模态逻辑与真理论*

李 晟 胡泽洪

一、引言

二、模态算子逻辑中的真理论

我们知道，仅通过算子方法并不能建立起令人满意的真理论。因为无论把真算子（truth operator）表达成何种形式，只要令它满足塔斯基双条件模式，这样的真算子就不足道。比如以“■”表示“真”，那么根据塔斯基双条件模式，算子“■”应满足如下性质：

很明显，（Tr）使得真算子理论立刻坍塌为经典命题逻辑。

在以自然的模型论解释说明模态系统时，对模态词的说明总是通过真来完成的。例如，语句p在某个可能世界w中是必然的，当且仅当p在每个与w有可及关系的可能世界中都是真的。只不过在这里，真是自明的，不需要再追问“什么是真”（what is truth）这个传统真理论的重大问题。此外，在模态逻辑的语形方面，模态公式常常用于表达对模态概念的某种哲学构想，而这些哲学构想往往也包含着关于真的内容。例如，Kp→p可用于表达“知识蕴涵真”，而p∧¬Bp可用于表达“p为真但某人不相信p”。由此可见，无论是模态逻辑的语形还是语义，模态逻辑始终都包含着真。尽管无须回答“什么是真”，但包含真也就自然包含了对真的理解，包含了对真的性质和功能的预期，因而也就应当包含了真理论。

从模态算子逻辑并不明确区分“p”和“p 为真”这一点来看，如果要用算子方法将模态逻辑中的真理论表达出来，那么它应当满足特征公理（Tr）。也就是说，模态逻辑中的真理论是坍塌的。这种坍塌的真理论允许（Tr）适用于所有语句，从而意味着它承认塔斯基双条件模式的所有实例，通常被称为“朴素真理论”（naive theory of truth）。我们认为，朴素真理论正是隐藏在模态算子方法中的真理论。但是承认塔斯基双条件模式的所有实例会导致说谎者悖论，因此，模态算子逻辑中的真理论事实上是不一致的。

尽管算子方法中隐藏着不一致的真理论，但模态算子逻辑本身仍是一致的，这是因为通过模态算子逻辑，人们往往只讨论模态算子所刻画的模态概念的性质，并不需要本质地涉及真概念的性质，正如朴素集合论虽然包含悖论，但由它同样能建立很多数学理论。然而一旦在讨论中需要本质地涉及真，算子方法就会暴露在悖论的风险中，而表达式的含义便首当其冲。考虑表达式 ¬p → ¬p，这是经典命题逻辑的重言式，其含义似乎是确切的。但如果还原出真算子，就至少会有两种不同的理解：（i）■¬p→ ¬■p；（ii）¬■p → ■¬p。从谓词的角度看，对这两条原则的承认与否可能导致完全不同的真理论。那么在算子背景下，人们在讨论中如若确实涉及真，究竟该如何理解呢？坍塌的真算子无疑模糊了这里的区别。

考虑认知逻辑的公理（T）：Kφ→φ。由于我们通常是用它表达“知识蕴涵真”，所以我们现在不妨把真直接明确地显示出来，使之成为：

应该说这样的显示处理并不会修改原公理的含义，但倘若将这种经由显示处理之后的模态原则用于实际问题的分析中，所得结果就将大为不同了。

菲奇（F.B.Fitch）提出了著名的“可知性悖论”（Knowability Paradox），在这个悖论导出矛盾的过程中，其核心命题“p∧¬Kp”的含义是：p为真，但p并非已知。现在让我们简单回顾一下菲奇推导中的几个关键步骤。

① L.Horsten,, Cambridge: MIT Press, 2011, pp.37-39.

②在真谓词的理论中，原则（i）因其等值于“¬（T〈φ〉∧T〈¬φ〉）”而被称为“真之相容性原则”（T-consistency），原则（ii）因其等值于“T〈φ〉∨T〈¬φ〉”而被称为“真之完全性原则”（T-completeness）。在不同的真之原则的集合中引入这两条原则将产生不同的结果。详细内容可参见H.Friedman, M.Sheard, “An Axiomatic Approach to Self-Referential Truth”,, vol.33, no.1, 1987, pp.1-21.

③ F.B.Fitch, “A Logical Analysis of Some Value Concepts”,, vol.28, no.2, 1963, pp.135-142.矛盾是显然的，但不能令人满意，因为菲奇悖论所关注的问题本质地涉及了真与知识。那么对其核心命题的推导无论如何也不能只采用隐藏的真，而应该把真明确地显示出来，也即改述为“■p ∧ ¬Kp”，并重新推导如下：

通过对真的显示，矛盾不再唾手可得。倘若要由上述第（3°）步得到矛盾，还必须至少假设另外两条原则：（i）■¬p → ¬■p；（ii）K■p → ■Kp。这两条原则都不是平庸的，前者是重要的真之原则，后者是关于真与知识相互作用的原则。这两条原则都与真密切相关，又都不在任何一致的真理论中必定成立。但是在算子背景下，它们都被隐匿起来，造成推导过程中的意义含混，这对哲学问题的讨论来说是不利的。这是算子方法的一个缺点。所以，假如我们在分析诸如可知性悖论时，不能清楚地考虑到这些潜匿的条件，而是急于修正或抛弃那些居于明处的原则，恐怕很难说是获得了对问题的真正解答。

反观以蒙塔古悖论为代表的模态谓词悖论，虽然算子方法确实规避了矛盾，但是正如我们所看到的，算子方法中隐藏着不一致的真理论，这种不一致性虽不直接影响模态逻辑，但仍会在涉及真的推导中默默地发挥作用。因此，我们不得不考虑这样一种可能性：算子方法通过禁止语言的恶性自指，消除的只是矛盾的次要方面，而矛盾的主要方面则被掩盖起来，当孔斯以一种特殊的方式（即φ↔¬Jφ）重构矛盾的次要方面时，矛盾就立刻发生了。我们认为，这个被掩盖起来的方面正是真理论的不一致性。而要进一步说明这个问题，必须把讨论的背景由算子转回到谓词上来。

三、模态谓词悖论中的真谓词

与蒙塔古原始文献的版本不同，蒙塔古悖论的构造可以采用一种更简化的形式，也即只需通过以下两条模态原则：

这两条模态原则在通常的模态算子逻辑中是重要的特征公理和规则，现在把它们添加进某个使得哥德尔自指定理成立的形式算术的扩张系统中，便可进行如下推导：

根据改述后的原则，上述推导的（2）显然应是：N〈¬λ〉 → T〈¬λ〉，如若要由它推出（3），还必须依赖两条新的真之原则：

这两条原则在蒙塔古悖论的推导中是预设成立的，但实际上它们并不相容。

引入一个新的名字 〈λ〉，使得语句 λ 就是 ¬T〈λ〉。假设 λ 是真的，即 T〈λ〉，根据（T1）可得T〈T〈λ〉〉；又因为 λ 即为 ¬T〈λ〉，于是得到 T〈¬T〈λ〉〉；由此根据（T2）得到 ¬T〈 T〈λ〉〉，从而矛盾，根据归谬法， λ 不是真的，即 ¬T〈λ〉。据此再次根据（T1）可得到 T〈¬T〈λ〉〉；并且由于 λ 就是 ¬T〈λ〉，所以又得到 T〈λ〉，即 λ 是真的，从而再次矛盾。

通过上述讨论我们可以看到，当由算子背景转回谓词背景后，隐藏在算子方法中的不一致真理论便暴露出来了。算子方法禁止了语言的恶性自指，也就是取消了蒙塔古悖论推导过程中的步骤（1），但这只是消解了构成矛盾的其中一个方面，并未触及不一致的真理论。算子方法采取的方式是“禁锢”，它把不一致的真理论坍塌为一致的经典命题逻辑，从而限制了真理论的活动，确保了模态算子逻辑的安全。但同时，“禁锢”真理论也带给算子方法一些哲学讨论上的不便：一来它在一定程度上割裂了模态与真，使得人们透过模态算子无法更精准地探视到模态概念与真概念的关系，正如我们在可知性悖论的例子中所看到的，但哲学中的大量问题并不能忽略真；二来由于它未能消除不一致真理论所带来的悖论风险，当类似恶性自指的语句卷土重来之时，模态算子也就不得不面临悖论的考验。

孔斯为构造悖论而设置并辩护的前提之一是J(φ↔¬Jφ)，这个语句中所含的等值式在谓词背景下通过哥德尔自指定理可以很容易获得，但我们认为这并不是导致矛盾的关键。在谓词背景下，形式算术构造出自我否定的自指语句是不可避免的，应当视之为形式算术的特点而非缺点。孔斯悖论中导致矛盾的关键还是在于不一致的真理论。孔斯用以推导矛盾的认知逻辑系统包括以下四条公理模式（为便于讨论，在此只给出相应的谓词版本）：

在这里，（J1）其实就是（T）的一个特殊形式，（J2）和（J4）则是（Nec）的特殊形式。那么根据前面的分析，在推导时一旦还原出它们隐含的真谓词，马上就可以在孔斯悖论的推导过程中发现，矛盾推导要想成立，必须额外假设两条新的真之原则：

不过孔斯悖论和蒙塔古悖论都直接地依赖于模态原则（T），从谓词的角度看，二者在结构上很相似。但托马森悖论就不同了，一方面，托马森悖论的推导依赖于比（T）更弱的原则 P〈P〈φ〉→φ〉（可记为T）；另一方面，托马森悖论其实并不直接导致矛盾，它只是内部不一致的（即P〈⊥〉），也就是说，除非假设谓词 P 满足相容性（即¬P〈⊥〉），否则它至少在形式上仍然可接受。但是对于托马森提出的“理想信念”而言，完全可以合理地假设其具有相容性，而且对其他的很多模态概念（如知识、规范等）也有必要规定相容性，因此内部不一致也不容小觑。倘若将（T）改述为 P〈P〈φ〉→T〈φ〉〉，还原出托马森悖论推导过程中的真谓词，那么“内在不一致”结果的得出同样需要假设真之原则（T3）和（T4）。所以，托马森悖论的影响因素仍旧是真理论的不一致性。

哈尔巴赫指出，如果把上述真之原则和模态原则分别引入算术系统，那么所得结果都将是一致的，但两类原则无法相容地结合在一起。为说明矛盾，可进行如下推导：

而若是按照我们的分析，问题或许会变得简单。只要我们还原出在上述推导中隐去的真谓词，那么如果仍要由（3）和（4）推出（5），就必须假设（T1）和（T2）成立，但这两条真之原则无法相容。所以，以我们的观点看，哈尔巴赫解悖方案中的矛盾实际上并不在于真谓词和模态谓词之间是否缺乏互限，而在于真之原则提供的真谓词与模态原则隐藏的真谓词不协调。也就是说，在上述推导中其实包含了两种不同的真理论，而真正导致矛盾的是那个被模态原则隐藏起来的不一致的真理论。

综上所述，我们详细地考察了几种具有代表性的模态谓词悖论，它们各有特点。但我们发现，在这些形形色色的模态谓词悖论的背后，始终贯穿着一个共同的影响因素：不一致的真理论。我们认为，真理论是模态逻辑的基础，解决模态谓词悖论的关键策略是为模态谓词理论提供一个可靠的真谓词，以使得模态谓词理论所赖以奠基的真理论是一致的。

四、作为模态逻辑基础的真理论

事实上，这种思路并不算一种真正的新思路，它早已体现在模态算子逻辑中。在证明模态算子逻辑的一致性时，人们是通过对模态公式施以变形处理，使之转变成经典命题逻辑的公式，进而以经典命题逻辑的一致性担保模态逻辑的一致性的。前文指出，模态算子逻辑中不是没有真理论，而是已经坍塌为经典命题逻辑，所以应当看到，以经典命题逻辑担保模态逻辑实际上就是以真理论作为模态逻辑的基础。只不过坍塌的真算子不会造成经典命题逻辑的失效，但不一致的真谓词却会导致模态系统的崩溃，因而必须确保真理论的一致性。

以真理论作为模态逻辑的基础还体现在语义方面。我们知道，模态算子逻辑的可能世界语义学是以经典命题逻辑语义学为基础的。在那里，一个语句p在某个可能世界w中是必然的，当且仅当p在每个与w有可及关系的可能世界中都是真的。至于p在这些可能世界中是否为真，完全取决于赋值函数对它的指派，有p则为真，无p则为假。而这显然又是承认塔斯基双条件模式所有实例的朴素真理论。也就是说，在模态算子逻辑的语义学中，真仍然是被含糊处理的，仍然是不一致的真理论。

但是我们知道，并不是所有的模态原则都会导致悖论，也即并非所有的模态谓词理论都需要奠基于真理论，这就说明模态谓词有可能根据是否依赖真理论而分为两类。前面讨论的“必然”“知道”“理想信念”等谓词属于依赖真谓词的一类，而不依赖真谓词的一类的典型代表可以考虑“可证明”（provability）谓词Bew。可证明谓词是形式算术系统中的一个可定义谓词，通常在形式算术中可以证明它具有以下性质：

由此可见，根据是否基于真理论，模态谓词确实被分为两类。我们认为，如果一个模态谓词所能遵循的模态原则不需要借助于真理论就能保持一致性，就说明这样的模态谓词在作为基底理论的形式算术中是可定义的，它的哲学含义也无需依赖真，正如“证明”与“真”的区别；同样，如果一个模态谓词所能遵循的模态原则必须借助真理论才能保持一致性，就说明这样的模态谓词在作为基底理论的形式算术中是不可定义的，它的哲学含义也必须依赖真，正如“知识”与“真”的联系。因此，真理论作为模态逻辑的基础还体现在为模态逻辑的分类提供依据上。

五、结语

算子和谓词都是表达模态的方式，但由于谓词方法长期面临悖论的困扰，使得它始终无法同算子方法一道在模态逻辑的研究中大放异彩。在这篇论文中，我们通过对几个具有代表性的模态谓词悖论的研究发现，每一次矛盾的产生无不隐含着对真之原则的不当使用，不一致的真理论是导致模态谓词悖论的根本因素。我们认为，真理论是模态逻辑的基础，但算子方法和谓词方法在对待真理论时采取的方式不同。在算子方法中，真是被隐藏的，其对模态逻辑的基础性作用由经典命题逻辑取代，所以即便算子方法藏着不一致的真理论，却并没有在通常的模态算子逻辑中表现出来。但是如果谓词方法忽略了这个关键点，也效仿算子方法对真的处理，则必然导致悖论。解决模态谓词悖论的方法是引入一致的真谓词，把模态逻辑建立在真理论的基础上。具体说来，就是分别以公理化真理论和语义真理论作为模态逻辑的语形基础和语义基础。把模态逻辑建立在真理论的基础上，最显著的优点是有可能真正揭示出模态概念与真概念的逻辑关系，这对哲学问题的讨论无疑将是意义重大的。