平行四边形晶格结构中布里渊区的研究

2018-07-06胡家光

文山学院学报 2018年3期

左谦，胡家光

（文山学院信息科学学院，云南文山 663099）

布里渊区，最早由法国物理学家莱昂·布里渊提出的。它是固体物理学中的重要概念，是电子能带理论和表示晶体元激发的唯一构图形式，它在晶体衍射、晶体振动、能带理论等的研究中都起到极其重要的作用[1]。已往对布里渊区的大量研究多以方形晶格和正三角形晶格为例[2-5]，本文的研究对象是平行四边形晶格结构，研究平行四边形晶格结构的意义在于：平行四边形晶格结构是一种宽泛的结构模型，在电子晶体、光子晶体和声子晶体中都广泛存在，研究平行四边形结构的布里渊区图像，是研究这三类晶体能带结构的基础。且平行四边形涵括了正方形、长方形、三角形、六边形和普通平行四边形几种，通过改变平行四边形晶格结构的边长、角度，即可变换为众多形状，使得所研究的对象更为宽泛。本文详细研究了平行四边形晶格结构的第一布里渊区的形状及所需的倒格矢，修正了刘頔威、刘盛纲的结论[6]，完善了魏乃科等人[7]研究中对基矢模长比R大于的1的情况。

1 结构模型

二维平行四边形晶格结构如图1所示，其基矢为

其中倾斜角θ是边长a、b间的夹角（见图1）。

图1 二维平行四边形晶格结构图

2 布里渊区

2.1 倒格矢的计算

倒格基矢公式：

式中Ω是正格矢原胞体积，即：

得出二维平行四边晶格结构的正格矢原胞体积为

则二维平行四边形晶格结构的倒格基矢公式为

设倒格矢，则二维平行四边形晶格结构中倒格矢为：

2.2 布里渊区图像

对于二维平行四边形晶格结构，倒格矢)。布里渊区为这些中垂线所构成的图形，形成的最小封闭区域即第一布里渊区[9]。令基矢模长比，则平行四边形晶格在不同倾斜角下的第一布里渊区图像如下：

1）R取任意值（此处取为0.6），θ=90°

如图2所示，倒格基矢为

通过这 4个矢量分别做 4条垂直平分线，即构成二维平行四边形晶格结构（θ=90°）的第一布里渊区（见图2）。

图2 R任意，θ =90°的第一布里渊区图像

2）R=1，θ< 90°（此处θ取 60°）

如图3所示，倒格基矢为

通过这 6个矢量分别做6条垂直平分线，即构成二维平行四边形晶格结构（θ=60°）的第一布里渊区（见图3）。

图3 R=1，θ=60°的第一布里渊区图像

3）R<1，cosθ

如图4所示，倒格基矢为

通过这六个矢量分别做6条垂直平分线，即构成二维平行四边形晶格结构（θ=55°）的第一布里渊区（见图4）。

图4 R=0.6，θ=55°的第一布里渊区图像

4）R<1，cosθ=R（此处取R=0.6，θ=53.1°）

如图5所示，倒格基矢为

通过这 6个矢量分别做 4条垂直平分线，即构成二维平行四边形晶格结构（θ=53.1°）的第一布里渊区（见图5）。

图5 R=0.6，θ=53.1°的第一布里渊区图像

5）R<1/2，R

如图6所示，倒格基矢为

由分别做 6条垂直平分线，即构成二维平行四边形晶格结构（θ=40°）的第一布里渊区（见图6）。

图6 R=0.4，θ=40°的第一布里渊区图像

6）R<1/2，cosθ=2R（此处取R=0.4，θ=36.87°）

如图7所示，倒格基矢为

由分别做4条垂直平分线，即构成二维平行四边形晶格结构（θ=36.87°）的第一布里渊区（见图7）。

图7 R=0.4，θ=36.87°的第一布里渊区图像

7）R<1/2，2R< cosθ< 3R（此处取R=0.4，θ=20°）

如图8所示，倒格基矢为

由分别做 6条垂直平分线，即构成二维平行四边形晶格结构（θ=20°）的第一布里渊区（见图8）。

图8 R=0.4，θ=20°的第一布里渊区图像

8）1/2

如图9所示，倒格基矢为

由)分别做 6条垂直平分线，即构成二维平行四边形晶格结构（θ=25°）的第一布里渊区。

图9 R=0.6，θ=25°的第一布里渊区图像

9）1/2

如图10所示，倒格基矢为

由分别做 4条垂直平分线，即构成二维平行四边形晶格结构（θ=17.15°）的第一布里渊区（见图10）。

图10 R=0.6，θ=17.15°的第一布里渊区图像

10）（此处取R=0.6，θ=10°）

如图11所示，倒格基矢为

由)分别做 6条垂直平分线，即构成二维平行四边形晶格结构（θ=10°）的第一布里渊区（见图11）。

图11 R=0.6，θ=10°的第一布里渊区图像

11）R> 1，θ=90°，（此处取R=1.67）

如图12所示，倒格基矢为

由分别做 4条垂直平分线，即构成二维平行四边形晶格结构（θ=90°）的第一布里渊区（见图12）。

图12 R=1.67，θ=90°的第一布里渊区图像

12）R> 1，θ=90°，（此处取R=1.67，θ=60°）

如图13所示，倒格基矢为

由)分别做 6条垂直平分线，即构成二维平行四边形晶格结构（θ=60°）的第一布里渊区（见图13）。

图13 R=1.67，θ=60°的第一布里渊区图像

13）R> 1，cosθ=R，（此处取R=1.67）

因为R> 1时，cosθ无法取值，故而将R的取值转化为1/R，即取cosθ=1/R（此处θ取53.1°）

如图14所示，倒格基矢为

通过这 6个矢量分别做6条垂直平分线，即构成二维平行四边形晶格结构（θ=53.1°）的第一布里渊区（见图14）。

图14 R=1.67，θ=53.1°的第一布里渊区图像

（14）R> 1，R< cosθ=3R，（此处取R=1.67，θ=25°）

因为R> 1时，cosθ无法取值，故而将R的取值转化为1/R。

如图15所示，倒格基矢为

由分别做6条垂直平分线，即构成二维平行四边形晶格结构（θ=25°）的第一布里渊区（见图15）。

图15 R=1.67，θ=25°的第一布里渊区图像

2.3 归类总结

通过计算二维平行四边晶格结构的倒格矢，并详细推导出不同角度下对第一布里渊区有贡献的具体倒格矢，画出了不同倾斜角的第一布里渊区形状。通过对布里渊区形状的分析可知，当θ=90°，对R任意取值，倒格矢正交，其中垂线围成矩形，的中垂线刚好经过矩形的顶点，所以此条件下第一布里渊区为矩形。减小的中垂线围成平行四边形，与的中垂线相交，第一布里渊区为平行六边形。继续减小倾斜角θ，当cosθ=R时，倒格矢正交，第一布里渊区为矩形。继续减小θ，正交临界条件则被破坏，中垂线所构成的平行四边形与的中垂线相交，形成的第一布里渊区形状为平行六边形。减小θ使之满足cosθ=(2R2+1)/3R，则再次出现正交临界条件，第一布里渊区由的中垂线正交构成矩形。再次减小θ，正交临界条件又会被破坏，形成平行六边形，等θ的取值满足又一正交临界条件时，则再次形成矩形。因而根据倒格矢正交临界条件即可对θ不同时，二维平行四边形晶格结构的布里渊区进行划分归类（见表1）。

本文也对基矢模长比R> 1的情况进行了取值画图，分析发现，当R> 1，cosθ的取值与R相关联的时候（例如cosθ=R），无法对cosθ进行取值，此时若将R的取值转化为1/R，则可继续开展工作，此情况下的倒格矢与R< 1时相对应的倒格矢无异。故而R> 1时，将R替换为1/R即可。

3 结论

本文对任意角度下的二维平行四边形晶体结构的倒格矢进行了详细推导，对其第一布里渊区的图像进行了绘制，主要结果如下：

1）第一布里渊区与倾斜角及基矢模长比R紧密相关，在基矢模长比R不变的情况下，改变倾斜角，第一布里渊区的图像将在矩形和平行六边形之间交替变化，所需的倒格矢也相应地变化。在正交临界条件下构成矩形，在俩个正交临界条件之间所构成的图形均为平行六边形。故而可依正交临界条件对二维平行四边形晶体结构的第一布里渊区进行划分。

2）对于基矢模长比大于1的情况，因无法对cosθ进行取值，故而可将R转化为1/R进行计算推导，结果不变。