数学前置作业设计实践中的匹配探究——以“直线、平面垂直”“基本不等式”为例

余继光, 张小娟

(柯桥中学,浙江 绍兴 312030)

数学教育的基本任务之一是培养学生数学学习的主动性、创新性、选择性，因此需要寻找一个可行的教学(作业)途径，变“课前预习”的模糊性作业为“前置作业”的可操作性、可视性、可匹配性的创新实践.当然要始终关注前置作业的课堂关联度水平和探究水平，为此数学前置作业设计实践要达到三匹配和四原则.本文在数学教学实践中进行前置作业的设计，积累前置作业设计的经验，修正教学设计实践中的不足，抛砖引玉.

1 数学前置作业设计实践中的三匹配

1.1 前置作业要跟教学目标相匹配

数学前置作业设计要考虑“哪些作业”“针对哪个教学目标”，始终坚持为落实教学目标服务；前置作业设计要紧紧抓住教学内容的重点与难点，为可能的数学思维痛点打“预防针”.

1.2 前置作业要与教学内容相匹配

数学前置作业不能出现教学内容没有针对性的作业，或超出教学内容的要求，或与教学内容无关的知识要求，应由浅入深、由宏观到微观.

1.3 前置作业要与学生现有的知识储备和能力水平匹配

数学前置作业的难易程度把握要得当，作业量控制在合理水平，要考虑不同数学思维层次学生的不同需求，避免学生厌学、自卑，使前置作业成为数学教学的必要补充.

数学前置作业的三匹配是教学设计的基本点，只有在深入理解《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标》)与新课程数学教材的基础上，才能有所创作，才能形成教学匹配，因此要先学习《课标》并深入钻研数学教材.

2 数学前置作业设计实践中的四原则

2.1 科学性原则

数学前置作业的每一个设计必须概念正确，方法科学，内容及情境符合实际，表述科学准确，答案合理正确且符合逻辑.

2.2 循序渐进原则

数学前置作业设计要按照学生认知的最近发展区理论，规划好学生学习进阶的路线图，将终结性目标分解为几个适当的阶段性目标.前置作业内容不代替教学内容，从认知角度来看是粗线条、潜意识的，为进入教学内容做铺垫与衔接，突出学生数学学习的兴趣性、自主性.

2.3 分层原则

前置作业要尊重学生数学思维的差异性，给学生选择的机会，符合分层、弹性、个性化要求.数学前置作业设计的量要少而精，比如大单元前置作业、核心概念前置作业等.

2.4 多样化原则

数学前置作业既要有对已学内容巩固类的，又要有诊断类的、建构类的；既要有纸笔作业，也要有观察、体验、制作、测量、探究、调查、阅读等多种形式的作业.

3 大单元前置作业设计具体实践案例——空间直线、平面的垂直

3.1 教学目标与教学内容

1)单元教学目标.

“借助空间形式认识事物的垂直关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路”[1]的总目标可细化为：

第一，从生活环境中的“直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直”，过渡到数学情境下的“直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直”概念形成；

第二，从直观观察到语言描述“直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直”；

第三，了解异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的概念.

2)单元教学内容.

借助几何体，通过直观感知了解空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系，归纳出以下的判定定理：

定理1如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.

定理2如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

以上可细化为：

第一，空间两直线垂直、一直线与一平面垂直、平面与平面垂直的关系描述；

第二，空间两直线垂直、一直线与一平面垂直、平面与平面垂直的关系判断；

第三，异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的定义描述.

3.2 前置作业

前置作业布置时机：此单元教学前的周末.

前置作业完成量：学生可以选择并完成其中的一部分作业.

1)阅读：阅读人教A版《数学(必修2)》第8.6节“空间直线、平面的垂直”.

2)制作：用简易材料(铁丝或细木棍)制作一个正方体框架、一个正三棱柱框架、一个正四面体框架，准备一些有色棉线或细铁丝.

3)观察：画出所制作的正方体框架、正三棱柱框架、正四面体框架的直观图.

4)思考问题：

①在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1异面垂直的棱有哪些？你能写出与AC1垂直的平面吗？你能写出与平面AB1C1垂直的平面吗？

②在正三棱柱ABC-A1B1C1和正四面体A-BCD中，你能提出类似的“异面垂直直线”“直线与平面垂直”“平面与平面垂直”的问题吗？

5)文本作业：

问题1如图1，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，

图1 图2 图3

①BD1与B1C的位置关系是什么？

②BD1与平面AB1C的位置关系是什么？

③平面AB1C与平面BB1D1D的位置关系是什么？

以上你所判断的位置关系是根据教材中的哪些定义与定理判断的？

问题2如图2，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，A1A=2，D为C1C的中点.

①过点C1，D分别作平面ABB1A1的垂线，垂足分别为H，G；

②分别指出直线BC1，BD与平面ABB1A1所成的角.

问题3如图3，在正四面体D-ABC中，棱长为1.

①过点D作底面ABC的垂线，垂足为O，联结AO并延长交BC于点H，你能说明∠DAH，∠DHA分别是“异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角”中的哪一个？

②求sin∠DAH和cos∠DHA的值.

问题4在上述3个几何体中，你能分别提出(举出)下列具体问题的实例吗？

①异面垂直的两条直线；

②某直线与某平面垂直；

③某平面与某平面垂直；

④异面直线所成角；

⑤直线与平面所成角；

⑥平面与平面所成角.

6)作业评价：

①通过学生的前置作业完成情况，了解学生对于这一单元阅读了什么？知道了什么？

②根据学生的前置作业完成情况，了解哪几个概念在学生脑海中有了潜意识？

③哪些具体内容还不太理解？为后续的教学重点进行调整与修改.

3.3 设计意图

1)在整个前置作业中，学生在动手制作、动脑思考、动笔描述中度过，将本大单元中6个核心问题浅浅地贴近学生脑海，展示在学生面前，将生活中经常见到的几何体——正方体、正三棱柱、正四面体，转化到数学学习的几何体中；

2)前置作业中的4个问题构成问题串，前3个为封闭性的，第4个问题为开放性的，不同数学思维水平的学生可以从中有所选择，前置作业量是适当的；

3)学生在自主学习过程中，一定存在问题与思维痛点，通过前置作业将其暴露出来，是一个不可多得的素材；

4)“直线、平面的垂直”是一个大单元，概念集中，联系紧密，在前置作业中，主要是为学生提供一个比较宏观的认知，为后续逐个击破打下基础；

5)前置作业是一个动态设计，要根据不同学生的数学思维层次，在紧抓教材重点难点的基础上，不断地改变作业设计，提升数学学习的有效性；

6)以上前置作业是在“三匹配”“四原则”指导下创作实践探索，一定有不足之处，不断实践，积极改进.

4 核心概念前置作业设计具体实践案例——基本不等式

4.1 教学目标与教学内容

1)教学目标：

基本不等式“能够在现实情境或数学情境中，概括出数学对象的一般特征，初步学会用3种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表达数学研究对象，并能进行转换”[1],总目标可细化为：

①学会由图形中线段或面积关系写出不等式，学会由“形”抽象到“数”的转化；

②借助作差比较方法，探究并了解基本不等式的证明过程；

③理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释；

④掌握基本不等式解决简单的最大(小)值问题的基本方法.

2)教学内容：

第一，介绍二元的算术平均数、几何平均数之间的不等关系，突出了解基本不等式的代数、几何背景；

第二，用基本不等式解决问题的基本方法和简单的应用；

第三，不等式证明(要求较低).

4.2 前置作业

前置作业布置时机：基本不等式内容教学前的一天，最佳是周末.

前置作业完成量：学生可以选择完成其中的一部分作业：

1)回顾：两个正数的算术平均数概念、算术平方根概念、一个数的完全平方为非负数的概念、两个数的大小比较方法.

2)阅读：阅读人教A版《数学(必修1)》中的基本不等式.

3)观察图形：

①如图4，设AE=a，BE=b，写出图形中的正方形面积与4个直角三角形面积的不等关系式;

图4 图5 图6

②如图5，设AC=a，BC=b，根据圆中半弦不大于半径原理写出图形的不等关系式;

③如图6，正方形的边长为a+b，请你利用AC+BC≥AB，写出一个含有a,b的不等式，说明等号何时成立.

4)思考问题：

对于图4～6中的不等式，你会证明吗？

5)文本作业：

图7

①试写出经过观测点A的每两辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式；

②(借助图5中的不等式)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？

②经过点A的车流量最大，即每两辆车之间的时间间隔T最小，故

设计意图交通安全随着汽车的不断增加，愈来愈成为人们关注的一个问题.通过此题的求解，学生可以从理性上了解这方面的知识.从目标匹配角度来看，也是基本不等式的数学模型思想的预演，是问题解决能力的一次检验，将前置作业与课程目标相匹配.

问题2设a,b,c∈R+.

①在电脑几何画板上，图形以a,b为直角边长的Rt△AMD、b,c为直角边长的Rt△MNE、c,a为直角边长的Rt△NBF顺次拼接而构成，改变a,b,c的数值，显示AM+MN+NB与AB的大小，得到各式各样的图案，如图8～11，观察其中的规律；

图8 图9

图10 图11

②根据图8～11中呈现的“AM+MN+NB与AB的大小关系”的数量规律，写出一个关于a,b,c的不等式.

学生展示①观察发现不论a，b，c大小如何变化，AM+MN+NB≥AB，只有当a=b=c时，AM+MN+NB=AB.

设计意图为了巩固学生的数形结合的思想，重点培养学生的“形”与“数”的转化能力，让学生在动手、动脑与实践的过程中真正体悟不等式的使用价值，设计这样一个前置作业.

问题3如图12，以AB为直径作半圆O，作CD⊥AB交AB于点C，在此基础上，作OE⊥AB交半圆于点E，且CF⊥OD交OD于点F，联结CE，OD，设BC=a，AC=b.

图12

①说一说线段OE，CD，CE，DF分别与a,b的数量关系;

②由OE，CD，CE，DF的大小关系，写出不等式.

又

所以

从而

在Rt△OCD中，由CF⊥OD，CD2=DF·OD，得

在Rt△OEC中，

CE>OE，

在Rt△OCD中，

OD>CD，

又

OE=OD，

从而

OE>CD.

在Rt△FDC中，

CD>DF,

从而

CE>OE>CD>DF，

因此

由图12可知，当且仅当点C与点O重合，即a=b时，有

CE=OE=CD=DF=a，

即

当且仅当a=b时，取到等号.

设计意图不等式由形而来，抽象为数的表达，然后再回到形，让学生感悟数与形的有机结合.

6)作业评价：

①通过学生前置作业的完成情况，了解学生对于这一核心知识点读了什么？知道了什么？

②通过学生前置作业的完成情况，了解学生对于由形抽象到数所达到的理解水平；

③在不等式的表达过程中，了解学生还有哪些不理解之处？主要的思维痛点在哪里？

4.3 设计意图

1)进入高一阶段后，学生对平面几何图形较熟悉，通过观察图形，写出不等式，体现由形到数思想的应用，贴近学生的认知发展区，由直观朝着抽象伸展，观察图形写不等式，可以检测学生是否阅读教材；

2)通过现实情境，观察学生的函数建模能力，为基本不等式的应用打下基础；

3)基本不等式前置作业淡化不等式的变形技巧，突出几何直观，使学生对基本不等式有一个初步的了解，与基本不等式的教学目标匹配.

5 前置作业设计具体实践反思

1)前置作业起着课堂教学前的预习作用，把握好设计的“度”最关键，也是最难的，特别是针对不同数学思维水平的学生.在实践中，数学思维能力强者往往完成量多，完成质量相对较高；数学思维能力较弱者往往完成量少，完成质量也相对较差.

2)大单元的前置作业与单一核心知识点前置作业，在设计重点方面，前者线条要粗一点、宏观一点，整体把握住即可；后者线条要精一点、微观一点、深入一点.

3)前置作业不同于巩固性作业，前置作业需要提供一些探究性、兴趣性的内容，吸引学生，促使学生去动手做、动脑思、动笔写，培养学生主动学习数学的能力.

4)前置作业设计成问题串形式，给学生提供选择性，其中的开放性问题，给学生提供创新性思考平台.