高考压轴题的结构特征与突破路径探析*
2022-09-19刘绿芹
刘绿芹
(浙江师范大学教师教育学院 321004 江苏省盐城市教师发展学院 224001)
《普通高中数学课程标准》(2017年版2020年修订)中关于评价提出了“要有利于考查学生的思维过程、思维深度和思维广度”的要求，而高考数学压轴题正是体现该要求的载体之一.然而，从高三数学教学实践来看，突破压轴题却是学生最头疼的问题之一，主要表现为“一看答案就会,不看不会”.之所以会出现这样的问题，主要是对压轴题的内在思维结构水平要求没有深刻的认知，不同的问题有着不同的思维结构水平要求，同时，学生解决问题时，也能够表现出其思维结构水平.因此，我们可以从压轴题的思维结构水平方面，寻找突破压轴题的路径.
1 思维结构的理论基础与水平划分
对于思维结构，在不同的研究领域有着不同的阐释、理解与划分标准.在高中数学压轴题突破方面，我们以SOLO分类理论作为思维结构的理论基础，该理论是澳大利亚学者彼格斯(Biggs)和科利斯(Collis)两位教授在皮亚杰认知发展阶段论的理论基础上发展起来的.SOLO分类理论认为，学生回答具体问题时所表现出来的思维结构是可观察的、可检测的，称为“可观察的学习结果结构”(Structure of the Observed Learning Outcome).由此可见，虽然人们很难根据皮亚杰的分类法认定学生处于哪一个发展阶段，但却可以根据SOLO分类理论，判断学生在回答某一具体问题时的思维结构处于哪一层次.目前，SOLO分类理论不仅已经被广泛应用于理科，诸如数学、物理、化学等，还应用于历史、地理、英语等文科类学科的教学和评价上.
学习是一个逐渐积累、不断演进的过程，学生对某一内容的理解存在多个不同的中间水平.根据SOLO分类理论，可将思维结构水平划分为五个层次：前结构水平(P)、单点结构水平(U)、多点结构水平(M)、关联结构水平(R)和抽象扩展结构水平(E).在前结构水平层次上，学生无法找到解决问题的相关素材以及线索，只能用一些与问题毫不相关的内容来解答，解决不了具体问题.在单点结构水平层次上，学生只能够找到解决问题的线索和相关素材中的个别，依然无法解决相关问题.在多点结构水平上，学生找到了解决问题的多个线索或多个孤立的相关素材，但未能有效整合这些素材，同样无法真正解决问题.在关联结构水平层次上，学生不仅能够找到解决问题所需的线索以及所需的相关素材，而且能够将这些相关素材进行整合与关联，能够解决相关问题.在抽象扩展水平结构层次上，学生在找准问题线索的基础上，不仅能够将相关素材进行关联，同时还能够结合相关假设，解决相关问题，获得新的解答、新的方法或新的结论.
思维结构水平划分针对的是学生回答或解决问题时所反应出来的学习结果的结构，是对学生的思维水平进行质性划分，其聚焦点为学生.而思维结构水平要求是针对具体问题而言，通过对问题的分析，提出解决问题时需要学生具备什么样的结构水平，其聚焦点为问题.对于解决高考压轴题而言，需要根据试题进展的不同阶段，提出具体的思维结构水平要求，并针对性地进行突破，力求让更多的学生达到更高的思维结构水平.
2 压轴题的思维结构特征
高考数学压轴题之所以难度大，是因为它对思维结构的要求有别于普通试题.在普通综合类数学试题中，往往注重循序渐进，思维结构水平要求起点低，一般是从单一结构水平(U)出发为主，终点多为关联结构水平(R).在进展过程中，逐步要求，逐级提升，呈线性状态.而高考数学压轴题的思维结构水平要求起点较高，多以多点结构水平(M)为起点，抽象扩展水平(E)为终点，其思维结构水平要求呈逐渐加速形态，如下图.因此，探析压轴题思维结构水平要求特征将有助于进一步明确突破路径.
图1 试题进展与思维结构水平要求的关系
2.1 单一结构水平为表象，多点结构水平为实质
在高考压轴题中，经常会出现一类题设较短、知识背景看似简单的问题，乍一看是单一结构水平(U)要求，但实则是多点结构水平(M)要求.该类试题常常将以鲜明的单点知识为表象，但在试题解决的进程中不知不觉地需要带入其他知识点或解题方法，仅凭单一结构水平无法解决相关问题的.
例1
(2021年高考全国乙卷第19题)设{a
}是首项为1的等比数列，数列{b
}满足已知a
,3a
,9a
成等差数列.
(1)求{a
}和{b
}的通项公式；(2)记S
,T
分别为{a
}和{b
}的前n
项和.
证明：从该题的表面条件来看，是等比数列问题，然而数列{a
}中的a
,a
,a
间又有特殊的关联关系，显然，该问题不得不引入等差数列的知识——等差中项，运用a
+9a
=2×3a
,再结合a
=1，可解出进而{a
},{b
}的通项公式不难得出.
根据第(1)问可知从结构上看，分子是等差数列，分母是等比数列，究竟用等差数列求和公式还是等比数列求和公式解决该问题呢？显然，T
既不是等差数列的求和，也不是等比数列的求和，单纯靠一种方法已无法解决该问题，需要引入新的解决问题方法——错项相减法，即在两边同乘得再将两式相减，得其中即为新转化的等比数列求和问题，至此，第(2)问不难解决.
由此可见，该题仅靠单一的等比数列的公式或等差数列的公式是无法解决的，必须引入新的知识和方法，只有在多点结构水平的基础上才能解决问题.
2
.
2 多点结构水平为台阶，关联结构水平为核心
高考压轴题一般设置多问，难度逐步递进，呈台阶式发展，知识方法的使用也呈现出多样态，并相互关联.
此类问题以多点结构水平要求为基础，搭建台阶，但彻底解决相关问题则需要达到关联结构水平要求.
例如，圆锥曲线问题往往与直线一起出现，并以直线的变化为主线，主导着试题的变化与发展方向.
在实践中，多点结构水平能够解决多个相对独立的基本问题，但由于直线的变化，导致相关知识之间的联系较为密切，问题变得错综复杂.
显然，单点结构水平无法解决相关问题，这就需要关联结构水平来解决问题.
例2
(2019年全国卷Ⅱ第21题)已知点A
(-2,0),B
(2,0),动点M
(x
,y
)满足直线AM
与BM
的斜率之积为记M
的轨迹为曲线C.
(1)求C
的方程，并说明C
是什么曲线.
(2)过坐标原点的直线交C
于P
,Q
两点，点P
在第一象限，PE
⊥x
轴，垂足为E
，连结QE
并延长交C
于点G.
①证明：△PQG
是直角三角形；②求△PQG
面积的最大值.
该题的结构是以椭圆为框架，以直线变化为核心，构建圆锥曲线中的基本图形——三角形.
第(1)问中，仅需运用斜率之积为和椭圆标准方程即可解决问题，求得C
的方程为第(2)问中，根据条件，由直线PQ
逐步演变至PE
,QE
及QG
,逐步形成△PQG
，并证明该三角形是直角三角形，求该三角形面积的最大值.
显然，该题演变至此，已无法仅靠椭圆的知识和方法来解决问题，需要将椭圆、直线、函数等关联起来解决问题.
第(2)问中的第①小问通过“设而不求”的方法，即设直线PQ
的方程为y
=kx
(k
>0)，将其与椭圆方程组成方程组，求得含参数的P
,Q
,E
点的坐标分别为(t
,tk
),(-t
, -tk
),(t
,0)，其中进而将直线QG
与椭圆组成方程组，得到含参数的G
点坐标，并求得PG
的斜率为至此，该小题得证.
对于第②问，它是在第①问的基础上，得到故△PQG
的面积由此，该问题演变成了函数求最值的问题，即令可将问题转化为基本不等式问题，从而求解出△PQG
的最大值.
从整体上看，该题一步一个台阶，拾级而上，逐步关联各种数学知识、数学方法，最终解决问题.
2
.
3 关联结构水平为基础，抽象扩展水平为目的
高考数学压轴题之所以难，是因为压轴题不仅要求学生具有扎实的基础，还要求能够将多种数学知识、方法、思想等关联、融合，并在此基础上，跳出原有体系框架，进行抽象扩展，获得新的解决问题的途径与方法.
扩展抽象水平必须建立在关联结构水平的基础之上，它是思维结构水平中的最高层次.
因此，高考的最后一道压轴题主要以该水平为命题的出发点，考查学生的抽象扩展能力.
例3
(2021年新高考Ⅰ卷第22题)已知函数f
(x
)=x
(1-lnx
).
(1)讨论f
(x
)的单调性；(2)设a
,b
为两个不相等的正数，且b
lna
-a
lnb
=a
-b
，证明：该题的条件较为简洁，只有唯一的一个，即函数f
(x
)=x
(1-lnx
)，再无其他信息.
问题也较为清晰，第(1)问讨论该函数的单调性，第(2)问是在等式的基础上，证明不等式.
该题的第(1)问属于基础题，不难解得f
(x
)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,+∞).
然而，该题的第(2)问却无法直接看出与条件函数f
(x
)=x
(1- lnx
)及第(1)问的联系，试题难度突然陡增，导致一些学生在此结束该题.
但一部分具备了关联结构水平的学生能够继续探索，他们想到了将第(2)问中的条件“b
lna
-a
lnb
=a
-b
”与主题干中条件“函数f
(x
)=x
(1-lnx
)”相关联，这是解决问题的关键，于是有了整理“同类项”，构造函数的想法，将“b
lna
-a
lnb
=a
-b
”变形为随后却发现，不具备函数f
(x
)的结构特征，不满足f
(a
)=f
(b
)，于是一部分学生便束手无策.
到此，该题进入了抽象扩展水平要求阶段，尽管该题f
(a
)≠f
(b
)，但若学生具备了抽象扩展水平，能够从a
扩展到从b
扩展到的话，即可获得再令进而将证明q
>2和p
+q
.
从该题的结构来看，该是以关联结构水平为基础，主要目的是考察学生的抽象扩展水平.
3 压轴题的突破路径探析
突破压轴题需要具备一定的基本知识和基本技能，仅仅处在前结构水平和单一结构水平上是无法有效突破压轴题的，因此，压轴题的突破路径应至少建立在多点结构水平之上，否则无法实施.
3.1 注重核心内容的周边知识积累，提升多点结构水平
作为综合题的高考数学压轴题，不可能仅仅由一种知识构成，它往往是围绕某一核心内容做文章，并配以其他知识作为补充，以求达到综合的效果.根据往年的高考试卷统计，在高中数学的众多考点中，能够设置为高考数学压轴题的核心知识较为明确，一般为函数综合、导数综合、数列综合和解析几何综合四大类.在突破这些压轴题时，不仅需要对这些核心知识有较为深刻的掌握，同时，还要对周边相关知识有一定量的积累，例如，解决函数类压轴题需要用到的周边知识有集合、方程、导数、不等式等；解决导数类压轴题需要用的周边知识有函数及其性质、几何、不等式等；解决数列类压轴需要用的周边知识有函数、方程、不等式等；解决解析几何类压轴题需要用到函数、向量、方程、不等式等.
在探寻压轴题突破路径时，除了深入掌握核心知识外，要特别注重梳理核心内容的周边知识，它们往往就是突破压轴题的一个节点，缺少了任何一个都将影响问题的解决.在实践中，通过对周边知识的梳理，我们往往能找到突破压轴题的相关知识.因此，扎扎实实的多点结构水平是突破压轴题的基础.
3.2 挖掘多种知识间的隐藏联系，形成关联结构水平
高考数学压轴题中的多种知识是试题结构中的节点，这些节点之间通过数学思想、数学方法构成各种各样的联系，然而，联系往往又是隐性的，并不表露于试题，因此，挖掘多种知识间的隐藏联系是解决压轴题的核心，挖掘出压轴题中蕴含的数学方法和数学思想是突破压轴题的重要途径.
一是函数综合压轴题中蕴含着函数与方程、数形结合、转化与化归、分类讨论、待定系数法、构造法等数学思想与方法；二是导数综合压轴题中蕴含着数形结合、转化、换元等数学思想与方法；三是数列综合压轴题中蕴含着函数与方程、等价转换、分类讨论、构造法、数学归纳法等数学思想与方法；四是解析几何综合类压轴题中蕴含着等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论、待定系数法、参数法等数学思想与方法.由此可见，数学思想与方法并不固定属于某一类压轴题，它可以存在于不同的问题类型里，这些隐藏着的数学思想与方法是多种知识间的纽带，通过它们可以将压轴题由繁化简、由难转易.
因此，当学生处在关联结构水平层次上时，能够发现压轴题中多种知识的隐藏联系，并通过数学思想与方法，游刃有余地将不同类型的知识进行互相转换、重新组合，将其转变成熟悉的数学问题，进而使压轴题得到突破.
3.3 密集发散性思维触角，突破抽象扩展水平
突破高考压轴题除了需要具有广泛的基础知识、灵活的思想方法外，还需要具有密集的发散性思维触角，能够敏锐感知到与问题相关的各种内容、各种思路.发散性思维的触角越多越敏锐，则突破抽象扩展水平的可能性越大，解决压轴题的可能性也将越大.
解决高考压轴类问题时，需要思维由已知分别发散到高度相关的内容、一般相关的内容或较少相关的内容.在平时的实践过程中，要有意识地关注与提炼看似边缘知识里的核心内容，以此来密集发散性思维触角，同时，要注重提炼其中的核心方法与核心思想，以提升发散性思维触角的敏锐度，达到随时抽象与扩展的要求.然而，鉴于人的思维层次从关联结构提升到抽象扩展结构需要付出巨大的努力，指望所有的学生达到更高层次是很不现实的.因此，在平时教学过程中，教师要特别注重因材施教，尽量让每个学生在数学中得到最大可能的发展，但不勉强每一个学生都达到抽象扩展水平.
4 结束语
高考压轴题千变万化，在基于SOLO分类理论的思维结构视域下，突破高考压轴题需要教师深入分析多种不同类型的高考压轴题，明确各种压轴题的思维结构要求，并由此选择不同的思维结构水平进阶路径.同时，要划分不同学生现有压轴题思维结构水平，并根据不同的学生给予不同的突破路径及具体策略，在学生明确了自己的等级水平后，再进一步激发其深入学习的欲望.当压轴题的思维结构要求与学生的现有思维结构水平相匹配时，突破高考压轴题将不再是可望而不可及的目标.
