类椭圆形螺杆泵定子模芯成形铣刀廓形设计

祖海英，贾庆林，宋玉杰，韩道权，郭翔

(东北石油大学机械科学与工程学院，黑龙江大庆 163318)

0 前言

在含砂高气稠油井的采油过程中，螺杆泵具有其他抽油设备无法替代的优点。类椭圆形螺杆泵与常规摆线型双头单螺杆泵相比具有无等距曲线打扣现象、啮合误差低、齿面磨损小、密封效果好、使用寿命长等优点。由于类椭圆形螺杆泵定子模芯螺旋曲面结构复杂，加工难度大且成本高，因此迫切需要设计成形铣刀廓形完成定子模芯曲面加工。

吴沁等人依据刀具回转面与螺旋曲面的包络原理,设计用于加工螺杆压缩机螺旋曲面的盘形铣刀。倪寿勇等通过对内旋风铣机制研究，设计了精密外螺纹铣刀廓形。范晋伟等基于坐标变换和成形铣削理论，对采油螺杆泵螺杆、压缩机螺杆等螺旋曲面成形铣刀廓形进行了设计。

本文作者以类椭圆形螺杆泵为研究对象，通过研究定子模芯线型的形成原理，依据坐标变换和刀具与工件接触条件，设计定子模芯成形铣刀廓形，并进行实例验证，对类椭圆形螺杆泵加工及推广使用具有工程价值。

1 定子模芯线型形成原理

类椭圆形螺杆泵转子轮廓线是以直线段为发生线,按外滚法做包络运动而得到的类椭圆形状。类椭圆形转子线型方程为

(1)

类椭圆形螺杆泵定子轮廓线是以类椭圆转子线形为发生线按内滚法做包络运动而得到的。它的形成过程为类椭圆转子线形绕自身圆心做自转角为-3的顺时针运动，同时类椭圆转子线形的中心绕定子中心做半径为、公转角为(2)3的逆时针运动的叠加，其中为滚圆滚角。可得类椭圆形转子的运动方程为

(2)

取转子线形行星扫描运动所经过的，最外轮廓点连线则为定子轮廓线，如图1所示。观察图1可知，定子轮廓线由3段类圆弧和3段近似直线组成。

图1 定子模芯轮廓形成

以长半轴为40 mm、偏心距为7.5 mm的转子,导程为270 mm定子为例，利用MATLAB得到模芯端截面的点集，根据SolidWorks的数值精度处理点集数据，建立定子模芯三维模型，如图2所示。

图2 定子模芯三维模型

2 定子模芯的成形铣刀廓形设计

2.1 端截面铣刀廓形设计

依据定子模芯端截面设计铣刀廓形，以极限位置=-47.5 mm为铣刀旋转中心轴，以类圆弧段与近似直线段分界点=-32.39 mm、=±18.83 mm设计成形铣刀，沿顺时针方向选取(-32.39，-18.83)mm到(-32.39，18.83)mm范围内的点集为类圆弧段铣刀廓形，若铣刀与工件干涉，则工件旋转后距离铣刀中心轴=-47.5 mm的长度小于铣刀的半径，则式(3)存在不止一个解，使不等式成立。

(3)

从图3中取定子模芯轮廓类圆弧的一段，部分点集坐标值如表1所示，取点集范围内任一点数据代入式(3)，不等式成立表明以端截面设计成形铣刀廓形加工时存在干涉。

图3 端截面刀具与工件的位置及局部放大

表1 类圆弧段部分点集坐标 单位：mm

2.2 法截面铣刀廓形设计

采用依据法截面设计的成形铣刀加工螺旋曲面时，螺旋曲面是由铣刀刀刃的回转面与工件做螺旋进给运动时所形成的包络面，两者的接触线是一条形状不变的空间曲线。这两个面在空间做相对运动的任一瞬时都沿这一条空间曲线相切。

(1)定子模芯曲面方程的建立

图4 工件螺旋面的形成

(4)

螺旋面方程坐标式(4)矢量表示为

=(,)=[()cos+()sin]+

[-()sin+()cos]+[]

(5)

由微分几何中求曲面法线的方法知，对于参变量为、的曲面方程为

=(,)=(,)+(,)+(,)

(6)

其上任意一点(,,)处的法线矢量为

(7)

(8)

(9)

=

(10)

则由式(4)(8)(9)(10)可得螺旋特性方程式

p=+

(11)

(2)刀具与工件的接触方程求解

在工件上建立直角坐标系-，其中轴与工件的轴线重合；在成形刀具上以刀具回转轴为轴建立坐标系-，轴与工件坐标系中的轴重合，且方向一致，如图5所示。以上两个坐标系在空间位置是固定的，不随工件和刀具转动。

图5 刀具与工件在坐标系中的空间位置

设刀具轴线与铣刀轴线的最短距离为，以及两轴线间的夹角为,则由图5可知，从坐标系到的变换式为

(12)

设坐标轴、、的单位矢量分别为、、,坐标轴、、的单位矢量分别为、、,则其单位基矢量间的变换式为

(13)

则刀具回转面和工件螺旋面的接触处任一点相对于两坐标轴原点的径矢分别为

(14)

由两曲面相切接触，则它们的公法线矢量与相对运动的速度矢量垂直，即接触条件为

·=0

(15)

设工件螺旋面回转的角速度为,刀具回转的角速度为,并以(螺旋参数为)速度匀速移动，则点随螺旋面运动的线速度为

=(-Y+X+p)

(16)

点随刀具运动的线速度为

=[-((-)cos+sin)+cosψ+sinψ]

(17)

由接触条件式(15)可确定

·=·(-)=0

(18)

式(18)与螺旋面特性方程式(11)联立化简，得刀具与螺旋面的接触方程为

z+cotψ+(-+cot)=0

(19)

若设计一把铣刀加工截面，由于类圆弧段与近似直线段交界处附近存在干涉，不能实现模芯螺旋曲面加工，因此依据定子截形与铣刀接触线，分别为类圆弧段和近似直线段设计凸形和凹形成形铣刀廓形，其流程如图6所示。

图6 成形铣刀廓形设计流程

3 定子模芯成形铣刀廓形设计实例

对文中初始实例参数设计定子模芯成形铣刀廓形。类圆弧段顶点到截形中心距离为，即转子长半轴与偏心距之和，近似直线段中心点到截形中心距离为，即转子长半轴与偏心距之差。确定铣刀与工件的夹角，表达式为

(20)

由和分别计算出螺旋角为

选取合适的轴心距，任取截面一点(，)，根据方程(8) (9)(10)(19)和定子模芯端截面点集，得到对应的值，再把(，)和值代入式(4)中，可求得不同螺旋角对应的接触点，连接这些接触点即可得到铣刀廓形曲线，利用SolidWorks建模生成铣刀的廓形与回转运动模型。

工件任一点的运动可以等效为圆柱螺旋线，其曲率半径为

=(1+tan)

(21)

当接触点沿运动方向的的工件曲率半径大于接触点刀具的曲率时两者干涉。据式(21),利用MATLAB编程对工件和刀具进行干涉判定，继而得出符合规定的值。得到铣刀廓形曲线，绘制类圆弧段与近似直线段铣刀廓形，分别如图7、图8所示。

图7 类圆弧段铣刀廓形 图8 直线段铣刀廓形

4 结论

(1)通过对类椭圆形螺杆泵定子线型形成原理的研究，类椭圆转子线型行星运动包络获得定子模芯端截面点集，并确定定子轮廓线由3段类圆弧和3段近似直线组成。

(2)依据端截面设计成形铣刀廓形，加工时存在干涉。通过坐标变换建立了定子模芯螺旋曲面特性方程，与接触条件式联立求解接触方程，确定了依据定子法截面截形与铣刀接触线设计成形铣刀廓形的流程。

(3)依据转子长半轴与偏心距确定值，选取合适的值，生成铣刀廓形。根据曲率半径对铣刀廓形曲面与工件螺旋曲面干涉检查，验证刀刃廓形设计的正确性，为类椭圆形螺杆泵定子模芯成形铣刀廓形的设计提供了理论基础。