“赤道式日晷法”绘制太阳周日视运动轨迹图

李小东

（浙江省宁波市效实中学, 浙江 宁波 315012）

日晷是利用太阳投射的影子来测定时刻的一种计时装置，由晷针和晷面组成，置于基座或地面上。日晷种类很多，按晷面的摆放角度，可分为地平式、垂直式、赤道式等，其中赤道式日晷（晷面与地球赤道平行）最重要、最经典也最常见。笔者所在学校建有赤道式日晷，笔者带领学生对其开展研习，在探究了日晷如何计时、为什么能计时的原理，惊叹古人的高超智慧之余，“反观”日晷的工作过程，追根溯源，绘制太阳周日视运动轨迹图，简称为“赤道式日晷法”。此法有助于提升核心素养，突破地球运动的难点知识——太阳升落方位、正午太阳高度和昼夜长短变化规律。本文所述日晷均指赤道式日晷。

一、识日晷 析原理 悟真谛

1.观测日晷构成（见表1）

表1 日晷的构成

2.探究日晷原理

下图为日晷工作原理示意图，据图完成下列探究活动（见图1、图2、图3）。

图1 北半球日晷

图2 二分二至日日晷日照图

图3 南半球日晷

(1)根据图1归纳日晷的特点（见图4）

图4 日晷特点梳理

(2)日晷为什么能比较准确地测定时刻（见图5）

图5 日晷准确测定时间原理梳理

(3)晷面刻度有何异同，何时使用朝北面、何时使用朝南面测定时刻

直线箭头分别表示二分二至日太阳光线（见图2）。由于太阳直射点在南北回归线之间运动，二分日，太阳直射赤道，太阳光线与晷面平行，理论上该日晷面南北两面均可使用；春分—夏至—秋分，太阳直射点在赤道和23.5°N之间，太阳平行光从晷面北侧照射，晷针日影落在晷面的朝北面上，以此计时；秋分—冬至—春分，太阳直射点在赤道和23.5°S之间，太阳平行光从晷面南侧照射，晷针日影落在晷面的朝南面上，以此计时。

(4)日晷在南半球能用吗

晷针的倾角等于当地纬度，晷针一端指地另一端指向正南天空（见图3）。由此类推，日晷在赤道，晷针与地平面经线平行，一端指向正北，另一端指向正南，晷面垂直于地平面；日晷在极点，晷针垂直于地平面，晷面平行于地平面。

3.感悟日晷真谛

(1)日晷的工作原理得益于“两个平行”

晷针与地轴平行——将由于地球自转而产生的太阳周日视运动，转变为晷针日影的转动：在晷面的朝北面上顺时针转动，朝南面上逆时针转动；北极点上顺时针转动，南极点上逆时针转动。

晷面与赤道平行——兼顾了太阳直射点的南北回归运动，保证日晷全球可用，全年可用（春分—夏至—秋分，在晷面的朝北面上计时；秋分—冬至—春分，在晷面的朝南面上计时）。顾名思义，赤道式日晷的“核心奥秘”是晷面与赤道平行。

(2)日晷的安装摆放得益于“两个垂直”

实际安放日晷时赤道和地轴看不见摸不到。当地和地心的连线与当地地平面垂直、晷针与晷面垂直，故安放日晷时，让晷针倾角等于当地纬度，北半球晷针指向正北天空，南半球晷针指向正南天空，赤道上晷针一端指向正北一端指向正南，极点上晷针垂直地平面，如此即可实现上述“两个平行”。

(3)辩证思维——日晷的“缺憾”

①夜晚不能使用，阴雨天不能使用。

②所测的地方时不便于各地区统一使用，特别是在经度相差大的地区间。

(4)抽象思维——“简化的地球缩影”

晷针即“地轴”，晷面即“赤道”，晷针与晷面的交点即“地心”，从而巧妙地应用地球运动的相关知识，使其发挥“计时器”的作用。事实上，若在以地球为球心、以无限远为半径的“天球”背景下来看，地球的地轴与日晷的晷针，地球的赤道与日晷的晷面已然“融为一体”。

二、借日晷 拓思维 画轨迹

1.用日晷，定方位

如前所述，晷针指示南北方向（极点上晷针垂直地平面指向天顶）。由于晷针与晷面垂直，过晷面圆心沿晷面的水平延长线则指示东西方向，即晷面刻度“6”指向正西，刻度“18”指向正东（见图6）。

图6 用日晷定方位

2.“追太阳”，画轨迹

连接太阳与晷面圆心，根据晷针的日影反方向“追太阳”，在天空中“画”出太阳运动轨迹（见图4）。

3.归纳太阳视运动与日晷的关系

（2）因为晷面与地球赤道平行，由图2可知，太阳光线与晷面的夹角“一日不变”等于太阳直射点的纬度太阳视运动轨迹与晷面平行。

4.“赤道式日晷法”绘制太阳周日视运动轨迹图

根据当地纬度“创建”一个“赤道式日晷”，结合太阳直射点纬度，便可绘制某地某日太阳周日视运动轨迹图。具体步骤如下。

第一步，绘制当地天穹（即当地地平面之上的半球形天空）（见图7）。

图7 当地天穹

第二步，根据纬度，“创建”当地“赤道式日晷”（见图8、图9）。若该地位于北半球，在圆弧AN上找一点Z，连接OZ，使∠NOZ=当地纬度φ，OZ即“晷针”；过O点作OZ的垂线OF与圆弧AS交于F点；连接半圆弧EFW，半圆面EFWO即“晷面”（半个），半圆弧EFW即二分日该地太阳周日视运动轨迹，此日太阳从E（正东）升起，从W（正西）落下。同理绘制南半球“赤道式日晷”（见图9）。若该地位于赤道，则NOS为“晷针”，半圆面EAWO为“晷面”（半个）。若该地位于极点，则AO为“晷针”，地平面为“晷面”。

图8 北半球“赤道式日晷”

图9 南半球“赤道式日晷”

第三步，根据太阳直射点的纬度，绘制该日太阳周日视运动轨迹图（见图10、图11）。当太阳直射点在赤道和23.5°N之间，在圆弧NF上找到点M，连接OM，使∠MOF=太阳直射点纬度δ（见图10）；当太阳直射点在赤道和23.5°S之间，在圆弧SF上找到点M'，连接OM'，使∠M'OF=太阳直射点纬度δ（见图11）。过M、M'做与半圆面EFWO平行的平面，此平面与天穹的交线即太阳直射北纬δ度、南纬δ度时太阳周日视运动轨迹。若该日未极昼，太阳周日视运动轨迹与地平面相交，交点即日出日落点。若该日极昼，太阳周日视运动轨迹为地平面上方的圆圈，日出日落点重合于圆弧NAS上。若该日极夜，太阳视运动轨迹位于地平面之下。

图10 北半球太阳周日视运动轨迹

图11 南半球太阳周日视运动轨迹

5.学以致用——绘制下列地区二分二至日太阳周日视运动轨迹图（见图12至图24）

图12 10°N地区二分二至日太阳周日视运动轨迹图

图13 23.5°N地区二分二至日太阳周日视运动轨迹图

图14 40°N地区二分二至日太阳周日视运动轨迹图

图15 10°S地区二分二至日太阳周日视运动轨迹图

图16 23.5°S地区二分二至日太阳周日视运动轨迹图

图17 40°S地区二分二至日太阳周日视运动轨迹图

图18 66.5°N地区二分二至日太阳周日视运动轨迹图

图19 75°N地区二分二至日太阳周日视运动轨迹图

图20 北极点二分二至日太阳周日视运动轨迹图

图21 66.5°S地区二分二至日太阳周日视运动轨迹图

图22 75°S地区二分二至日太阳周日视运动轨迹图

图23 南极点二分二至日太阳周日视运动轨迹图

图24 赤道地区二分二至日太阳周日视运动轨迹图

三、用轨迹 破难点 提素养

运用“赤道式日晷法”绘制太阳周日视运动轨迹图对突破太阳视运动轨迹教学难点具有重要意义。

1.有助于突破地球运动的难点知识

由图10、图11可知，太阳周日视运动轨迹是“平行”于“晷面”（EFWO）的一系列圆弧（或圆圈）。“晷针”（OZ）垂直于这些圆弧并通过他们所在圆的圆心。随着纬度φ（“晷针”倾角）的变化以及太阳直射点的纬度δ（即∠MOF和∠M'OF）变化，M和M'在圆弧NAS上移动致使正午太阳高度相应变化；C、L、C'、L'分别在E与N、W与N、E与S、W与S之间移动致使太阳升落方位相应变化；圆弧CML和圆弧C'M'L'的弧度（而非弧长）变化致使昼长变化。北半球（见图10），若C、L重合于N或NZ之间，圆弧CML变为圆圈，形成极昼，太阳最低点位于正北地平面（N）或正北天空（NZ之间），若M'与S重合或位于S之下，形成极夜，太阳最高点位于正南地平面（S）或S之下。南半球（见图11）反之。具体规律如下。

(1)太阳升落方位

二分日，太阳从正东（E）升起正西（W）落下。

春分—夏至—秋分规律：①全球无极昼极夜地区太阳从东北（C）升起西北（L）落下，太阳直射点越北，日出日落方位角（∠EOC和∠WOL）越大，即东偏北和西偏北的度数越大；纬度位置越北（北半球纬度越高，南半球纬度越低），日出日落方位角越大。②北半球纬度大于等于直射点余角度数地区（北极点除外）出现极昼，太阳从正北升起正北（N或NZ之间）落下。北极点极昼，视运动轨迹平行地平面，太阳高度角全天相同，等于太阳直射点的纬度数。③南半球纬度大于等于太阳直射点余角度数地区出现极夜，太阳视运动轨迹位于地平面之下。

秋分—冬至—春分规律，反之。

日出日落方位角的具体度数可由公式：α=arcsin(sinδ/cosφ)计算，[1]φ为当地纬度，δ为太阳直射点纬度，证明过程略。

(2)正午太阳高度和方位

对北半球而言（见图10），在半圆弧NAS上，M越靠近A，正午太阳高度越大，与A重合时为90°，该地该日被直射；M'离A越远，正午太阳高度越小，冬至日∠M'OF=23.5°达最大，正午太阳高度角∠M'OS最小。规律是：①23.5°N～北极点地区，正午太阳高度在冬至日最小，夏至日最大，全年无极夜时正午太阳位于正南天空（AS之间），极夜时位于正南地平面之下；②赤道～23.5°N地区，正午太阳高度在冬至日最小，被直射日最大。被直射日正午太阳位于天顶，被直射日与夏至日之间，正午太阳位于正北天空（AN之间），被直射日与冬至日之间，正午太阳位于正南天空（AS之间）。南半球（见图11），反之。

(3)昼夜长短变化

圆弧CML的弧度在图10中大于180°，在图11中小于180°，圆弧C'M'L'相反。可见，太阳直射点在哪个半球，该半球昼长夜短，纬度φ越高，昼越长夜越短，纬度大于等于直射点余角度数的地区出现极昼。另一半球反之。对北半球而言，圆弧CML的弧度大于圆弧C'M'L'（见图10），即夏半年昼长大于冬半年。赤道～66.5°N地区，夏至日昼最长（夜最短）冬至日昼最短（夜最长）；66.5°N～北极点地区，极昼时段昼最长极夜时段昼最短。南半球（见图11）反之。

二分日全球昼夜等长，赤道上全年昼夜等长。

2.有助于厘清几个易错点

易错点①“赤道地区太阳都是正东升正西落”，图24已给出正解。

易错点②“太阳直射日正午太阳高度最大，昼长也最大”。若过天顶A画太阳视运动轨迹CAL，正午太阳高度虽达到最大90°，然而圆弧CAL的弧度并未最大，还是小于夏至日（见图12）。

易错点③“太阳位于正东方，地方时6点”或“地方时6点，太阳位于正东方”。显然只有二分日成立。若连接AE弧线与圆弧CM相交，此交点即该日太阳在正东方天空的位置；由于圆弧CML与地平面倾斜，此交点与M之间的弧度小于90°，其地方时数值大于6（见图10）。极点上也不成立，理论上从北极点往四周都是南，南极点往四周都是北。

3.有助于提升核心素养

通过对校园日晷的观测分析、抽象提炼，并动手绘制相关立体图像，有助于提升学生的地理实践力。整个学习过程综合运用所学地理知识和相关立体几何知识，训练学生的综合思维。绘制不同纬度地区太阳周日视运动轨迹图，并分析太阳升落方位、昼长变化规律等，有助于加深学生在全球尺度下的区域认知。日晷可以说是“顺天时应地利”的杰作，通过对日晷的深入分析，师生惊叹于古人高超的智慧，增强人地协调观。

特别说明，本文主要探讨地平面之上的太阳周日视运动轨迹。若将天底画出，每天的太阳视运动轨迹都是圆圈。由于太阳直射点一直在移动（并非在某个纬度停留一天），太阳周日视运动轨迹实际上不完全与日晷面平行，而是类似于弹簧一样的“螺旋线”。[2]只是“误差”很小，暂且“忽略不计”。