道威棱镜的结构特性及其虚拟仿真

徐海斌

(湖州师范学院 理学院,浙江 湖州 313000)

0 引 言

道威棱镜具有通过内部全反射实现保持光线传输方向一致的光学特性.当道威棱镜绕其斜面中心轴转动时，图像会同方向地以两倍的角速度转动[1].道威棱镜因具有这种光学特性而被广泛应用于光学检测[2-3]、激光加工[4]、信号传输[5-6]、周视扫描[7-10]等领域.在当前的光学教学及工程应用中，道威棱镜的底角通常设定为45°，而已有文献未对非45°底角道威棱镜的可行性进行研究.

近年来，鉴于虚拟仿真技术在工程光学教学上的广泛应用[11-12]，本文采用几何光学原理和虚拟仿真技术，对任意底角道威棱镜的结构进行分析.研究结果表明，任意底角道威棱镜也能实现现有道威棱镜的光学功能.该研究结果对工程光学教学和工程应用均具有一定的参考价值.

1 任意对称底角道威棱镜的结构特征

将道威棱镜置于折射率为n0的透明介质中，棱镜主截面及结构参数如图1所示.光线从其AB面中心位置沿中心轴入射，在BC面中心位置发生全反射，从CD面中心位置沿中心轴射出，入射光线和出射光线保持在一条中心轴线上.设棱镜的宽和高均为H，折射率为n.经几何光学分析可知，光线在AB面发生的折射满足：

(1)

在△FBE中，根据正弦定律得：

(2)

即：

(3)

观察几何图形可知：

(4)

联立式(1)～(4)，道威棱镜的半长度L为：

(5)

式(5)给出了道威棱镜的结构特征，当棱镜的折射率为n、宽和高均为H、对称底角为α时，道威棱镜的长度为2L.

为减少光信号传输能量的损耗，当光线入射到BC面时，需要入射角β满足全反射条件，即：

(6)

根据几何关系可知：

β=α+i2.

(7)

联立式(1)(4)(6)(7)，道威棱镜底角需满足的条件为：

(8)

图1 道威棱镜主截面结构示意图Fig.1 Schematic diagram of the principal section structure of Dove prism

2 任意对称底角道威棱镜的光线偏转特征

实际上，当光线经过道威棱镜时，入射光线通常不能非常精确地沿中轴线传输，如图2所示.考虑在道威棱镜的主截面内，当光线射到AB面中心位置时，光线方向与中心轴线的夹角为θ，出射光线与光轴的夹角为θ′.

图2 非中心轴入射光线传输示意图Fig.2 Schematic diagram of the non central axis incident light transmission

光线在AB和CD折射面分别满足折射定律：

(9)

(10)

在△FBE中，由∠AFE=∠B+∠FEB,可得θ2=β-α.当光线在BC面发生全反射时，反射角等于入射角，因此在道威棱镜的右侧，同理可得θ3=β-α.由此可得，θ2=θ3.联合式(9)和式(10)可知，θ1=θ4.在AB和CD入射面上进行几何分析可知，θ1+θ+α=π/2，θ4+θ′+α=π/2.入射光线、出射光线与中心轴线的夹角相等，即θ=θ′.

通过对任意对称底角道威棱镜的非中心轴入射光线分析可知，出射光线与中心轴的偏转角同入射光线与中心轴的偏转角相等，与道威棱镜底角大小的选择无关.

3 不同对称底角结构道威棱镜对图像的旋转特性

现有的光学周视瞄准仪的道威棱镜均采用45°底角结构，当沿中轴线以角速度ω旋转道威棱镜时，信号图像在保持大小不变的情况下，以角速度2ω沿相同方向旋转.为观察任意对称底角结构道威棱镜对信号图像的旋转特性,本文利用TracePro光学设计软件，分别对30°、45°、60°底角的道威棱镜旋转特性进行虚拟仿真.

3.1 道威棱镜信号传输光路结构

为便于观察经过道威棱镜后的信号图像旋转特性，沿着信号图像传输方向观察，并采用如图3所示的信号光源结构，其中带孔的有向线段为x轴，另一个有向线段为y轴，信号传输方向为z轴，信号光源满足右手螺旋结构.由图3可知，x和y方向的有向线段长度均约为10 mm，中心位置在坐标原点处.随着道威棱镜的旋转，为观察信号图像的变换特征，需要在道威棱镜后设置观察屏.信号传输的光路结构如图4所示.

图3 信号光源结构Fig.3 Structure of the signal light source

图4 道威棱镜信号传输光路结构Fig.4 Signal transmission optical path of the Dove prism

3.2 不同对称底角结构的道威棱镜对信号图像的旋转特性

为比较不同底角结构的道威棱镜与现有45°底角结构的道威棱镜在信号图像传输功能上的异同，以30°、45°、60°底角为例，虚拟仿真道威棱镜图4的光路结构，并沿着中心轴分别旋转0°、30°、45°、90°、180°，观察图3的信号图像经道威棱镜后所得到的图像.

当道威棱镜采用图4所示的光路结构时，在观察屏上获得的图像如图5所示.信号图像经道威棱镜分析可知，z轴沿着光线传输方向，垂直于主截面的x轴方向不变，当信号图像经过一次反射后，信号图像成镜像，即右手螺旋坐标转变成左手螺旋坐标.由此可知，y轴坐标如图5所示.通过比较图5的(a)(b)(c)可知，信号图像经过不同对称底角的道威棱镜后，产生的图像并没有发生明显变化.

图5 道威棱镜绕中心轴旋转0°获得的图像Fig.5 The image obtained by rotating the Dove prism 0° around the central axis

由工程光学知识可知，当道威棱镜绕中心轴以某一角度旋转时，信号图像绕中心轴以同向两倍的角度旋转.对不同对称底角结构的道威棱镜，以30°、45°、90°、180°旋转角为例，分别观察到的信号图像如图6～9所示.

图6 道威棱镜绕中心轴旋转30°获得的图像Fig.6 The image obtained by rotating the Dove prism rotates 30° around the central axis

图7 道威棱镜绕中心轴旋转45°获得的图像Fig.7 The image obtained by rotating the Dove prism rotates 45° around the central axis

图8 道威棱镜绕中心轴旋转90°获得的图像Fig.8 The image obtained by rotating the Dove prism rotates 90° around the central axis

图9 道威棱镜绕中心轴旋转180°获得的图像Fig.9 The image obtained by rotating the Dove prism rotates 180° around the central axis

图6显示，当道威棱镜沿着光线传输方向顺时针旋转30°时，信号图像以顺时针方向转动60°.图7显示，当道威棱镜沿着光线传输方向顺时针旋转45°时，信号图像以顺时针方向转动90°.图8显示，当道威棱镜沿着光线传输方向顺时针旋转90°时，信号图像以顺时针方向转动180°.图9显示，当道威棱镜沿着光线传输方向顺时针转动180°时，信号图像以顺时针方向转动360°.

通过对图6～9所获得的信号图像分析可知：不同对称底角结构的道威棱镜对信号图像的旋转特性完全一致；采用不同对称底角结构的道威棱镜，在实现信号传递上并没有明显差别.

4 结 论

本文通过对道威棱镜几何结构的分析，给出了对称底角道威棱镜底角所需要满足的条件，得到了道威棱镜长度与底角关系的数学表达式.利用TracePro光学设计软件，对不同对称底角道威棱镜的旋转特性进行虚拟仿真，结果显示，采用任意对称底角道威棱镜结构均能实现信号图像的有效传输和旋转.该研究结果对工程光学关于道威棱镜的教学和虚拟仿真演示进行了有益补充和拓展，也为道威棱镜的优化设计提供了思路.