空间距离问题的向量解法

廖永福

(福建省厦门第二中学 361009)

空间距离是立体几何的重要内容，是高考热点，也是教学难点，它包括两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、平行线间的距离、异面直线间的距离、直线到平面的距离、平行平面间的距离等.

1 两点间的距离

即空间任意两点间的距离等于从其中一点指向另一点的向量的长度.

例1 (2013年北京卷文8)如图1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为对角线BD1的三等分点，点P到各顶点的距离的不同取值有( ).

图1

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

分析建立如图2所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为3，可得各顶点的坐标，求出点P的坐标，再利用两点间的距离公式即可得出结论.

解析以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图2所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为3，则A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),B1(3,3,3),C1(0,3,3),D1(0,0,3).

图2

所以P(2,2,1).

点评本题主要考查空间中两点间的距离的求法，体现了数学运算和直观想象等核心素养.选择适当的位置建立空间直角坐标系并求出点P的坐标是解题的关键，属于中档题.

图3

(1)求MN的长.

(2)当a为何值时，MN的长最小？

2 点到直线的距离

图4

即直线外一点到直线的距离等于从直线上某定点指向该点的向量与其在直线上的投影向量的平方差的算术平方根.

求点到直线的距离的一般步骤是：

(1)选择适当的位置建立空间直角坐标系；

(2)求直线上某定点指向该点的向量和直线的方向向量；

(3)代入公式计算.

平行线间的距离可转化为点到直线的距离.

例2(2010年全国Ⅱ卷理11)与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB，CC1，A1D1所在直线的距离相等的点( ).

A.有且只有1个 B.有且只有2个

C.有且只有3个 D.有无数个

解析点D,B1显然满足条件，下面证明直线DB1上的点都满足条件.

图5

点P到AB的距离

同理可得点P到CC1的距离

点P到D1A1的距离

所以d1=d2=d3，故选D.

点评本题主要考查空间中点到直线的距离的求法，体现了数学运算和直观想象等核心素养.解题关键是选择适当的位置建立空间直角坐标系，正确运用点到直线的距离公式，属于中档题.

变式2(2009年湖南卷理7)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

3 点到平面的距离

图6

即平面外一点到平面的距离等于从平面内某定点指向该点的向量在平面法向量方向的投影向量的长度.

求点到平面的距离的一般步骤是：

(1)选择适当的位置建立空间直角坐标系；

(2)求平面内某定点指向该点的向量和平面的法向量；

(3)代入公式计算.

直线到平面的距离、两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离.

例3 (2019年上海卷17)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM=2，CD=3，AD=4，AA1=5,求点A到平面A1MC的距离.

图7

取z=2，得n=(2,1,2).

所以点A到平面A1MC的距离

点评本题主要考查点到平面的距离的求法，体现了数学运算和直观想象等核心素养.解题关键是正确求出平面的法向量，准确运用点到平面的距离公式，属于中档题.

图8

(1)求证：PO⊥平面ABCD；

分析(1)先证PO⊥AD，再利用面面垂直的性质定理，就能证明PO⊥平面ABCD.

解析(1)在△PAD中，因为PA=PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.

因为底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，所以OC⊥AD.

又由(1)知OC,OD,OP共点且两两垂直.

以O为原点，OC,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图9所示的空间直角坐标系，则C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).

图9

设平面PCD的法向量为n=(x,y,z)，

解得x=y=z.

取x=1，得n=(1,1,1).

设Q(0,y,0)(-1≤y≤1)，

点评本题主要考查直线与平面垂直的证明，考查与空间距离有关的探索性问题的解法等，体现了数学建模、逻辑推理、数学运算和直观想象等核心素养.解题关键是选择适当的位置建立空间直角坐标系，建立方程模型进行求解，属于中档题.

变式3(2013年上海卷理19)在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1.证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离.

四、异面直线间的距离

图10

即异面直线间的距离等于从其中一条直线上的某定点指向另一条直线上的某定点的向量在公垂线上的投影向量的长度.

求异面直线间的距离的一般步骤是：

(1)选择适当的位置建立空间直角坐标系；

(2)求一条直线上的某定点指向另一条直线上的某定点的向量和公垂线的方向向量；

(3)代入公式计算.

例5(2013年北京卷理14)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为____.

分析点P到直线CC1的距离的最小值就是异面直线D1E与CC1间的距离.

图11

取x=2，则y=-1，所以n=(2,-1,0).

故点P到直线CC1的距离的最小值

点评本题主要考查异面直线间的距离的求法，体现了数学运算和直观想象等核心素养.解题关键是把求点P到直线CC1的距离的最小值问题转化为异面直线D1E与CC1间的距离问题，属于中档题.

变式4(1989年全国卷理18)已知圆柱的底面半径是3，高是4，A,B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴OO′之间的距离等于____.