素养立意 导向教学——解析2019年山西省中考数学第20题

文斌 山西省稷山县教育教学研究中心

数学素养属于认识论和方法论的综合性思维形式，它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征。近年来，山西省中考数学的命制重视考查学生的数学素养，目的是引导数学教学培养学生终身受用的核心能力与品质。

学生接受知识的主阵地在课堂。教师应利用数学课堂培养学生从数学的视角分析问题和解决问题的能力，促使学生积极主动地参与社会活动，从而学好数学、用好数学。2019年山西省中考数学的第20题就是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动题，试题的独特“考法”是撬动教师有效“教法”的一次积极探索，是让学生喜欢数学、运用数学的有力推手，更是推动人们用数学思维和方法不断去解决实际问题的成功典范。

一、试题特点：既体现课程的基础性，又反映课程的发展功能

2019年山西省中考数学20题：（本题9分）

某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动。他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量。他们在该旗杆底部所在的平地上，选取了两个不同的测量点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离。为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据见表1。

表1

任务一：两次测量点A、点B 之间的距离的平均值是________m。

任务二：根据以上测量与计算结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出旗杆GH的高度。

（参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

任务三：该“综合与实践”小组成员在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的不同方案，但一直未被采纳。你认为其不可行的因素可能是什么？（写出一条即可）

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称《课标》）是山西省中考数学试题命制的唯一依据，命题着力评价学生“知识技能”的发展水平，体现数学课程的性质。

《课标》指出，义务教育阶段的数学课程是培养学生素质的基础课程，应具有基础性、普及性和发展性，这是数学的课程性质。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感态度与价值观等方面的发展，为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。

“综合与实践”活动是一类主要以实际问题为载体、以激发学生自主参与解决问题为主要目标的综合学习体验活动，重在实践、探究、综合。此类问题要综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等各种知识工具和技术方法来予以解决。

二、关注数学学科素养，彰显试题“八个维度”

本题以文本加表格的形式呈现，结构清晰明了，内容由浅入深，综合考查学生的文字理解、信息提取、符号转化、数学抽象、几何分析、数学建模和开放探究的能力，有效落实了山西省中考试题的“八个维度”。

（一）体现对“教学活动建议”的考查

“教学活动”的考查在数学上就是考查“综合与实践”活动。本题的背景就是“小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动”，旨在考查学生运用所学三角函数知识解决测量旗杆高度实际问题的能力。

（二）着力考查学生的阅读能力

本题侧重数学阅读能力，考查学生对题目的文字表述和图形符号的理解，得到：AC=BD=1.5m，∠DEG=90°，∠GDE=31°，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°使学生逐渐学会阅读抽象的数学语言，训练学生读取信息、分析问题的能力，不断拓宽学生审题的视野。

（三）考查学科基本素养

建立数模是搭起数学问题和客观世界联系的一座桥梁。本题考查解直角三角形的有关知识和建立数模的能力，学会用方程、锐角三角函数等表示测量物体高度问题中的等量关系和对应的变化情况，，GH=GE+EH，学会设计适当的测量物体高度的方案，构建正确的锐角三角函数模型就是本题重点考查的核心能力。

（四）借鉴国际PISA 考试的先进理念

实际生活中蕴含着许许多多与数量和图形密切相关的有趣问题，这些有趣问题经过分析可以抽象成学生所学的数学问题，而且用所学的数学知识可以轻松解决这些实际问题。本题突出体现在如何制定有效测量高度方案，建立适当的三角函数关系计算高度这一解决实际问题上。

（五）立足学科素养，加大问题的开放性

本题最典型的特点是试题设问方法的开放性。在本题“任务三”中，小组成员曾讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方法，但一直未被采纳。“你认为其不可行的因素可能是什么？”问题开放，这就使得有不同想法的学生都有机会来表达，最终找到好的解决办法，大大提升了学生的思维空间，考查了学生反思交流、分析问题的能力。

（六）注重数学文本阅读，强调表达、交流、共享

数学阅读应用能力的培养是提高初中数学课程教学质量重要实践手段之一。此小题的题干内容采用的是文字叙述加表格的组合形式，学生在理解这种涉及文字表达较多的综合性题目时，心中难免会有不适应。本题就是考验学生有没有耐心去读完题，能不能提炼出表格中的关键信息。EH=AC=1.5，CD=AB=（5.4+5.6）÷2=5.5，解题受阻的根源或许就在这儿，也是本题亮点之一。

随着“让阅读改变中国”的发声，山西省中考数学题已经率先一步让学生在试题中体验数学文本阅读，在阅读过程中不断提高思维能力。

题目在设计上留给了学生无尽的遐想和交流的机会。在任务三中讨论解决问题的措施方案，未被采纳。你认为其原因可能是什么？（写出一条即可），注重培养学生熟练进行各种常用数学文字表达的能力，强调了与其他人能更顺利、更有效进行交流的数学逻辑思维能力，倡导及鼓励学生善于运用一些抽象的数学思想和方法认识并分析某些具体问题，最终找到好的解决办法，提高学生运用数学语言来反思交流、分析问题的能力。

（七）注重文字与符号的转化，提升数学抽象素养

本题源自初中课本习题，起点较低，学生更容易理解，但本题中文字语言和数字图形语言同时并存，学生能否将抽象的文字语言转化为图形符号语言，顺利得到已知的条件，值得商榷。如分别测量了该旗杆顶端的仰角，就是题中的∠GCE 和∠GDE，进而获取到∠GCE=25.7°，∠GDE=31°的条件；两个测量点之间的距离，就是AB 的长度，怎么由题中给的测量数据得到AB=5.5m 的信息，都是依靠数学中的转化，数学抽象获取来的。这种方法有效实现了知识的迁移，是数学中最常用的思想。当以“数”和“形”为主要研究对象的内容相夹杂时，其抽象的程度难易，也是此题的一个坎。

（八）依托“综合与实践”活动，展现数学建模素养

建立数模关系是我们应用好数学知识和解决好实际生活问题的一条基本方法策略，数学学习中要重视建立模型思想。本题就体现出了构建一个数学模型需要确定相关参数、计算与求解、解决问题的科学过程。“学生制订了测量方案”为构建模型打好了基础；“利用课余时间完成了实地测量”确定了参数，同时兼顾了课内及课外活动；“为了最大限度减小人为测量误差，小组成员在测量仰角的度数以及两个测量点之间距离的时候，均分别测量了两次，并且计算它们的平均值作为最后的测量结果”，考查学生的统计知识、数学运算和用数学思维来分析研判问题的能力，目的就是检测学生运用所学数学基础知识、定理和特有的规律方法解释现实生活中的一些现象。

数学“综合与实践”活动是九年义务教育数学课程标准中的内容之一，本题以测量旗杆的高度为载体，以“提出问题—制定方案—书写报告—解决问题—小结提炼”为线索，小组参与，通过逐一完成任务的形式实现用数学方法构建模型来解决现实问题，达到了现行《课标》规定的对“综合与实践”科目提出来的课程总体要求，即结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中尝试发现和提出问题，这种以“活动报告形式测量旗杆高度”的方案来呈现试题，包括用数学语言来表述问题，很好地规范了活动报告书写格式，让学生的每一步都有所遵循，考查了学生建立数模、逻辑推理的能力。命题设计者是依托教材，精心构思设计，以学生完成任务的活动形式把数据统计、数据处理、分析与推理解题能力和综合素养要求放在活动首位，学生群体的共同团结和协作合力贯穿活动始终，体现出该学科独有的创新育人功能，让广大师生时刻关注到生活实践中遇到的有用数学，学会逐步探索，积累起更多数学探究，活动经验，感受到科学使用数学知识的一种无穷乐趣，真正体验到学习数学知识的价值所在。

三、解析试题：强化问题解决，指向学生综合实践能力的考查

（一）试题简析

任务一：由矩形的性质可直接推导得到EH=AC=1.5，CD=AB=（5.4+5.6）÷2=5.5。

任务二：建立数学锐角三角函数模型。设EC=xm，在Rt△DEG 中和Rt△CEG 中，分别利用∠GDE 和∠GCE的正切，解直角三角形分别表示出DE、CE；利用CD=CE-DE。

任务三：根据题意分析不可行的各种可能原因，诸如，阴天没有强烈的太阳光，无法准确测量出旗杆影子的实际长度等。

解：任务一：由题意可得，四边形ACDB 是一个矩形，四边形ACEH是一个矩形，

∴EH＝AC＝1.5，CD＝AB＝5.5。…………（2分）

即：两次测量点A、点B 之间的距离的平均值是5.5m。

任务二：设EG＝xm，

我国尽管实行的是中国特色社会主义民主政治制度，但由于官僚政治的长期浸染和一些文化积习的影响，官僚主义的“灰尘”和“污毒”犹在。毛泽东批评政府人员的弊端时，第一条就是“官僚主义，摆架子，不喜接近群众。群众有人走到政府里去问他们的事情时，政府办事人欢喜呢，答他们一两句，不欢喜呢，理也不理，还要说他们‘吵乱子’”。因此，他要求把官僚主义这个极坏的家伙抛到粪缸里去。

在Rt△DEG中，∠DEG＝90°，∠GDE＝31°，

答：旗杆GH的高度为14.7m。……………（8分）

任务三：答案不唯一：没有太阳光，测量旗杆影子的长度遇到困难等。………（9分）

任务二的多种解法

图1

解法1

解法2

解法3

解法4

（二）教学导向

1.重视“综合与实践”的课程实施

改变部分学校不上“综合与实践”课的现状，扭转部分学校“综合与实践”课的随意侵占行为。学校应当引导鼓励教师和学生主动关注身边的数学，加大学生小组活动实践的积极参与度。这样开展的教学活动，因为问题较贴近于学生实际的课外生活，学生课后比较容易上手操作，会受到学生和教师的喜爱。例如，测量本校教学楼的建筑高度，写出测量方法，实测相关数据，计算测量的过程，分析数据结果。多鼓励学生在小组共同合作学习理论知识的基础上，自主设计测量方法以解决现实问题。

2.用好教材，发掘其中解题思想与方法

试题是学生应用数学知识的有效载体。本题来源于北师大版教材的九年级数学下册第一章的第6 节《利用三角函数测高》中给出的“问题解决”：“选择一个底部可以到达的物体，测量一下它的高度，并撰写成一份测量活动报告，阐明活动有关课题、测量示意图、测出的数据结果和具体计算过程等。”学生手头的第一手资料是教材课后训练习题，因其题目具有极强的代表性和一定典型性特征，教师平时要有意识地对典型试题进行分类挖掘，抓住试题重点内容与知识难点，进行归纳分类与变式，让学生“一题多变”、举一反三，提炼多种解题新方法。

3.注重数学阅读，提高阅读素养

“阅读”是学生终身学习必备的能力。现在的中考数学试题已经越来越注重考查学生在数学上的快速阅读能力，教师可以适当引导学生了解数学文化、关注中外数学名著，获取外界信息知识、拓宽视野。笔者认为学会数学阅读是深度阅读的重要基石。数学教师应更加积极地、有计划有目标地逐步引导学生主动地去尝试数学阅读，培养学生自觉的课外阅读习惯。

4.设计开放性、探究性试题，提升学生创造能力

本题通过问题的直接引领，学生的主动学习参与，以完成任务的形式很好地实现了学生的“想”“析”“说”，提高了学生的表达和交流的能力。教师要通过课堂培养学生运用观察、比较来发现问题、提出问题的习惯；提高运用猜想、推理来分析问题、解决实际生活中的数学问题；运用概括、验证的思维方式不断积累和丰富数学活动经验，增强学生的数学应用意识和创新实践意识。让学生真真正正动起来，在做中去学，学中去做，提高学生动手能力，展现个性，尝试创新，不断实施数学建模活动，不断丰富师生的活动经历，增进师生的情谊，从中体会数学的应用价值，有效实现山西省“考改”促“课改”，“考法”领“教法”这一目标。