2022年浙江省数学高考第22题探析

虞哲骏, 冯 斌

(1.宁波市镇海中学，浙江 宁波 315200；2.宁波市教育局教研室，浙江 宁波 315100)

“本手、妙手、俗手”是围棋的3个术语.对于数学而言，笔者认为“本手”是基础知识与通性通法，“妙手”是灵感乍现的“秒杀”与“创造”，“俗手”是死记硬背的“模型”和“套路”.数学教学应该立足“本手”，只有“本手”的功夫扎实了，理解深刻了，数学能力水平与素养才会提高，才有可能出现“妙手”.在高三复习中，我们有大量的题目要做要讲，但笔者认为真正要用好的题目是高考真题.挖掘高考真题的本质内涵才是正道，才能引导学生从“本手”走向“妙手”.自2004年起，浙江省数学高考自主命题形成了自己的特点和风格，它始终遵循有利于学生、有利于高中数学教学、有利于高校选拔人才的原则，在坚持考查基础知识的同时，注重考查思维能力[1].2022年是浙江省自主命题的最后一年，下面笔者从2022年浙江省数学高考第22题入手，分析第2)小题第②问的3种解法，尝试从本质上探究该题的背景，以期为平时的复习和教学提供参考.

1 真题呈现

1)求f(x)的单调区间.

2)已知a,b∈R，曲线y=f(x)上不同的3个点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3))处的切线都经过点(a,b).证明：

②若0

(注：e=2.718 28……是自然对数的底数.)

(2022年浙江省数学高考试题第22题)

该题结构简洁、精炼，但所蕴涵的思想却很丰富，求解难度也极大.主要考查导数在求解函数切线方程、判断函数的单调性以及函数与不等式的综合问题中的应用，意在考查学生的数学运算能力、化归与转化的思想，贯穿了数学运算和逻辑推理的核心素养.

2 解法探究

第1)小题难度不大，主要考查函数的单调区间，此处不再讨论.第2)小题的第①问主要考查切线方程，从方程有3个不同的解的角度入手，证明不等式，难度适中.第②问看上去结构比较复杂，涉及的变量较多，主要考查零点范围估计问题，难度较大.以下笔者将从减元的视角出发，介绍第②问的3种解法.

分析由x1,x2,x3满足y=f′(xi)(x-xi)+f(xi),知x1,x2,x3是f′(x)(x-a)-f(x)+b=0的3个正实数根，即

因为a

0

于是

上式等价于

由g(t1)=g(t3)=0,得

且

t1>t3,

即

从而φ(x)在(1,+∞)上单调递增，于是

可知h(x)在(0,1)上单调递增,故h(x)

两式相减,得

化简得

要证

只需证

故只需证

从而

(1)

分析y=g(t)的图像可知：对于给定的m∈(0,1)，当b增大时，g(t)图像下移，t1,t3均减小；反之当b减小时，g(t)图像上移，t1,t3均增大.

从而φ(x)在(0,+∞)上单调递增.又φ(0)=0，故引理得证.

m(t1-1)2=2(t1-1-lnt1),

由引理1可知

解得

从而

再证明式(1)的左边：只需证明极端情况，此时

只需证

由引理1可知

1)当0

2)当x>1时，

解法3是本题的“妙手”，可遇不可求.要想下出真正的“妙手”，必须在平日有一定的经验积累和反思总结，形成较为完善的知识体系，唯有这样，才有可能完成真正卓越的“妙手”.

3 试题探源

“问渠哪得清如许，为有源头活水来”.原题源于何处，翻翻我们学的教材、做做历年高考真题就知道了.事实上，教材和历年高考真题是高考试题的重要来源，是数学知识的“生长地”，是高考复习的“根据地”，是高考试题的“策源地”.笔者查阅了相关资料，发现本题和2014年全国数学高考Ⅱ卷理科第21题有异曲同工之妙.

例2已知函数f(x)=ex-e-x-2x.

1)讨论f(x)的单调性；

2)设g(x)=f(2x)-4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值；

(2014年全国数学高考Ⅱ卷理科试题第21题)

在例1第②问的证明过程中，涉及对lnx的有理形式的刻画，因为函数f(x)=lnx在x=0处无意义，所以转而研究g(x)=ln(x+1)的性质.在高等数学中，我们经常会借助泰勒展开，得到麦克劳林公式

经计算可得:

1)当λ≤0时，恒有

即

即

令a=x2，b=1,则

(2)

可以看出不等式结构变得比较复杂了，因此我们的讨论停留于此.

即

则

2λ2-4λm(m+2)+m(3m2+4m-1)≥0.

令φ(m)=2λ2-4λm(m+2)+m(3m2+4m-1)，则

φ′(m)=(m+1)(9m-8λ-1).

φ′(m)=(m+1)(9m-8λ-1)<0,

至此，我们完成了命题意图的深度挖掘.

4 教学启示

高考以“基础性、综合性、应用性、创新性”为考查要求，评价学生素养的达成程度[3].例1作为2022年浙江省数学高考试题的压轴题，以高中数学常见的函数为素材，以常用的方法为手段构造函数，并利用这些函数的性质和特点进一步研究问题.将函数、导数、不等式等知识有机结合，考查学生灵活应用知识解决复杂问题的能力，对逻辑推理能力、运算能力有较高的要求，有效区分考生的思维层次，为高校选拔优秀人才服务.纵观历年高考压轴题，从来不是偏深的难题、怪题，而是体现触类旁通的灵活性和变通性.基于高考的教学导向，我们在平时的解题教学中也要更新理念，努力寻求合理的教学策略，即夯实双基，引导思考，培养能力，提升素养.