的处理，一般就是将直线的参数方程与曲线普通方程联立，借助韦达定理求解问题.

(1)求a的值和直线l的直角坐标方程及l的参数方程；

于是l的直角坐标方程为l:x+y-2=0；

“破题”与评注关键是利用直线参数方程参数的几何意义得出|AM|·|AN|=|t1|·|t2|=|t1t2|，|AM|+|AN|=|t1|+|t2|=|t1-t2|.本题考查曲线的极坐标、参数方程与普通方程之间的转化，考查直线参数方程的几何意义，将直线的参数方程与普通方程联立，借助韦达定理求解，属于常规题.

2 利用参数方程设点坐标

(1)若a=-1，求C与l的交点坐标；

综上，a=8或a=-16.

“破题”与评注先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立两个方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，可以直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，此时设出点的坐标是关键，即利用三角换元法将问题转化为三角函数的最值求解问题，利用三角有界性求出最值，进而求得参数a的值．

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值以及此时点P的直角坐标.

“破题”与评注把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方和(差)消参法、乘法消参法、混合消参法等．

3 利用极坐标的应用

(1)求直线l和曲线C的直角坐标方程，并指明曲线C的形状；

得ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ+1=0.

所以曲线C的直角坐标方程为

x2+y2-2x-2y+1=0.

即曲线C是圆心为(1,1)，半径r=1的圆.

设A,B对应的极径分别为ρ1,ρ2，则

“破题”与评注此题关键是极坐标方程的求法及其应用，重点考查了学生的转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.因此，需要学生理解极坐标中几个核心概念，比如极角极径的含义，这也是学生容易忽略的知识点，学完也容易遗忘.

图1

(1)求C2的极坐标方程及a；

解析消去C2参数方程中的φ，可得(x+2)2+y2=4.又由x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C2的极坐标方程为ρ=-4cosθ.

由于C2与x轴的其中一个交点A(异于点O)的极坐标为(4,π)，故4=a(1-sinπ)，即a=4.

所以C3的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).

又C1与C3相交E,O,F三点，得

|OE|=|ρE|=4(1-sinα)>0,

|OF|=|ρF|=4(1+sinα)>0.

所以|EF|=|OE|+|OF|=8.

复习过程中首先要注重学生对基本概念与方法的学习，特别是核心概念的理解，熟练掌握基础知识与技能，从而快速“破题”，以此提升学生的逻辑推理和数学运算等核心素养，让学生学会与圆锥曲线三种方程的整合.然后要重视思想和方法的总结，比如数形结合思想、转化与化归思想和分类讨论思想.最后强化参数几何意义、极径、极角和参数方程的理解，比如类型三中利用极径的几何意义解题，大大简化了运算，解答思路也更清晰.