基于FAST反射面的形状调节模拟分析

王慧敏 付书凡 毕婧

（沈阳师范大学软件学院 辽宁沈阳 110034）

FAST是世界已经建成的最大射电望远镜，它借助天然圆形溶岩坑建造，呈现出球形网状结构，可用来汇聚无线电波、供馈源接收机接收。本文通过分析FAST的工作原理，模拟出了反射面的工作原理，由此得出用旋转抛物面作镜面易于实现同相聚焦，并由相关参数建立推出抛物面的曲线方程，构造出理想抛物面。利用最小二乘法进行检验优化，得出理想抛物面，减小误差，进而求出反射面300m 口径内的主索节点编号、位置坐标及各促动器的伸缩量。通过反射面的调节方案，根据计算馈源舱的接收比，得到馈源舱［1］接收反射信号和总射入电磁波的接收率，并与基准反射球面的接收作比较得出结论，调节后的反射面可以让馈源舱对电磁波的接收效率远远高于基准反射球面的接收率。

1 理论及方法

1.1 针对初始理想抛物面的分析

FAST主反射面整体是固定不动的，而天体的位置是随意变化的，相对应的焦点也在随之变化，FAST 初始状态为球面可以方便副面移动对焦进而实现跟踪观测，因此，FAST的基准态反射面均为球面反射面。

射电望远镜的工作原理和光学反射望远镜十分相似，天体传来的电磁波被镜面反射后，可以到达公共焦点，理想抛物面的形状要有超强的聚集电磁波的能力。常见的射电望远镜［2］理想的抛物面大多是旋转的椭圆抛物面。

根据待测天体的具体位置位于基准球面的正上方，通过公式演算及题目中已经给出的数据，以此来推断出理想抛物面的方程。

1.2 针对理想抛物面的分析

根据得到反射面调节后的工作抛物面的中心节点和反射面板的最外层的点的节点，从而模拟建立出整个理想抛物面。

结合运动学的随动机构来计算节点变化位移。随动机构是一种反馈控制机构，这种机构输出量是机械位移、速度或者加速度。快速跟踪和准确定位是随动机构的两个重要技术指标。

最小二乘法是一种数学优化技术，通过寻找误差的平方和的最小值来得出数据的最佳函数匹配。本文利用最小二乘法，可以找到与数据最为贴合的工作抛物面，即理想抛物面。根据数据，利用最小二乘法进行检验优化，得出最优的理想抛物面，减小实际工作抛物面与理想抛物面间的误差，进而求出反射面300m口径内的主索节点编号、位置坐标及各促动器的伸缩量。

2 模型实验

2.1 针对初始理想抛物面的模型建立与求解

2.1.1 模拟FAST主动反射面工作原理

FAST主动反射面接收来自天体的电磁波，初始球面反射面是围绕反射面中心的法线为主轴的，并且是围绕这个轴旋转对称的。当α=0°、β=90°时，假设主轴与反射面接触的点V 为顶点，在主轴上的点C 与反射面上所有点等距，称为曲率中心。从C 到V 的距离记作曲率半径R，当电磁波照射到主轴平行的反射镜时，会被反射面反射出去，并聚焦在一点F，称为反射面焦点，焦点F到顶点V的距离称为镜面的焦距f。

假设电磁波信号及反射信号均视为直线传播，照射到反射面的电磁波信号均平行于主轴，并最终都聚集在焦点F上［3］。

2.1.2 理想抛物面求解

在求解理想抛物面时，根据题目描述，需要确定与基准球面中心重合的一个椭圆抛物面，该抛物面是理想抛物面。

根据题意，以工作态抛物面的对称轴为y轴，建立直角坐标系，y（x）围绕y轴旋转得到三维曲面，当平行的电磁波沿着与y轴平行的方向直射到反射面的入射角为θ，标记为P（x，y）；根据光的反射定律和折射定律的两个追问反射定律可知，最后反射在y轴的F 点处，其余电磁波也相继在焦点F处相交于坐标（0，f）。

通过简单的几何推理，可以求出y（x）在P 点处的导数：

当两束电磁波平行射入时，∠FCP 的大小也为θ，根据P点的坐标可以求出焦距f为：

考虑到抛物面为椭圆抛物面，将抛物面的方程设为：

由椭圆的性质可以推出焦距f为：

因此，可以得出结论：所有平行射入的电磁波，最后都会反射到主轴y轴的焦点上，在这种情况下不需要小角度近似。由此确定曲线y（x）是所有平行射入的电磁波必须通过f，这意味着P点的坐标和x无关，因此得出公式：

将题中给出的基准球面半径R=300m，照明区域等数值带入到公式就可得理想旋转抛物面的方程为：

2.2 针对理想抛物面的模型建立与求解

2.2.1 中心节点的求解

假设图1 是一平面上的截面，图上各点在同一平面上。

图1 中心节点模拟图

已知观测天体的方位角α=36.795°和仰角β=78.169°，又已知目标天体发射出的是平行直线电磁波，可知，SO 是一条直线，由题可知，反射面半径R=300m，则CO=R=300m，根据三角函数，得出点O的坐标为（-49.2544，36.8403，-293.6270）。

由R=300m，口径HG=300m，且HG是OP的垂直平分线，由此推出∠HPG=120°。由于该截面属于平面，得出∠POE=β=78.169°，则P 的坐标为（-20.5954，0，-156.7964），G 的坐标为（0，0，-300），H 的坐标为（-259.8，0，150），得出抛物面方程：

Z= 0.0067x2+ 0.0067y2- 300

2.2.2 索网构造分析

由索网的构造结构可知，主索节点起着连接主索、下拉索及背架结构的作用，这种连接方式在安装过程中很难精确控制索端各自的预应力。FAST 反射面都是由许多等边三角形板组成，形成类似3-PSP 随动机构模型［4］的模型。

其中，每根下拉索控制一处主索节点的径向改变，可以调节索点的切向位移，引起反射面移动形成工作抛物面。

2.2.3 随动机构的位置逆解

通过3-PSP 并联机构的封闭方程，能求得旋转矩阵R。

以一块三角面板单元为例，该面板与基面的夹角设为θ；面板的质心的位置设为O；O 点坐标为[XO，YO，ZO]，设连接在一块面板上的三条索为L1、L2、L3；设上索节点与三角板尖端节点位移差为l1、l2、l3。

通过基准态和下端点的差能够求出基准态下索的长度，也就是L1、L2、L3。

代入公式，由此求得位移差，得到节点移动后的坐标。

2.2.4 基于最小二乘法的优化

本文选择最小二乘法优化模型［5］，该模型能够对反射面进行多次计算调整，从而达到最优抛物面，索网的特点如下。

每个节点由一根拉索沿着网面的法向与促动器相连，索网的索力发生相应的变化甚至相差较大［6］。

假设抛物面的初始位置为：

经过促动器调节后产生位移差：

新的位移节点可表示为：

假设某一时刻馈源照明部分的节点集合为C1，数量为m，照明部分的节点初始位置设为xc，位移的该变量设为Δuc，设全局坐标系到随动坐标系的坐标变换矩阵为T，节点变换后有：

表示其残量函数为：

当所有的反射到的节点都位于抛物面内，残量均为0，探究各节点残量的平方和最小：

由于促动器顶端径向伸缩量为0，其径向伸缩范围为-0.6～0.6m，且为了精确优化，节点的位移量不能太大，设最大调整量为ΔLmax，由此得到位移约束条件：

综上，可得到一线性的最小二乘优化模型优化模型。

在给定的范围内，可计算出调整量尽可能小的位移量，从而达到更为理想的抛物面。

3 模型实验的结果分析

3.1 针对初始理想抛物面的结果分析

本文发现反射面的工作态只有是椭圆抛物面时才能更好地聚集天体发来的电磁波，通过模拟电磁波的传播路径［7］，大致推断出反射面的运动轨迹。

通过运动轨迹，求出反射面的抛物线方程，进而求出理想的抛物面方程，通过对数据进行分析计算和公式推演，得出的理想抛物面方程更准确。

3.2 针对理想抛物面的结果分析

以主动反射面顶点为原点，建立坐标轴，计算天体和馈源舱及主动反射面三者之间的位置关系，通过对特定点进行求解，最后再代入假设的抛物线方程，由此得出理想的抛物面方程，能较好地拟合工作抛物面。通过运动学中随动模型，进行形成抛物面节点的发生位移计算，再通过最小二乘法，寻求位移的最小程度，进而得出促动器伸缩改变量和各节点的位置。

4 结语

FAST射电望远镜是我国的一项里程碑工程，它的建设将推动众多高科技领域的发展。主动反射面是FAST 的重大创新，它通过主索网、促动器等主要部件构成可调节球面，通过下拉索便于实现对主索网形态的控制。根据参数，结合考虑反射面板调节因素，确定理想抛物面，并由此获得天体电磁波反射后的最佳接收效果。

通过已知的馈源舱接收信号的相关信息，结合求得的工作抛物面的面积，计算得出调节后的馈源舱的接收比。进而将结果与基准反射球面的接收作对比，得出结论认为反射时工作抛物面相对于基准态时，馈源舱的接收率会更高。