等截面梁纯弯曲振动时忽略非线性因素的条件

唐 果，高永毅，舒 慧，龚 帅

（1.湖南软件职业技术大学 人文素质教学部，湖南 湘潭 411201；2.湖南科技大学 物理与电子科学学院，湖南 湘潭 411201；3.中国电信股份有限公司怀化分公司，湖南 怀化 418000；4.岳阳宇翔科技有限公司，湖南 岳阳 414012）

梁的振动问题是学者们广泛关注的问题，其线性振动理论，目前已比较成熟[1]。但是，随着科学技术的发展，工程机械系统和精密仪器的精度、复杂程度及防振要求越来越高；同时高强度新型材料不断使用等原因使得梁的非线性振动问题越来越受到广大科技工作者的重视。许多学者对梁的非线性振动问题做了大量的研究工作，张登博等[2]对非齐次边界条件下轴向运动梁的非线性振动问题进行了研究。Evensen[3]对不同边界条件下简支梁的几何非线性振动进行了求解。Chen 等[4]研究了轴向运动黏弹性梁的高维非线性动。Pillai 等[5]利用谐振子假设得到了时域解、伽辽金解和谐波平衡解。Sahoo 等[6]分析了轴向运动梁的动态稳定性、分叉及稳态响应。本文作者等[7-9]对考虑挠度微分方程中高阶项所引起的几何非线性和材料阻尼引起的阻尼非线性的梁进行了分析，并对等截面梁纯弯曲振动时产生混沌的参数条件进行了研究。本文将对等截面梁纯弯曲振动时几何非线性忽略条件进行研究。

1 非线性因素忽略的条件

高永毅等[7]对如图1 所示的理想弹性体，匀质等截面，作用有均布载荷q=q0cosωt，微幅振动的梁，依据梁挠度y（x，t）用基础振型函数φ（x）近似表示，即y（x，t）=φ（x）a（t）的方法和拉格郎日方程得出了非线性运动方程：

图1 建立的坐标，X 轴沿梁的轴线。其中：“·”表示对时间t 的导数式中：是梁的单位长度质量）（“，”表示对x 的导数，E 是弹性模量，I 是截面惯量矩）是粘滞阻尼系数）。

图1 梁的挠度分析图

高永毅等[7]和许本文等[10]在式（1）和其稳态近似解a（t）=Bcos（ωt+φ）的基础上，依据谐波平衡法导出的频率响应方程为

由（3）式得隐形函数：

利用隐形函数（4）式，将B 对ω 求导得：

令式（5）的分子部分为零，则幅值B 对频率ω 的导数为零，求出的频率ω 所对应的幅值Bm为极大值，其频率ω0为等截面梁的固有频率。因此得：

由上式得：

由式（1）和式（2）可知只有h 或b 十分小的情况下，梁纯弯曲振动时非线性因素才能忽略。由此，通过式（7）可得梁纯弯曲振动时非线性因素忽略的条件为

将式（2）代入式（8）中得：

当式（9）成立时，h 或b 为小值，此时才能忽略梁纯弯曲振动时的非线性因素的影响。所以式（9）是梁纯弯曲振动时非线性因素忽略的条件。将式（9）中的不等号用等号代替，得梁纯弯曲振动时非线性因素忽略的分界线方程。利用MATLAB 软件，在以频率ω 为横坐标，以幅值B 极大值为纵坐标的坐标平面上，对分界线方程画曲线，得梁纯弯曲振动时非线性因素忽略的参数分界线。

由于不同类型等截面梁的基础振型函数φ（x）不同，由式（9）可知不同类型和不同材料做成的等截面梁纯弯曲振动时非线性因素忽略的条件是不同的。下面以简支和悬臂梁为例，利用式（9）研究不同类型等截面梁纯弯曲振动时非线性因素忽略条件。

2 简支梁纯弯曲振动时非线性因素忽略条件

2.1 主振动的非线性因素忽略条件

韩强等[11]给出了各阶主振动对应的振型函数φ（x）为

由于是匀质等截面梁则ρ、EI 为常数。将振型函数φi（x）代入式（9）中得各阶主振动非线性因素忽略的条件：

将非线性因素忽略条件（12）式中的不等号用等号代替得非线性因素忽略的分界线方程。

取唐果等[9]中给出的参数：ρ=15.3×103kg/m，I=0.8 m4，l=100 m，E=2.15×1011N/m2，η=0.02。在以Bm为纵坐标，ω 为横坐标的坐标平面内，利用MATLAB 软件和式（11）对分界线方程画曲线，得出匀质等截面简支梁纯弯曲振动时，不同阶主振动非线性因素忽略的参数分界线如图2 所示。

图2 中的3 条曲线分别是i 取2、8、14 和βi取2×0.01×π，8×0.01×π，14×0.01×π 所对应的不同3 阶主振动的非线性因素忽略的参数分界线。每条曲线左边是非线性因素可以忽略的区域；右边是考虑非线性因素的区域。

图2 匀质等截面简支梁纯弯曲振动时，不同3 阶主振动对应的非线性因素忽略的参数分界线

由图2 知，固有频率在分界线与横坐标的交点到坐标原点之间取值的时候不要考虑非线性因素；并且非线性因素忽略的分界线随主振动的阶数增大向右移动，说明不要考虑非线性因素的区域增大；等间距的增大主振动的阶数，其区域的增大是越来越大。

2.2 一般初始条件下的非线性因素忽略条件

因为其自由振动为各阶主振动的叠加[10]，所以当振型参数βi及匀质等截面梁参数ρ、EI、η、l 不满足式（12）时，所对应的主振动都要考虑非线性因素。由于不要考虑非线性因素的区域随主振动阶数的增大而增大，因此第1 阶主振动不要考虑非线性因素的区域最小，所以在一般初始条件下匀质等截面简支梁纯弯曲振动时，非线性因素忽略的条件是式（12）给出的第1阶，即i 取1 和βi取1×0.01×π 对应的不等式，即：

将非线性因素忽略条件式（13）中不等号用等号代替得一般初始条件下匀质等截面简支梁纯弯曲振动时，非线性因素忽略的分界线方程。

在以Bm为纵坐标，ω 为横坐标的坐标平面内，利用MATLAB 软件对分界线方程画曲线，得出一般初始条件下匀质等截面简支梁纯弯曲振动时，非线性因素忽略的参数分界线如图3 所示。分界线的左边是非线性因素可以忽略的区域；右边是必须考虑非线性因素的区域。

由图3 可知，在一般初始条件下，匀质等截面简支梁的固有频率在分界线与横坐标的交点到原点之间取值进行纯弯曲振动时不要考虑非线性因素；在大于分界线与横坐标的交点取值进行纯弯曲振动时，如果各个参数满足式（13）则可以不考虑非线性因素的影响，否则就不能忽略非线性因素。

图3 一般初始条件下匀质等截面简支梁纯弯曲振动时，非线性因素忽略的参数分界线

3 悬臂梁纯弯曲振动时非线性因素忽略条件

3.1 主振动的非线性因素忽略条件

韩强等[11]给出了悬臂梁纯弯曲振动时，各阶主振动的振型函数φ（x）为

其中：β1l＝1.875 1，β2l＝4.694 1，β3l＝7.854 8，

将振型函数φi（x）代入式（9）中得悬臂梁纯弯曲振动时各阶主振动非线性因素忽略的条件。

取2.1 节中唐果等[9]所给的参数，利用MATLAB软件和式（15）计算第1、9、18 阶振型函数φ（x）对应的积分得：

将式（16）和式（17）代入式（9）中得悬臂梁纯弯曲振动时第1 阶主振动非线性因素忽略的条件：

将第1、9、18 阶主振动非线性因素忽略的条件式（18）、式（19）和式（20）中的不等号用等号代替得第1、9、18阶主振动非线性因素忽略的分界线方程。在以Bm为纵坐标，ω 为横坐标的坐标平面内，利用MATLAB 软件对分界线方程画曲线，得匀质等截面悬臂梁纯弯曲振动时，第1、9、18 阶主振动非线性因素忽略的参数分界线如图4 所示。图4 中的3 条曲线分别是i 取1、9、18 和βi取0.018 751，π×0.01×17/2，π×0.01×35/2 所对应的不同3 阶主振动非线性因素忽略的参数分界线。每条曲线左边是非线性因素可以忽略的区域；右边是考虑非线性因素的区域。由图4 可知悬臂梁纯弯曲振动时，主振动非线性因素忽略的参数分界线变化规律和简支梁相似。

图4 匀质等截面悬臂梁纯弯曲振动时，不同3 阶主振动对应的非线性因素忽略的参数分界线

3.2 一般初始条件下的非线性因素忽略条件

由于不要考虑非线性因素的区域随主振动阶数的增大而增大，因此第1 阶主振动不要考虑非线性因素的区域最小，所以在一般初始条件下匀质等截面悬臂梁纯弯曲振动时，非线性因素忽略的条件是式（18）。将非线性因素忽略条件式（18）中的不等号用等号代替得一般初始条件下，非线性因素忽略的分界线方程。利用MATLAB 软件对分界线方程画曲线，得出一般初始条件下匀质等截面悬臂梁纯弯曲振动时，非线性因素忽略的参数分界线如图5 所示。分界线的左边是非线性因素可以忽略的区域；右边是必须考虑非线性因素的区域。由图5 可知一般初始条件下，匀质等截面悬臂梁纯弯曲振动时，非线性因素忽略的参数分界线变化规律和简支梁的类似。

图5 一般初始条件下匀质等截面悬臂梁纯弯曲振动时，非线性因素忽略的参数分界线

4 结论

由以上讨论可以得出以下几点结论。

（1）由于不同材料制造的匀质等截面梁的固有频率是不同的，所以在制造均质等截面梁时可以根据非线性因素忽略条件和工程需要选择材料。

（2）不同类型和不同材料制造的均质等截面梁纯弯曲振动时非线性因素忽略的条件是不同的。

（3）不同类型匀质等截面梁纯弯曲振动时，各阶主振动都有一个固有频率点，各阶固有频率取小于这个点的值时，不要考虑非线性因素；取大于这个点的值时，要根据式（9）分析是否考虑非线性因素。

（4）同一类型匀质等截面梁纯弯曲振动时，主振动不考虑非线性因素的区域随主振动阶数增大而增大；增大的速度随主振动阶数增大而增大；说明高阶主振动更容易避开非线性因素的影响。

（5）不同类型匀质等截面简支梁，在一般初始条件下纯弯曲振动时，非线性因素忽略的条件为第1 阶主振动忽略的条件。说明一般初始条件下纯弯曲振动比各阶主振动更难避开非线性因素的影响。