一类随机金融系统的随机灵敏度控制

王雪歌，黄东卫

(天津工业大学数学科学学院，天津 300387)

金融系统是一个复杂的非线性系统，对金融混沌系统的微小冲击就可以显著改变金融系统的动力学行为，从而破坏金融混沌系统的稳定性．对随机扰动下的金融混沌系统进行动力学分析，可以了解其演化规律，从而为经济部门提供政策建议．对于吸引子附近的概率分布，FPK（Fokker-Planck-Kolmogorov）方程给出了最详细的概率描述．但求解FPK方程是非常困难的，为此，本文采用拟势函数的小噪声分布密度，根据其渐近分析[1]，利用随机灵敏度函数（Stochastic Sensitivity Function, SSF）方法，构造了金融系统的随机吸引子的概率描述．

对于三维系统，随机Lorenz系统和Rossler系统出现倍周期分岔时，文献[2-5]利用SSF技术分析了其附近的混沌现象，但对于金融混沌系统，很少应用这个方法对随机吸引子进行概率描述．本文将SSF技术应用到改进的三维金融混沌系统中，在指数稳定平衡点处设计控制器，对系统进行了理论分析与数值模拟．结果表明，该方法能降低随机系统的灵敏度，并且可以达到抑制混沌随机振荡的目的．

1 确定性系统的动力学分析

1.1 金融系统

经典的金融系统[6]如下：其中，x代表利率，y代表投资需求，z代表价格指数，a表示储蓄量，b表示单位投资成本，c表示商品需求弹性，a,b,c均为正数．经过研究及数值模拟发现，当a=0.9,b=0.2,c=1.2时，金融系统呈现混沌状态．文献[7]考虑到利率变化因素与平均利润率有关，对金融系统进行了改进，并对改进后的金融系统进行了混沌同步研究．

考虑到利率x与价格指数有可能会出现弹性正比关系，发现调整弹性系数，也可以使金融系统出现的混沌状态消失，从而达到稳定状态，或周期状态．所以本文参考文献[8]对系统（1）中的第一个方程做了改进，即在利率x原始变化中，将价格指数z前的权值由1改为变系数k，于是得到如下改进的金融混沌模型：

接下来对改进的确定性金融混沌系统（2）进行动力学分析．

1.2 平衡点与稳定性

求确定性系统（2）的平衡点．令系统右端为0，得到：

1.2.1 平衡点1E的稳定性与分岔情况

1.2.2 平衡点E2,E3的稳定性与分岔情况

1.2.3 不同参数下的相图

取初值为(0.01,10.01,−0.01),(−0.01,10.01,0.01)，固定参数a=0.92,b=0.1，改变参数c,k，利用软件Mathematica画出确定性系统（2）取不同参数时的相图，如图1（a），图1（b），图1（c），图1（d）是系统呈现混沌状态下的相图．

图1 确定性不受控系统吸引子

由图1可以得到：当参数a= 9.2,b= 0.1,c= 1.25,k= 2时，这时确定性系统有一个稳定平衡点，如图1（a）所示；当参数a= 9.2,b= 0.1,c= 1.25,k= 0.8时，确定性系统有两个稳定的平衡点，如图1（b）所示；当参数a= 9.2,b= 0.1,c= 0.8,k= 1.1时，系统发生Hopf分岔，系统呈现拟周期状态，如图1（c）所示；当a= 2,b= 0.2,c= 1.606 2,k= 1时，确定性系统呈现混沌状态，如图1（d）所示．绘制的相图（见图1）与以上对确定性系统的理论分析结果一致．

2 随机金融系统平衡点的灵敏度分析

金融系统是一个极其复杂的系统，环境中即使发生很小的随机扰动也会使确定性金融系统的动力学特性产生变化．我们在这里对系统（2）加入的小扰动是标准的维纳过程，可以得到如下随机系统：

其中，Wi(t)(i=1,2,3)是相互独立的标准维纳过程，ε是噪声强度．

随机金融系统在不同参数之下的随机吸引子的轨迹见图2．

图2 随机金融不受控系统的随机吸引子（ε=0.002）

通过观察图2与图1的区别，可以看出，在随机扰动不是很大的情况下，随机系统的轨迹离开吸引子，在其周围形成随机吸引子．在系统中加入随机扰动，随机扰动可能会引起系统状态的转换，系统可能会从周期状态变为混沌状态．

下面将用随机灵敏度函数技术讨论随机金融系统的随机灵敏度．将系统（3）表示成如下形式：

其中，x是一个3维向量，W(t)是一个3维维纳过程，σ(x)是3×3矩阵值函数，ε是噪声强度．在这里取

当ε=0时，随机系统（4）就变为确定性系统（3），这时系统有指数稳定的平衡点

随机系统（4）的随机轨迹离开平衡点，在平衡点处形成一些概率分布，它的平稳密度函数为ρ(x,)ε．FPK方程详细描述了平稳密度函数，但这个方程很难获得解析解，故本文使用基于拟势函数的渐近与近似方法来对其进行讨论．

对于小噪声，函数ρ(x,)ε在平衡点的小邻域内有如下高斯渐近近似ρ∗(x,)ε：

矩阵W的迹：d(k)=trW(k)=W11(k)+W22(k)+W33(k)，我们将d(k)的大小作为衡量随机灵敏度的指标．在参数a= 9.2,b= 0.1,c= 1.25,k= 0.8的条件下，有：d(0.18)=153.6959．可以看到，这个值很大，这也表明系统对加入的随机扰动的反应很灵敏，所以加入随机扰动之后的系统变得紊乱．为了平衡随机系统中的紊乱轨迹并抑制混沌状态，下面设计反馈控制器来控制随机金融系统．

3 随机系统灵敏度的控制

3.1 随机受控系统灵敏度的预备知识

考虑随机受控系统：

σ(x,u)是足够光滑的矩阵值函数，它描述了随机扰动对状态和控制的依赖关系．W(t)是n维维纳过程，ε是噪声强度，u是控制参数．反馈控制器取为常规反馈控制器：

完全随机可控定义：如果∀W∈M，∃K∈K，KW=W，就说系统（6）的平衡点是完全随机可控的，简单地说，系统（6）是完全随机可控的．

考虑rank(B)<0的情况，这时系统不是完全随机可控的，此时描述系统（6）的可达性条件．介绍所需要的几个矩阵和方程．

其中，C是任意l×n矩阵，满足BCW+WCTBT=0．

基于以上介绍，给出以下定理：

定理1[2]当rank(B)

3.2 随机金融受控系统灵敏度分析

加了控制的随机金融系统如下：

计算可得，加入控制之后的d(k)=trW(k)=1.8096−0.0096k，可以看到，受控之后的随机系统（11）的随机灵敏度矩阵的元素小于未受控的随机系统的灵敏度矩阵的元素，随机灵敏度降低．

当a= 9.2,b= 0.1,c= 1.25,k∈[0.5,2]时，不受控金融系统随机灵敏度矩阵W的迹d(k)随参数k变化的图象如图3所示，受控系统随机灵敏度矩阵W的迹d(k)随着参数k变化的图象如图4所示．从图4可以看出，受控系统的灵敏度矩阵W的迹d(k)在区间k∈[0.5,2]上保持在1.800附近．以上分析表明，减小控制系统的随机灵敏度会抑制混沌．

图3 不受控金融系统在平衡点E2处的随机灵敏度

图4 受控金融系统在平衡点E2处的随机灵敏度

当参数取a= 9.2,b= 0.1,c= 1.25,k= 0.8时，结合（9）式、（10）式和定理1，可以得到控制器（7）的系数k1,k2,k3，计算得到：

由此可以得到控制器的表达式，在系统中加入该控制调节器．该控制调节器对于所考虑的控制问题的解决的可能性在图5中得到了证明．

图5给出了当ε=0.002,k=0.8时系统随机振荡轨迹的x坐标，可以看到，系统在t=50时打开了控制，之后x坐标稳定在0.136附近，即加入控制之后随机灵敏度减小，达到了控制随机振荡和抑制混沌的目的．

图5 随机振荡轨迹的x坐标（ε=0.002,k=0.8）

4 结 论

本文将SSF技术应用到金融混沌系统中，在指数稳定平衡点处设计控制器，达到将控制随机吸引子稳定在平衡点小邻域内的目的．通过对未受控的随机灵敏度矩阵和受控之后的随机灵敏度矩阵的迹的对比可知，加入控制之后的随机灵敏度比未受控的随机灵敏度降低了许多，控制之后的系统对外界干扰的灵敏度下降，加入控制能抑制系统混沌，在一定程度上能使经济系统处于稳定状态，即达到了实施控制的目的．