永磁同步电机位置伺服系统终端滑模控制

2022-09-21岳陆游汤少东张兵

机床与液压 2022年17期

岳陆游，汤少东，张兵

(江苏大学机械工程学院，江苏镇江 212013)

0 前言

永磁同步电机(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)由于体积小、结构简单、工作时效率高等优点，被广泛应用于转台、机器人、半导体装备、工厂自动化、医疗设备以及军工等高性能伺服系统。在永磁同步电机的控制方法中，通常使用的是经典的PID控制，但由于永磁同步电机是强耦合、非线性系统，具有多种干扰和参数变化，导致传统的PID控制很难满足现代工业不断增长的控制性能需求。为减少这些因素带来的影响，研究更好的控制方法和干扰补偿策略显得尤为重要。

为提高永磁同步电机伺服系统的位置跟踪性能，国内外学者进行了很多工作，也提出了很多解决办法。文献[1]提出了一种自适应滑模控制器，用于永磁同步电机的位置跟踪控制，自适应控制被用来在线估计未知参数和切换增益的界限以提高控制性能。文献[2]为了衰减在真实应用中不需要的抖动可能对机械系统造成影响，采用饱和功能替换符号功能，有效地衰减抖动。文献[3]采用模糊PI控制方法，对永磁同步电机位置伺服系统进行位置跟踪，有效减少了超调，同时也抑制了振荡。文献[4]针对参数变化，将自适应与模糊反演控制算法相结合，保证了位置误差在一个比较小的范围内波动。文献[5]采用模块化的神经动态表面控制方法，改善了永磁同步电机位置跟踪瞬态性能。文献[6]提出了一种自组织模糊滑模控制器，提高了永磁同步电机位置伺服系统的性能和鲁棒性。文献[7]设计了一种具有快速滑动表面和连续达到律的滑模控制器，提高了永磁同步电机的控制性能，实现了位置控制的快速响应。

本文作者针对永磁同步电机位置伺服系统中存在的外部负载干扰和系统内部参数摄动，设计一种基于干扰观测器的终端滑模控制方法(Terminal Sliding Mode Control,TSMC)。设计终端滑模干扰观测器，对干扰进行估计，并将估计值引入滑模控制中进行补偿，提高系统的抗干扰能力。采用终端滑模控制方法对滑模位置进行跟踪，保证系统在有限时间内达到稳定状态并且收敛，提高系统响应速度和位置跟踪精度。

1 永磁同步电机的数学模型

考虑到永磁同步电机是一个强耦合、复杂的非线性系统，为简化分析，作如下假设：(1)不计涡流和磁带损耗;(2)气息磁场呈正弦分布;(3)忽略铁心的饱和效应。

以表贴式永磁同步电机为例(==)，在d-q坐标系下，可得如下数学模型：

电压方程为

(1)

其中:=+;=。

电机机械运动方程为

(2)

=3/2[-(-)]

(3)

又因为==，则PMSM的电磁转矩可以重新写成：

=3/2=

(4)

式中：=3/2，=作为控制的输入。

考虑到非线性摩擦，给出如下非线性摩擦模型：

(5)

式中:为库仑摩擦力矩;为最大静摩擦力矩;为黏性摩擦力矩比例系数；∂为一个比较小的正数。

然后，考虑到参数不确定性，模型[式(2)]可以写为

(6)

(7)

假设1:由参数不确定性和未知的外部负载引起集成的不确定扰动是有界的,即||<，是已知的。

2 有限时间收敛的干扰观测器设计

引理1:假设存在满足以下不等式的连续正定函数()：

(8)

那么()收敛到平衡点的有限时间为

(9)

其中：、>0;0<<1;为关于的初始时间。

为设计具有有限时间收敛的滑模干扰观察器，引入以下辅助变量：

(10)

为保证有限时间收敛，定义满足以下形式：

(11)

式中：和为正的奇数,并且<;、、为正数。

那么终端滑动模式干扰估计为

(12)

引理2:考虑公式(11)和公式(7)，在假设1的前提下，如果||<,那么干扰观测器能够确保在有限时间内收敛。

证明：

考虑以下Lyapunov函数:

=12

(13)

对式(13)求导可得:

sign()-(+)-≤--||-(+)+

||||≤--(+)≤--()(+)(2)≤

(14)

根据引理1，辅助变量能够在有限时间内收敛到平衡点。另外，可得观测误差为

(15)

3 终端滑模控制器设计

定义1:对于考虑任意高阶的单输入单输出非线性系统：

(16)

其中:=[…,]为系统可测量的状态；()和()为域内的光滑函数;∈为系统的输入；为系统干扰。

那么可以得到一种具有递归结构的终端滑动模态为

(17)

式中:(=1,2,…,)为次终端滑模面；>0、>0；和为正奇数(=1,2,…,-1)。

考虑系统的位置控制，定义位置误差为

(18)

则的二阶导数为

(19)

为实现PMSM的有限时间位置跟踪，滑动模式表面设计如下：

(20)

其中：==-。

由式(20)可得的导数为

(21)

考虑式(7)(19),可得:

那么，基于干扰观测器的终端滑动模式跟踪控制可设计为

(22)

其中:、>0。

考虑到非线性系统[式(7)]和终端滑动模式干扰观察器[式(10)—(12)]，在终端滑动模式跟踪控制[式(22)]下，闭环系统的所有信号都在有限时间内收敛。

证明:

把式(22)代入式(21)，可得：

(23)

又根据式(15)可得:

(24)

考虑Lyapunov函数:

(25)

由式(14)(24)可得:

(26)

根据定理1，可以知道滑动模态变量是有限时间收敛的;从公式(20)可得是和的函数;根据引理2，可以得到是有限时间收敛的，所以可以得到是有限时间收敛的，因此闭环系统的所有信号都会在有限时间收敛到平衡点。

综上所述，永磁同步电机终端滑模控制方案的框图如图1所示。

图1 永磁同步电机终端滑模控制框图

4 仿真和讨论

基于MATLAB/Simulink平台对该控制算法进行仿真验证，仿真时所使用的永磁同步电机的部分参数如表1所示。

表1 PMSM的参数

干扰观测器参数：=2 500,=30,=01,=5，=9。摩擦参数：=1 N·m;=0.8 N·m;∂=2,=0.000 3 N·m·s/rad。控制器参数：=30，=60,=5,=7,=30,=50,=5,=7。为进行比较，证明终端滑动模式控制的有效性，PID控制、传统的反演法控制(Traditional Backstepping Control，TBC)也被应用于PMSM。

(1)PID控制

其中:=1 500,=0.5,=0.05。

(2)传统的反演法控制(TBC)

其中：为的参考值；=60；=60。

2种位置参考给定为

2种不确定干扰给定为

=2sin(2π)=3+sin(π)

由图2—图5可知：在2种不同位置参考下，3种控制器都可以保证位置跟踪。由图3可知：当给定外部干扰为、位置参考为时，TBC稳态时产生了1.4%的最大跟踪误差，PID更是达到了1.6%，而TSMC的跟踪误差几乎为0。由图5可知：当给定外部干扰为、位置参考为时，TBC稳态时最大跟踪误差为1.5%，PID跟踪效果最差，误差达到2.3%，而TSMC稳态时的跟踪误差几乎为0。通过对比2种不同位置参考下3种控制器的跟踪结果，可以得到TSMC无论是控制精度还是响应速度都优于TBC和PID，验证了终端滑动模式控制的有效性。