探历史之秘 享建构之美——以拓展课“数的认识”为例，谈数学史融入教学实践的体会

文／陈雅蓉

引 言

数的发展经历了一个漫长的过程。纵观数的发展历史，我们会发现数的发展过程竟与学生的认知过程如此相似。数学史与数学教育的关系是密不可分的。从历史中教师可以甄别学生的学习障碍，捕捉知识的核心价值，明确教学方向，让数学教学更“深”、更“透”。下面，本文以“数的认识”拓展课为例，谈谈如何站在HPM（数学史与数学教育之间的关系）的视角下开展小学数学教学。

一、寻迹

（一）认知起点与计数发展

孩子从一出生就不断接触到数，进入小学校园，丰富的数学学习活动帮助学生积累了丰富的数学学习经验。到了四年级，为了了解学生对数的认识掌握情况，课前，笔者先让学生根据已有学习经验用不同的方式表示出26。新课伊始，学生展示汇报，其作品见表1。

表1

表1作品其实很好地说明了学生对“数的概念”的建立过程：“数的概念”建立初期，主要是用一一对应的方式，一个圈对应一个数量；随着认知水平的不断发展，这时学生懂得将“10 根小棒捆成一捆”表示10，出现了按群计数的方法，这是“十进制进位”的启蒙；在计数器上表示“26”是一个巨大的飞跃，数字符号在不同的“位”表示基数不同的量。学生“数概念”的建立正是经历“实物对应—符号累加—位值占位”的过程。

（二）认知逻辑与位值发展

为了让学生更深入地了解数的发展过程，理解“数概念”的本质，本节课笔者设计了三次用不同的方式表示26：课前让学生用自己的方式表示26（见表1），旨在尊重学生的学习起点；课上用古人看得懂的方式表示26（见表2），站在历史的角度感受不同时代的人表示数的过程与方法；课尾用不同进制表示26（见表3），再次理解“进制”与“位值”的概念，凸显“位值”的价值。学生在数学史料的引领下，用多元的方法表示出26，丰富了认知经验，把握了数的发展过程。

表2

表3

表2是课上学生用三种不同时代的方式表示26，从学生作品中我们看到了数的发展：有体现远古时代的一一罗列；有体现古埃及时代的有位无值，但已经有十进制的雏形；还有体现古代算筹的有位有值。原来数是按照“实物对应—符号累加—位值占位”这样的顺序发展的。

续表

表3是课尾借助微视频介绍，学生用不同进制表示26。通过与“十进制”对比，学生纷纷表示：“十二进制”至少要11 个数字，计数和运算会比“十进制”复杂；“五进制”和“二进制”虽然数字比较少，但是没有“数位”的要求，在读数和写数上会比较麻烦。学生通过对不同进制表示方法再次进行对比，感受到了现代十进制计数法中“位值”的优越性。

二、探因

（一）儿童认知与数的发展历史

回顾历史，我们知道数的发展经历了“实物计数—象形符号计数（不同进制）—位值制计数—阿拉伯数字计数”这样的发展过程。由于人有10 根手指，所以产生十进制并不难，古埃及数字、中国甲骨文都是采用十进制，但十进制计数法最关键的一步是“位值制”。中国古代算筹的出现在计数史上创造了奇迹，它的优越性是显而易见的：古埃及、古罗马数字没有“位值制”，如果要表示大一点的数就相当烦琐；古巴比伦和玛雅数字虽然有“位值制”，但用的不是十进制进位，需要19 或59 个数码，这使计数变得十分复杂，不如9个数码就可以表示任意自然数的十进位制来得简捷[1]。但中国算筹的缺点就是没有表示“0”的符号，只能用“空格”来表示没有，这样容易产生混淆。“0”和十进位值制的产生使阿拉伯数系成为当前最简洁的计数系统，被后人认同并沿用至今。观察历史，我们知道“位值制”的发明要比“十进制”晚得多，而“位值”正是小学生在“数的概念”形成过程中难以理解的。

（二）儿童认知与教材体系的安排

教材中“数的概念”教学主要分布在人教版小学数学第一册、第二册、第四册、第七册，四个阶段螺旋上升，经历了“实物对应—符号累加—位值计数”的过程。可见，“数的概念”形成过程与数的发展史是一致的，尤其“十进制计数法”更是贯穿整个认数过程。

教材中“数的概念”数学史的分布主要在人教版小学数学第一册介绍古代算筹和古埃及数字，人教版小学数学第四册从石子计数到算盘记数，人教版小学数学第七册数的产生及阿拉伯数字的来历，从“你知道吗？”板块来呈现，比较零散，缺乏整体性与连贯性。从学生的心理年龄和思维水平来看，一年级数学史料的呈现比较抽象，学生不能理解古代计数方法与现代所用的计数方法有何关联，也与数的发展过程脱节，学生无法系统了解数的产生与发展源于人类生活的需要。对此，教师需要将人教版小学数学一至三年级数学史的内容与教材中“数的认识”相关内容进行整合，融文化与知识于一体，引导学生从发展的角度，真正理解数，激发学习兴趣，提升文化素养。

三、索果

蔡宏圣教授指出：“历史呈现了知识的来龙去脉，叙说了人类认识如何步步深入，在抽象的过程中我们就能体会和把握认识提升的关键。”[2]了解自然数的起源史，学生可以知道数的发展过程，领悟“十进制计数法”与人有十根手指有密切联系，感受“位值制”的优势，真正理解计数系统，站在文化的桥梁上重新思考，进而形成概念脉络。下面，笔者从以下片段来感受HPM 理念下“数的认识”拓展课上所展现的文化魅力及HPM 视野下的思辩课堂。

（一）在还原历史的过程中深化理解

走进历史将使学生从历史的角度理解数，理解数的产生，认识到古人的智慧。在教学中，笔者用微视频的形式向学生展示了数的发展过程（如图1）。

图1

师：看完视频，请同学们来分享你看懂了什么。古人是怎样表示数的？你有什么感受？

生1：原始时代的人捕获一只羊就摆一个石子，捞到一条鱼就在木头上刻一道刻痕，是用实物来表示数字的。

师：是的，一只羊对一个石头，一条鱼对一道刻痕，数学上我们把这种方法叫作——

生2：一一对应。我知道了，原始时代的人是用一一对应的方法数数的。

生3：我来说说古埃及时代。古埃及时代是用9根小棒表示1～9 的，用一条弯曲的绳子代表10，一条长绳代表100，一朵花代表1000，一根手指代表10000……

生4：我发现古埃及时代懂得了用不同的图形（符号）来表示更大的数，如整百、整千……

生5：我来说中国古代算筹吧。中国古代算筹有纵式和横式的区分，纵式、横式交替使用。

生6：我补充，算筹前面的1 到5，都是一根小棍对应1；6 到9 的摆法就不同，如纵式的7 上面横的一根代表5，下面2 根代表2，合起来是7。

生7：我知道了数是不断发展的，古人非常了不起。

……

在以上片段，笔者引导学生走入远古时代、古埃及时代、中国古代算筹三个时代，让学生感受数的表示方法，感受数的发展过程中三个重要历程，让学生在脑海中形成一条“数的发展”时间轴，展现数学文化的历史性、多元性、人文性。通过对史料信息的阅读，我们可以看到，学生能用数学的眼光来观察信息，用不同的时代语言来表达，用数学的思维来思考，其数学素养显著提升。

（二）在“思辨”对话中深度学习

数学思维是数学学习的核心。数学课上要有学生的声音，要有学生不同的声音，要“百家争鸣”。本节课笔者抓住历史发展的关键点，创设思辩性的问题，让学生站在历史的角度思考，推进学生思维走向深层。

如在笔者提问“对比古代三种数的表示方法，哪种方法更简洁？”时，学生会出现两种声音。

生1：我认为古埃及数字更简洁，几个10 就用几个“∩”表示，几个1 就用几个“│”表示，直接累加起来算。

生2：我认为中国算筹更简洁，只有9 个符号，表达方式是唯一的。

师：两位同学说得都有道理，那不如我们来场辩论赛吧，认为古埃及数字简洁的请举手，认为中国算筹简洁的请举手，请用你们的方式来说服对方。

生3：古埃及数字比较麻烦，还要记符号，而且数越大用的符号就越多。

生4：中国古代算筹有纵式和横式容易混乱。

生5：不如我们来一场比赛吧！用古埃及数字和中国古代算筹分别表示999，谁快就说明谁更简洁。

全班学生都同意，于是立马动笔比赛，结果显示中国古代算筹更快。

师追问：为什么中国古代算筹会更快呢？

生6：因为中国古代算筹有数位的要求，右边第一位表示几个1，第二位表示几个10，第三位表示几个100，在不同位置上写的数单位不同，不像古埃及数字每个单位符号不同，还要一个一个画下来。

这时，又有一位学生质疑：可是中国古代算筹没有0，那0 怎么表示？遇到10、100、1000 这样的数怎么办？

这时全场一片宁静，陷入沉思……

从以上片段我们可以看出，学生在文化浸润下能将自己的思考与理解转化成数学语言表达，呈现“百家争鸣”的学习场景。学生在意见产生分歧时展开辩论，甚至通过现场比赛来证明，再次感受到“位值”的优越性，并在思维的碰撞中发现了中国古代算筹的缺陷……HPM 视野下的课堂既有思维的暗流涌动，又有语言的交锋碰撞；既有思路的辨析，又有思路的拓展，由此，思辩对话将课堂学习推向深层。

结 语

数学史是当前小学数学教育改革的一个新领域。学生读数学史，不仅能厘清知识的来龙去脉，还能通过历史寻找人类认识曾经走过的弯路、遇到的挫折和困惑，提炼出人类发展中的障碍（这往往是学生的认知难点），感受历史背后的数学问题、数学思想、数学方法和精神，实现历史与现实、数学与人文、思想与方法的沟通。相信HPM 理念下的数学课堂教学会更有深度，更有温度，也更有思维的碰撞。