基于局域共振的舰船浮筏低频减振方法

2022-09-20周奇郑骆子寅

中国机械工程 2022年17期

郭彭周奇郑骆子寅李剑

1.海军工程大学兵器工程学院，武汉，430033 2. 中国人民解放军92480部队，青岛，266004

0 引言

机械噪声是巡航状态下舰船的主要噪声源，主要是舰船内部机械部件的往复和旋转运动激励壳体振动，进而向周围空气和海水辐射的噪声[1]。该类噪声会在舰船辐射噪声低频段的某些频率处使噪声强度陡然增高，形成线状谱，强度高于附近连续谱10～25 dB。由于低频线谱噪声能量集中且稳定，传播距离远，是现代被动声呐检测、跟踪和识别舰船的重要特征信号，因此，该类机械噪声严重影响舰船的声隐身性能。由此，从噪声产生源头出发，研究舰船动力机械低频振动线谱的控制方法具有重要的军事应用价值。

虽然单级、双级、气囊、浮筏等隔振系统在舰船上得到了广泛的应用，可使全频段振动量级得到降低，但是对低频振动线谱控制仍然是一个难题[2]。文献[3]利用反馈混沌化理论，研究了多谐波激励条件下隔振系统的混沌化，达到降低多自由度隔振系统线谱成分和改变频谱结构的目的。文献[4]在主被动混合隔振原理的基础上，研究了工程化磁悬浮-气囊混合隔振应用技术，研制了满足船舶应用要求的混合隔振装置，并提出了工程实用的控制算法。文献[5]又针对工程实际中机械设备振动线谱频率波动以及多台机组运转激励出密频振动线谱带来的主动控制问题，改进了Fx-Newton算法，并进行了实验研究。文献[6]采用有限元方法模拟计算了吸振器在浮筏上的减振效果，研制了磁流变弹性体半主动吸振器，并进行了减振实验。文献[7]基于反共振原理，应用流体动量方程和振动理论推导了一种新型流体浮筏隔振器的数学模型，并分析了其隔振性能。文献[8-9]研究了含惯容器动力反共振隔振器的低频线谱隔振机理，并讨论惯容器在动力反共振隔振器的应用效果。局域共振结构利用局域振子的周期布置和反共振实现了结构中弹性波传递的带隙，在其带隙频率范围内可以高效地抑制结构振动，这为减振降噪技术的发展开辟了一条新途径[10]。弹性波带隙的性质与局域振子的参数密切相关，通过对局域振子的设计可实现对带隙的有效调控。相关研究[11-12]表明，在基体结构上附加具有负刚度特性的局域振子能够实现低频的带隙，这为局域共振结构的应用发展提供了有力的参考。此外，悬臂梁式结构的应用同样是调控弹性波带隙[13]，实现低频减振降噪的有效方式。然而，要利用局域共振理论实现动力机械低频振动线谱的控制，在机理揭示、行为调控等方面还存在基础问题有待解决。

本文针对动力机械激励下舰船浮筏低频振动与辐射噪声线谱的控制问题，将动力机械运转产生的不平衡力视为点激励力，并作用在具有周期局域共振单元的柔性平板上，建立平板和局域振动单元的连续-离散耦合振动方程，研究局域共振单元对单个和多个低频振动与辐射噪声线谱的控制作用。

1 柔性基础局域共振隔振系统动力学模型

动力机械振动激励下平板结构低频振动线谱的控制问题如图1所示，假定动力机械运转产生的力通过弹簧刚度系数为k0、阻尼系数为c0的隔振器在(x0,y0,0)处与局域共振板相连，动力机械运转产生的惯性力幅值为merω2，其中，me为动力机械转子的质量，r为偏心距，ω为旋转角速度，动力机械的总质量为m0。局域共振板上布置有P×Q个局域振动单元(图1)，局域共振板的材料参数如下：弹性模量E、密度ρ、泊松比μ。几何参数如下：长度a0、宽度b0、厚度h。假定每个局域共振单元中包含R个局域振子，每个局域振子的质量为mi，弹簧刚度系数为ki，弹簧阻尼系数为ci；局域共振单元在x方向的间隔为a，y方向的间隔为b，假设局域共振板中面上各点仅做沿z轴方向的微幅振动，位移为w，局域振子的振动位移为ui，根据Hamilton变分原理可得到动力机械-平板-局域共振单元的耦合振动方程。

图1 动力机械激励下局域共振板的动力学模型Fig.1 Dynamic model of locally resonance plate underdynamic mechanical excitation

动力机械-平板-局域共振单元组成的连续-离散系统的耦合振动方程为

(1)

(2)

(3)

D=Eh3/12(1-μ2)2=∂2/∂x2+∂2/∂y2

式中，FKc为动力机械运转过程中通过弹簧和阻尼器传递至平板的力；FTu为所有共振单元施加于平板的作用力；D为平板的抗弯刚度；2为Laplace算子；δ()为Dirac函数；分别为动力机械振动激励作用点的位移和速度；分别为各振子与平板连接点处的位移和速度。

2 耦合振动方程的解

由式(1)可知，动力机械-平板-局域共振单元组成的耦合系统中包含连续梁的振动和离散振子的振动，连续振动和离散振动通过连接点耦合，下面根据振动理论推导耦合振动方程的解。

由于耦合系统是在动力机械运转过程中产生的激励力下振动的，故由动力机械的振动方程可将其振动位移表示为

U(t)=U0ccosωt+U0ssinωt

(4)

式中，U0c、U0s分别为动力机械振动位移的余弦和正弦成分。

若不考虑系统中的非线性因素，平板在激励力作用下的振动将与激励力的振动具有相同的振动周期，因此，根据模态展开法，平板在强迫激励下的振动位移可表示为

(5)

其中，wmnc、wmns分别为平板振动位移的余弦和正弦成分，ψmn(x,y)为振型函数，对于四边简支平板，有

ψmn(x,y)=sinkmxsinkny

(6)

km=mπ/a0kn=nπ/b0

由于局域共振单元置于平板上，随平板一起振动，因此可将局域振子的振动位移写为

upqi(t)=Upqiccosωt+Upqissinωt

(7)

其中，Upqic和Upqis分别表示局域振子振动位移的余弦和正弦成分。

将式(4)、式(5)、式(7)代入式(1)，将其第一式两端乘以ψm′n′，并沿平板表面积分，将结果按谐波平衡法展开可得

(8)

(9)

κ=4/(a0b0)ψmn0=ψmn(x0,y0)

ψmnipq=ψmn(xi+pa,yi+qb)

为便于表示，将局域振子按总数P×Q×R排序。令x=(wmnc,wmns,U0c,U0s,uc,us)T，wmnc、wmns、uc和us分别是由wmnc、wmns、Upqic和Upqis组成的向量，将式(1)、式(8)和式(9)写成矩阵形式：

(10)

Ku=-m0ω2+k0

K56=diag(…,ciω,…)

Ku=diag(…,-miω2+ki,…)

F=(0,merω2cosωt,0)T

ψ0=(ψ110,ψ120,…,ψMN0)

ψ1=(ψ111,ψ121,…,ψMN1)

ψPQR=(ψ11PQR,ψ12PQR,…,ψMNPQR)

计算中，考虑模态的最大阶数为(M,N)，求解式(10)即可得到动力机械运转产生的不平衡力作用下平板-局域共振单元耦合振动的解。获得平板表面振动位移后，可以根据Rayleigh积分公式，将平板表面辐射声压用其表面位移表示为

p(x,y,0,t)=

(11)

式中，k、ω、ρ0分别为波数、振动频率、流体介质密度；S为平板表面面积；|r-r′|为空间中一点(x′,y′)到平板上一点(x,y)之间的距离。

利用结构振动表面声强积分可获得结构的辐射声功率，即有

(12)

其中，上标T表示共轭转置；Zmn为声辐射阻抗，可以由以下公式计算得到：

(13)

进一步可由以下公式计算得平板表面辐射声功率级：

(14)

式中，W0为参考声功率，本文W0=1×10-12W。

3 结果与讨论

在平板结构表面周期布置小质量局域振子的目的是为了降低低频振动线谱激励下平板结构表面的振动速度，进而控制结构的辐射噪声。下面研究周期布置小质量局域振子对平板低频振动线谱与辐射噪声的控制问题。假定动力机械的总质量m0=5 kg，转子质量为2 kg，偏心距r=0.2 mm；隔振器的刚度系数k0=4.93 kN/m，阻尼系数c0=1.5 kN·s/m，隔振器作用在平板的中心，即(a0/2,b0/2)处；平板的几何参数为：a0=1 m，b0=0.8 m，h=0.003 m。材料参数为：弹性模量E=7.0×1010 N/m2，密度ρ=2.7×103kg/m3，泊松比μ=0.3。研究平板表面周期布置80个局域振子时，在动力机械运转产生的不平衡力激励下平板的振动与声辐射特性。

为实现附加小质量和低频共振的要求，设计了改进型悬臂梁式局域振子，如图2所示，其中支架为铝合金，材料参数与平板材料参数一致。质量块为结构钢，其参数为：弹性模量E=2.09×1011N/m2，密度ρ=7.72×103kg/m3，泊松比μ=0.269。支架的结构尺寸为42.5 mm×10 mm×0.5 mm。由COMSOL有限元软件仿真计算得到振子的前5阶固有频率，如表1所示，可知，振子的第一阶固有频率50.08 Hz远低于其他阶固有频率，因此，在研究的频率范围内可认为该振子的固有频率就是其第一阶共振频率。在保持支架参数不变的情形下，通过调整质量块的尺寸可以改变振子的固有频率，设计的三类振子的质量块尺寸和固有频率如表2所示。

图2 改进型悬臂梁式局域振子Fig.2 Improved beam-like locally resonant resonator

表1 改进型悬臂梁式局域振子的固有频率Tab.1 Natural frequencies of improvedbeam-like locally resonant resonator

表2 三类振子结构参数和固有频率Tab.2 Structure parameters and natural frequenciesof three types of resonstor

3.1 局域共振单元对单振动线谱的控制作用

本节讨论动力机械旋转频率f=50 Hz、75 Hz、100 Hz，且平板表面分别布置三类局域振子时耦合系统的横向振动特性。研究局域共振单元中只包含一类振子时平板的振动与声辐射特性。首先，研究在平板表面周期布置10×8阵列的局域共振单元，且每个局域共振单元中仅含有一种振子2，共80个振子时平板的振动和声辐射特性。

图3给出了动力机械旋转频率在10～150 Hz范围内变化时，平板表面有无局域共振单元情形下的平均振速级和辐射声功率级曲线。由图3可知，在研究频段内，附加局域共振单元后，平板表面平均振速级以及辐射声功率级总体上均呈现出一定幅度的降低；当动力机械旋转频率f=75 Hz时，表面平均振速级由原来的125.1 dB降低为109.3 dB，降低了12.6%；辐射声功率级由原来的162.6 dB降低为141.9 dB，降低了12.7%；若旋转频率稍偏离75 Hz，减振效果以及对平板的辐射噪声的抑制效果就很弱，表明f=75 Hz处的振动与噪声线谱得到了有效控制。

(a)表面平均振速级

(b)辐射声功率级图3 平板表面有无共振单元时的表面平均振速级和辐射声功率级Fig.3 The average surface vibration speed level and theradiated sound power level of the plate with resonantunits and without resonant unit

图4为旋转频率f=75 Hz时，局域共振板(振子2)和无振子平板的表面振幅分布云图，由图4可知，平板表面附加局域共振单元后振幅分布普遍降低了50%，对数据进一步进行处理可得到振幅最大衰减为78.4%。

图4 激励频率为75 Hz时，无振子平板和局域共振板(振子2)的表面振幅云图Fig.4 Displacement profiles of the plate withoutresonator and with resoantor 2 at 75 Hz

表3和表4给出了三种激励频率下三类局域共振板的表面平均振速级和辐射声功率级。由表3和表4可知，对于局域共振板(振子1)，当激励频率为50 Hz时，表面平均振速级和辐射功率级分别为101.4 dB和119.0 dB，分别降低了24.9%和38.4%；对于局域共振板(振子2)，当激励频率为75 Hz时，表面平均振速级和辐射功率级分别为109.3 dB和141.9 dB，分别降低了12.6%和12.7%；对于局域共振板(振子3)，当激励频率为100 Hz时，表面平均振速级和辐射功率级分别为113.2 dB和153.5 dB，分别降低了12.9%和13.7%。表明当激励频率等于共振单元中振子的共振频率时，平板的表面平均振速级和辐射功率级均可得到较好的控制，也即采用局域共振法可同时控制平板结构的振动与辐射声功率。

表3 三种激励频率下三类局域共振板的表面平均振速级Tab.3 The surface average vibration velocity levelsof three types of locally resonance plates under threetypes of excitation frequencies

表4 三种激励频率下三类局域共振板的辐射声功率级Tab.4 The radiated sound power levels of three types oflocally resonant plates at three types of excitation frequencies

下面分析表面平均振速级和声功率级得到有效控制的原因。铝合金板的质量为6.48 kg，对于局域共振板(振子1)，附加的振子质量为0.142 kg，附加质量仅为平板质量的2.19%；对于局域共振板(振子2)，附加的振子质量为0.076 kg，附加质量仅为平板质量的1.17%；对于局域共振板(振子3)，附加的振子质量为0.0528 kg，附加质量仅为平板质量的0.81%。因此，附加的质量仅能使平板表面平均振速级以及辐射声功率级总体上得到一定的降低(图3)，并不能使平板表面平均振速级在特定频率处有显著的降低。当激励频率等于局域共振单元中振子的固有频率时，局域共振单元引起的反共振使得局域共振板的表面平均振速级和辐射声功率级得到有效控制，因此，控制低频振动线谱的主要原因是耦合系统中局域共振单元的反共振作用。

3.2 局域共振单元对多振动线谱的控制作用

实际运行中的舰船有多个动力机械同时工作，可能产生多个低频激励力，因此，下面研究局域共振单元对多个低频振动线谱的控制作用。当每个局域共振单元中含有2个振子1和2个振子2时，平板表面在有无局域共振单元情形下，旋转频率在10～150 Hz范围内变化的平均振速级和辐射声功率级曲线如图5所示。由图5可知，局域共振板(振子1和振子2)表面平均振速级和辐射声功率级中均出现两个极小值点，在图5a中，极小值点分别为106.0 dB和113.1 dB，对应的频率分别为50 Hz和75 Hz，这两个极小值点对应的频率处平均振动幅度分别降低21.5%和9.6%；在图5b中，极小值点分别为130.5 dB和150.6 dB，对应的频率分别为50 Hz和75 Hz，这两个极小值点对应的频率处平均振动幅度分别降低32.5%和7.4%。

(a)表面平均振速级

(b)辐射声功率级图5 平板表面有无双振子共振单元时的表面平均振速级和辐射声功率级Fig.5 The average surface vibration speed level and theradiated sound power level of the plate with dual redonstorresonance units and without resonance unit

表5和表6分别给出了局域共振单元中含有两个振子时特定频率点处平板表面平均振速级和辐射声功率级，由表5与表6可知，采用两个振子组成的局域共振单元可以控制两条振动线谱。与图3比较可知，采用双振子共振单元时，平板表面平均振速级中多出了一个极小值点，该极小值点对应的频率为振子2的固有频率；比较表3可知，采用双振子共振单元时，振子固有频率处平板表面平均振速级分别降低21.5%、9.6%、10.2%，振子固有频率处平板表面辐射声功率级分别降低32.5%、7.4%、9.7%，可见，采用双振子共振单元的振动控制效果较单振子共振单元差。采用单振子共振单元时，对单个振子来说可以组成80个单元；而采用双振子共振单元时，对单个振子来说组成的是40个单元，平板表面布置的单个振子数量的减少可能是振动线谱控制效果降低的主要原因。

表5 局域共振单元中含多个振子时平板表面平均振速级Tab.5 The average vibration speed level of the plate withresonant units containing multiple types of resonaotrs

表6 局域共振单元中含多个振子时平板辐射声功率级Tab.6 The average vibration speed level of the plate withresonant units containing multiple types of resonators

上述分析表明，在平板结构表面布置局域共振单元可以控制其低频振动线谱，但在舰船动力机械的实际运行过程中，动力机械的转动速度往往在一个小频率范围内波动，因此，为使局域共振单元有效发挥其对低频振动的控制作用，需进一步研制具有较宽低频共振频带的小质量振子。

3.3 有限元分析

本文设计了一种小尺寸轻质悬臂梁式低频振子，由表2可知，振子3的一阶固有频率为100 Hz，利用有限元软件COMSOL对其进行模态分析，模拟局域振子与平板的安装环境，得到振子3的第一阶振型如图6所示。

图6 振子3的第一阶振型Fig.6 The first mode of resonator 3

理论分析过程中只考虑振子的一阶固有频率，由图6可得，振子3的一阶模态为弯曲振动。为分析振子发生反共振作用时应力是否能够满足材料的强度要求，可将其视为弹性体，并要求结构上任一点的应力满足如下表达式：σmax≤[σ]，其中σmax代表振子的最大弯曲应力，[σ]代表振子中支架的抗弯强度极限，振子支架的使用材料为铝合金，其抗弯强度极限为265 MPa。假设在平板表面布置8×10阵列的振子3，旋转机械设备的激励频率ω=100 Hz的惯性力幅值由merω2计算得到，为157.9 N，设备安装在平板中心位置，平板和设备的参数与3.1节保持一致。由COMSOL进行应力分析可得局域共振平板以及具有最大应力的振子应力分布，如图7所示。

(a)局域共振板(振子3)的应力分布

(b)振子3的最大应力分布图7 应力分布图Fig.7 Stress distribution diagram

由图7可得，局域振子在发生共振时的最大应力σmax=65.2 MPa，小于[σ]=265 MPa，满足应力条件要求。对局域振子进行应力分析保证其满足强度要求后，为进一步验证理论分析结果的正确性，以未附加振子的简支平板以及附加振子2(表2)的局域共振板为例，平板的参数与3.1节保持一致，分别利用解析法和有限元法计算出10～150 Hz范围内平板表面平均振速级和辐射声功率级,如图8所示。由图8可得，解析法和有限元法计算结果具有较高的吻合度，进一步证明了耦合方程推导及求解的正确性。