半空间上的Bohr型不等式

陈铭新， 李程鹏， 王建飞

(华侨大学 数学科学学院， 福建 泉州 362021)

1914年，Bohr[1]在研究Dirichlet级数绝对收敛问题时得到定理A.

2010年，Fournier等[2]考虑一般单连通域Ω⊃D上的解析函数，并定义了函数族B(Ω)的Bohr半径，记为BΩ∈(0，1)，即

1 几个引理

设f和g是单连通域0∈Ω上的两个解析函数，若存在一个函数φ，其中，φ在Ω内解析，且φ(Ω)⊂Ω，φ(0)=0，则在Ω上，g=f∘φ，称g从属于f，记为gf.

特别地，当f单叶时，g从属于f，等价于g(D)⊂f(D)，g(0)=f(0).当gf时，|g′(0)|≤|f′(0)|.

为了给出主要结果，需引入引理1～3.

(1)

由f(z)的幂级数展开式和F(z)的定义，有

2 主要结果及其证明

证明：由引理2，有

解得|a0|=1，即|f(0)|=1.由解析函数的最大模原理有f(z)=c，|c|=1，证明完毕.

证明：令|a0|=a∈[0，1]，由引理2，有

假设f=u+iv是复平面区域Ω⊂上的二次连续可微的复值函数，若f满足Laplace方程则称f为Ω上的调和映射.特别地，若Ω为单连通域，则f可表示为其中，函数h和g均是Ω上的解析函数，并分别称之为f的解析部分和共轭解析部分.此时，其Jacob行列式为Jf(z)=.Lewy[11]证明了调和映射f在Ω上是局部单叶保向的，当且仅当，Jf(z)>0，∀z∈Ω.若|h′|≠0，定义wf=g′/h′为f的第二伸缩商.显而易见，Jf(z)>0等价于|wf(z)|<1.有关多变量的Bohr半径可参考文献[12-15].

考虑P上的调和映射，并得到了一个限制在D上的Bohr型不等式，有定理3.

证明：函数h(z)在P内解析，|h(z)|≤1，z∈P.由引理2，可得

又由引理3，有