基于改进滑模算法的加筋板时滞振动控制

马天兵，吕英辉，杜 菲，丁威海，高 璐

(1. 安徽理工大学深部煤矿采动响应与灾害防控国家重点实验室，安徽 淮南 232001；2. 安徽理工大学矿山智能装备与技术安徽省重点实验室，安徽 淮南 232001；3. 安徽理工大学机械工程学院，安徽 淮南 232001)

时滞现象是工业生产等过程中普遍存在的现象[1-2]。在振动主动控制系统中，也存在着时间滞后现象。这种现象最基本的特征就是当被控系统的输入量发生改变的时候，其振动控制系统的输出能量延迟一段时间才能发生变化。时滞一般主要产生于信号的传递过程、控制器运算的运算过程、作动器进行能量输出等多个振动主动控制的环节[3]。时滞现象的存在，导致被控量不能实时反映被控系统所受到的外界干扰，需要经过一定的时滞量才能涉及到被控量完成振动主动控制的输出量。因此，这种振动主动控制必导致控制系统过渡时间变长，甚至造成控制系统出现超调现象，对被控系统的稳定性产生严重影响，破坏振动主动控制的动态品质[4-6]。如何在保证控制效果的前提下解决振动主动控制中的时滞问题，显得尤为的重要。

滑模变结构算法是变结构控制系统的一种控制策略[7]。因其结构简单、物理意义明确、控制效果好，在电力控制、机器人控制以及飞机控制等工业领域得到了广泛的应用。文献[8]为提高电机调速系统转速响应的快速性以及增强其鲁棒性，设计了一种改进变指数趋近律，提高了控制系统的响应速度、抗干扰性能，并减弱了抖振。文献[9]设计了基于离散滑模变结构控制的内回路补偿控制器，该方法实现了被控系统的完全跟踪，并有效补偿了外部干扰、模型不确定性等因素对系统性能的影响，从而保证了被控系统的稳定性。文献[10]针对传感片与作动片对位粘贴而产生的局部应变效应对振动主动的控制效果产生影响，设计了基于局部应变补偿的改进幂次趋近律滑模控制算法，该方法可以有效地解决局部应变效应产生的影响。文献[11]提出了一种二阶滑模控制控制器，该控制器基于超扭曲算法。该控制器与经典控制器相比较，其控制结果证明这种新型控制器具有响应速度快和强鲁棒性。上述文献对于振动主动控制系统存在的超调时间长、振动过程存在抖振问题给出了解决方案，但就如何解决振动主动控制中时滞补偿问题的研究却比较少。

文献[12]通过建立Smith预估器和自适应控制方法的结合明显改善了对时滞系统的控制性能，防止了系统的不稳定性，因而在一定程度上解决了Smith预估器存在的预估器模型和被控对象参数不匹配时系统控制特性劣化甚至发生振荡发散的问题，取得了较好的效果。但是该方法不具有良好的跟踪性能，当受到外界的干扰时，被控系统的模型就会发生变化，此时将会导致振动控制系统的稳定性无法得到保证，其抗干扰能力较弱，存在较大的超调量、较长的调节时间等问题。文献[13]提出了一种基于时滞补偿线性自抗扰控制器(LADRC)的新型振动控制方法(TDC-LADRC)。压电片的数学模型首先基于系统辨识，采用辅助变量法建立。然后用带有新型微分器的史密斯预估器对无延迟部分设计ADRC。绘制扩展状态观测器(ESO)来估计内外扰动，如模式误差、高次谐波和外界环境激励等。然后，通过前馈机制引入实时补偿，以减弱其不利影响，从而使所设计的控制器达到最优的减振性能。但是其本质上仍然存在调整时间长、实时性差、调节使得输出有过冲或者震荡，参数调整过于复杂。文献[14]提出了一种适用于四容MIMO系统的时延补偿方案。利用Pade近似方法将一个由过程时滞组成的无补偿系统转化为无时滞系统。设计了一种鲁棒的非切换型滑模控制器，即使在存在系统不确定性的情况下，也能补偿控制器和执行器侧计算的状态变量、滑动变量和控制信号中过程延迟的影响。但是该方法容易受到信号噪声的干扰影响，尤其是对于高频噪声的控制有效性不佳。文献[15]所设计的趋近律具有自适应调节能力，且都用了新的函数代替了传统指数趋近律中的开关函数，提高了系统的响应速度，但是这种方法对抖振的削弱程度不足，而且由于未时滞补偿环节，易导致该控制系统在实际控制过程中效果不佳。上述文献对于振动主动控制中时滞补偿给出了解决方案，但对如何解决振动主动控制系统存在的超调时间长、振动过程存在抖振问题的研究却比较少。

基于以上原因，本文建立了压电加筋板机电耦合模型，采用Smith预估补偿策略，提出基于改进指数趋近律Smith预估补偿控制算法，并验算该控制补偿算法的稳定性，保证该控制系统控制效果不发散，跟踪误差不断减少，通过cSPACE控制平台对加筋板进行振动主动控制实验。分别采用基于传统与改进指数趋近律的控制、指数趋近律滑模变算法和基于改进指数趋近律Smith预估补偿算法进行振动主动控制，并对比振动控制结果，验证改进指数趋近律Smith预估补偿控制算法的优越性。

1 Smith预估器与时滞补偿控制算法

1.1 Smith预估器

Smith预估控制是一种广泛应用的对纯滞后对象进行补偿的控制方法，实际应用中表现为给PID控制器并接一个补偿环节，该补偿环节称为Smith预估器[16]。

Smith预估器是解决时滞的有效方法。在时滞控制系统中，因其闭环传递函数存在时滞项，在这种情况中导致被控系统在进行振动控制过程中极易产生失稳现象，从而使得控制过程变得十分不易。而Smith预估器就是预先估计被控系统的数学模型并且对其输出的控制进行相应的预测，使得控制器输出的振动控制信号可以根据系统的状态进行提前输出，这样就可以达到被控系统稳定控制的目标，其原理如图1所示。

图1 Smith预估器原理图

在图1中，G0(s)e-τs表示为被控系统的包含时滞τ的数学模型；G0(s)表示为不含时滞τ的数学模型；Gc(s)则表示为振动主动控制的控制器模型，在本文中其为改进指数趋近律控制器模型；Gs(s)则为Smith预估补偿器，其数学表达式为

Gs(s)=Gm(s)(1-e-τs)

(1)

式中：Gm(s)为被控对象的预估模型；τs则为被控对象的预估时滞量[17]。

预估模型Gm(s)的估计值可以看作是不含时滞的数学模型G0(s)，预估时滞量τs的估计值近似于被控系统的延迟时滞量τ，则Gs(s)表示为

Gs(s)=G0(s)(1-e-τs)

(2)

闭环传递函数表示为

(3)

闭环传递函数对应的等效原理如图2所示。

图2 Smith预估器等效原理图

在图2中，被控系统转换为闭环控制结构并与时滞结构串联，闭环结构不再含滞后环节。

1.2 时滞补偿算法

在振动主动控制过程中存在的时滞现象，导致输出控制会延迟作用于被控系统，导致主动控制的效率下降，严重时甚至造成被控系统失稳。

为了避免改进指数趋近律滑模变控制系统时滞现象，在改进滑模变控制算法中加入Smith预估补偿，添加时滞补偿因子，来解决振动主动控制中的时滞问题。

首先，构造时滞预估补偿模型Gm(s)(1-e-τs)；其次，压电加筋板的输出控制信号u(t)输入到时滞预估补偿模型之中后得到压电加筋板的信号延时误差de，然后将信号延时误差de进行反馈到被控系统的状态误差e(t)上，重新计算并且得到涵盖时滞现象的新状态误差e(t)=xm(t)-x(t)-de；再次，将新状态误差反馈到改进的指数趋近律控制算法，在改进后的指数趋近律控制算法中，其本质是对补偿函数sgn(s)进行改进，因而在Matlab-Simulink中编写加筋板主动控制程序，只需对上文的指数趋近律里的补偿函数sgn(s)修改为本文选用的softsign(s)函数即可。

最后，再经控制器的运算得到控制输出u(t)，将控制输出u(t)作用到被控系统上去。添加时滞补偿的改进指数趋近律滑模变算法原理图如图3所示。

图3 Smith预估补偿控制算法原理

在未进行Smith预估时滞补偿时，加筋板的系统状态变量表示为

(4)

式中：A为m×m维状态矩阵；B为n×n维控制矩阵；d(t)为外界干扰。

由式(4)可知，加筋板的系统状态变量中含有时滞项，然而加筋板的参考模型之中却无时滞项，因此加筋板的信号跟踪误差表示为

e(t)=xm(t)-x(t)e-τs

(5)

进行Smith预估时滞补偿压电加筋板的信号跟踪误差表示为

e(t)=xm(t)-x(t)e-τs-de

(6)

加筋板的延迟信号误差则为

de=xd(t)(1-e-τs)

(7)

式中：xd为压电加筋板的预估状态变量，假设预估模型及时滞量都较理想时，则：xd(t)=x(t)，τm=τ，加筋板的延迟信号误差表示为

de=x(t)(1-e-τs)

(8)

将式(8)代入式(6)中可得

e(t)=xm(t)-x(t)

(9)

由式(9)可知，进行了Smith预估时滞补偿之后，加筋板的信号跟踪误差之中不含时滞项，振动控制则回归之前的改进指数趋近律算法，加筋板振动主动控制过程中的时滞现象得到了补偿。

2 时滞补偿控制算法的稳定性分析

算法的稳定性分析，表征着本控制算法的可行性。改进的算法必须要保证不会导致控制发散，其跟踪误差不断减少。在进行实验研究之前，首先对算法稳定性进行必要的验证。

考虑到加筋板的数学模型

(10)

加筋板振动控制的滑模函数为

(11)

式中：c>0，且其满足Hurwitz条件。

加筋板振动控制的跟踪误差为

(12)

对式(12)进行推导，可得

(13)

针对传统滑模控制容易出现的抖振问题，利用softsign函数不宜饱和的特点，提出一种改进指数趋近律

(14)

结合式(11)～式(14)，可得改进后的控制律为

(15)

构造李亚普洛夫(Lyapunov)函数

(16)

则

(17)

将式(15)代入式(17)中，可得

(18)

其中ε>0，k>0.

因为0≤softsign(s)s≤|s|，所以-softsign(s)s≤0，又有-ks2≤0，因此可以得到

(19)

由Lyapunov第二法[18]可以得知，该控制算法具有较好的稳定性。

3 时滞补偿振动控制实验

3.1 实验装置与步骤

时滞补偿振动控制实验其主要硬件由鼎阳科技SDG1032X信号发生器、GZ-20激振器、中科深谷cSPACE控制器、PC机等构成。压电传感器及作动器采用的压电片型号是P5-Y78。控制实验平台如图4所示。

图4 加筋板振动控制实验平台

利用信号发生器产生正弦激励信号，其频率设置为加筋板的一阶模态频率213Hz，经过功率放大器放大后，通过激振器作用于加筋板上，cSPACE的A/D采集模块采集压电传感片的振动信号。经过cSPACE实时分析后通过D/A输出端输出振动控制信号给压电作动片来抑制加筋板振动。

在振动控制实验中，实验需要调试，根据改进指数趋近律的控制律可知，可以事先保持控制律中的参数k值不变，然后先确保参数c的取值达到最优。确定参数c最优后，再确定控制律中的参数k达到最优的控制效果。在振动控制的过程中，需要等到压电加筋板振动控制状态达到稳定后，再去调节功率放大器的增益，直至其振动控制达到最佳的状态。缓慢调节功放的增益后，当改进指数趋近律控制律中的参数c=40，k=90时，振动控制达到最佳状态。

3.2 实验结果与分析

1)改进指数趋近律的振动抑制效果 为了对比加筋板基于传统与改进指数趋近律的控制效果，进行振动控制实验，保持控制参数一致，通过cSPACE采集到的传感压电片输出的振动控制时域图如图5所示。

图5 加筋板振动控制时域对比图

由图5可知，加筋板振动控制前的压电传感片电压为4.087V，采用了改进指数趋近律后，其压电传感片的电压下降到1.848V，相较于传统指数趋近律的振动幅值2.089V，在振动幅值方面产生了明显抑制效果。相较于传统指数趋近律控制算法的系统稳态响应时间0.094 5s，基于该策略的系统稳态响应时间仅为0.059 4s，系统快速性良好。因此实验结果验证了改进指数趋近律算法可以有效地抑制加筋板的振动，并且较传统指数趋近律具有一定的优越性。

2)时滞补偿振动抑制效果 本文采用李沙育图测法[19]观测时滞(见图6)，通过测量改进指数趋近律算法中输出信号与控制信号之间存在的相位差便可得到时滞参数τ。将输入信号接入示波器X轴，控制信号接入Y轴，调节功率放大器两路信号振动幅值一致以便观察。

图6 李沙育图

图6的李沙育图像轮廓为椭圆，并且椭圆长轴与直线y=1/x大致平行。由此可知振动信号相位约滞后约为5π/6。

由于加筋板振动控制的能量主要集中在一阶模态上，由此可根据加筋板的一阶振动频率及控制信号的滞后相位换算得出其滞后补偿时间。因此对改进指数趋近律滑模变算法进行时滞补偿，并进行实验验证补偿控制效果。实验结果表明：振动控制相位滞后5π/6时，即时滞量为3.91ms时可以得到更好的控制效果。实验中将Smith补偿等效为控制信号的时延，使得传感器信号与输出的振动控制信号相位同步，以此来达到时滞补偿目的。

为了比较加筋板未进行时滞补偿与Smith预估补偿的控制效果，保持时滞补偿前后振动控制器参数一致和两次实验加载到压电作动器的控制电压一致(均为80V)。

通过cSPACE采集的不同状态下的压电传感片信号(见图7)，可以发现：改进指数趋近律算法进行Smith预估控制后其振动的压电传感片的幅值为1.209V，相较于未进行Smith预估补偿控制的1.848V，控制幅值下降了0.639V，可见Smith预估补偿控制的振动控制效果得到了明显改善。

图7 Smith预估补偿时域图

4 结论

本文针对压电加筋板主动控制中存在的时滞问题，利用李沙育图对振动主动控制中的时滞测量，验证了加筋板振动主动控制中存在时滞延迟现象，并提出和构建了一种基于改进指数趋近律滑模的Smith预估补偿控制算法。实验结果表明，针对加筋板的第一阶模态，未时滞补偿的改进指数趋近律滑模算法的控制效果为2.239V，而基于改进指数趋近律的Smith预估补偿控制算法控制效果达到了2.878V，提升了0.639V，验证了时滞补偿的有效性和控制方法的优越性。Smith预估器和改进指数趋近律滑模控制方法的有效结合明显改善了时滞系统的控制性能，提升了主动控制时的时滞补偿效果，解决了实际振动控制过程中进入稳态时间过长及抖振等问题，有望在实际的时滞系统和设备的过程控制中得到广泛的应用。