并联电池组模型简化算法及电流分布验证

潘 硕，曾 坤，范鑫源，曹泽乾*

(1.中车唐山机车车辆有限公司，河北 唐山 063035；2.北京交通大学国家能源主动配电网研究中心，北京 100044)

1 引言

在电动汽车、储能技术以及越来越多电力和能源需求的当下,电池得到了广泛的应用。但是随着电池应用的场景变得越来越多样化，复杂的应用场景给电池的性能也提出了更高要求。为了提高电池的容量水平，满足日益增长的功率和能量需求，电池不可避免的需要采用并联的连接方式。整体模型(Bulk Module)是目前最常用的电池组仿真模型，将单个电池的仿真结果放大几倍来表示一个电池组。但整体模型忽略了电池之间的不一致性，比如在快速充电等电流过大的情况下，这种忽略不能反映电池组内部的电流分布，并且会导致误差增大。但是由于电池制造过程中的技术问题，出厂时电池的内阻和容量都存在着一定程度的不一致性[1,2]，并且在单体成组后，会在运行过程中进一步对单体电池的性能产生不同的影响，从而加速成组电池不一致性的发展[3]。

这种不一致性会影响对电池的可用功率和可用能量的判断，比如日常生活中降低驾驶性能。随着电动汽车快速充电技术的发展，电动汽车所使用的电池将承受越来越大的电流，此时不一致性的影响将会越来越明显。同时不一致的电流分布参数对电池SOC和SOH有较大的影响，建模时应考虑不一致的影响[4]。

为了实现快速仿真，本文提出了一种适用于非均匀参数并联电池组仿真的等效电路模型的简化方法，利用该方法可以简化任意并联数的电路，实现快速仿真。为了得到更一般性的结论，基于本文提出的方法对电流分布进行了统计分析，通过蒙特卡罗仿真研究了电路并联电阻数和电阻不一致性对电池组电流分布的影响；通过改变并联电阻数和电阻不一致性，进行了一系列仿真。结果表明：随着并联数的增加，峰值呈近似对数趋势增加；随着电池正态分布电阻相对标准差的增大，其峰值呈线性趋势增加。

2 方法与实验

2.1 模型选择

针对不同电池材料和应用场景，学者们提出各种电池建模方法，应用最广泛的是等效电路模型[5]。对于电池组的建模，通常采用整体模型。在整体模型中，所有电池参数完全一致，使用等效电流模型的放大输出来表示电池组模型。整体模型能很好地反映电池组的整体特性，但不能模拟电池组内部的不一致性。

以往的研究中已经注意到参数分布与电池模组不一致两者相关的重要性。姜等人[6]证明了将串联电池组作为单个电池的建模方法比单独建模的方法误差更大。Miyatake等[7]建立了并联电池模型，但只考虑了数量较少的情况。如果电池数量较少，一般可以使用Simulink进行并联建模。但是随着电池数量的增加，基于Simulink方法的建模速度和仿真速度都明显下降。

2.2 并联电池模型简化

仿真软件大多采用数值方法求解微分方程。Gong等人[8]利用Simulink建模研究了电池参数不一致对分布的影响，但是电池并联数目的上升增加整个系统联立方程的数量，将会提升模型运算的存储消耗和时间成本。

为了准确地模拟电池组模型并且研究电池组中电流分布的问题，本文以Thevenin模型为例，提出一种简化电池组模型的方法。虽然简化和推导过程是基于Thevenin模型的，但该方法可以扩展到等效电路模型和基于等效电路模型的改进模型，例如考虑温度，考虑当前充电倍率，甚至考虑老化效应。

Thevenin电池模型如图1中所示，正方向如图中标注，电阻Ro是欧姆电阻，采用RC电路来描述电池充放电过程中的极化现象。开路电压(UOCV)由SOC控制。I是通过电池的电流，Uo表示端子电压。

图1 Thevenin电池模型Fig.1 Thevenin battery model.

为简化运算，本文假设电池模型参数仅仅受SOC影响。如果模型比较复杂，这些参数也可能受到温度和充电倍率的影响。这些影响可以体现在查找关系表的工作量或简化电化学方程得到的拟合公式中。本文以最常见的Thevenin模型为例进行简化。温度和充电倍率的影响忽略不计。虽然这些假设忽略了许多电池的影响因素，但是在大多数情况下，这些假设都是合理的。更重要的是，这些因素可以在后期添加到该模型中，使模型更完整，更接近真实的工作状态。

首先对并联拓扑进行研究，如图2所示。该电路共并联n个电池，编号为1至n。k支路电流为Ik，k支路端电压为Uok。欧姆内阻、极化电阻、极化电容分别为R0k、Rpk、Cpk。并联电池组的总电流为Imerge，端电压为Uomerge。

图2 单体电池并联成组方式与简化Fig.2 Single battery parallel mode and simplification.

本文中仅考虑SOC对电池参数的影响，忽略温度、充电倍率和老化的影响，没有考虑电池之间的连接电阻。假设电池处于长时间静置状态，电池之间没有平衡电流，极化电压均为零。在给定的电路中，根据基尔霍夫电流定律，总电流等于每个分支的电流之和，进一步可以得到公式(1)。因为所有电池的正负两极相连，每个电池的终端电压是相同的，之后可以推出公式(2)。

(1)

Uomerge=Uok(k=1,2,…,n)

(2)

将基尔霍夫电压定律应用于每个电池，可得公式(3)。同时本文将充电方向定义为正方向。

Uok=UOCVk+Upk+Ik×R0k(k=1,2,…,n)

(3)

将公式(2)带入公式(3)，将支路电流带入公式(1)，可以得到公式(4)，公式(4)直接反映了并联支路总电流与电压的关系。通过对公式(4)排序,可以得到公式(5)。

(4)

(5)

与约束公式(3)相比，公式(5)具有相似的结构。可以把一个并联的电池组看成一个等效电池。等效电池参数与电池组参数的关系如下：

(6)

(7)

这里不考虑等效电池SOC与原支路电池SOC之间的关系。由于使用这种方法可以单独计算每个电池的SOC，在这种情况下,不需要计算整个电池组的SOC。将公式(6)(7)代入公式(5)得到简化形式为公式(8)。

UOmerge=UOCVmerge+UPmerge+Imerge×R0merge

(8)

通过上述简化,一个平行电池组可以等价于一个电池。首先计算等效电池参数,然后引入方程计算总端电压。根据公式(9)用总端电压来推断每个电池的电流。

Ik=-(UOCVk-UPk+UOmerge)/R0k(k=1,2,…,n)

(9)

而SOC和极化电压是系统的状态变量，具有时间的累积效应。为了便于计算，在时域采用欧拉法对电池状态变量进行离散化。以固定的步骤更新电池状态，通过迭代法计算下一步的SOC值和极化电压。大多数电池实验开始于一个已知的SOC点,经过长时间的静置，电池可以完全去极化。因此在仿真开始时，假设每个电池的SOC已知，每个电池的极化电压为0。SOC的计算方法为公式(10)极化电压的计算方法为公式(11),其中t和t+1表示时间点，t表示离散过程中的步长。

(10)

(11)

如果Thevenin模型中的参数不随SOC的变化而变化，进而可以直接更新OCV。对于更一般的情况,电池参数与SOC相关，需要使用公式(12)更新参数。该函数通常是一张关系表或一个多项式拟合函数。如果考虑温度，f函数的输入应该是SOC和温度两个变量。如果电池模型比较完整，其他因素也可以作为f函数的输入变量。更新完电池参数后，可以使用公式(6)(7)再次简化，迭代计算下一个时间步长的端电压和支路电流。

(12)

在每个步骤中计算端电压并使用端电压推断支路电流，然后使用公式(10)、公式(11)和公式(12)更新电池状态变量和参数，并带入下一次迭代。以上推导使用了Thevenin模型，它也适用于其他基于等效电路的模型，如考虑速率的影响和考虑OCV的迟滞效应。只要电池模型的基本结构是等效电路模型，就可以使用上述简化方法。甚至可以结合产热模型和散热模型实时更新电池温度信息，并考虑温度对电池参数的影响。

本文通过简化，使得整个系统没有耦合变量。原并联电池组的Thevenin模型有多个微分方程，需要同时求解，但是通过简化和解耦方程组，大大减少了计算量。如果用矩阵的形式描述系统变量，计算速度可以进一步加快。

3 实验结果与讨论

3.1 基于电流分布的蒙特卡罗仿真

在电动汽车、储能等大型应用场合，为了满足应用要求，需要大量电池串联或并联使用。通常电池的数量会达到数千个，对每个电池的参数进行测量显然是不现实的。在这种情况下，统计电流分布更为重要。如果通过仿真可以预测电流分布的统计特性，可以为预测电池参数的变化提供参考。

蒙特卡罗仿真是一种依靠重复随机抽样得到数值结果的计算算法。其基本概念是使用随机性来解决原则上可能是确定性的问题。由于电池生产、工艺、人工等方面的错误,在电池出厂时，会产生特性上的差异。单体电池的参数在一定范围内是随机的。通过不同初始值的模拟，可以统计、计算出结果的分布。蒙特卡罗仿真的前提是单次模拟时间足够快，可以在短时间内执行多次。本文提出的简化计算方法可以快速模拟复杂拓扑电路,为分析电池参数对电流分布的影响提供依据。为了获得不同并联数和不同电池参数分布对电流的影响,本文设计了蒙特卡罗仿真。用于蒙特卡罗仿真的电池组拓扑模型如图3所示。电池并联数量从2—20，即图中的n从2—20。

图3 用于蒙特卡罗仿真的电池组拓扑模型Fig.3 Battery pack topology model for Monte Carlo simulation.

电池的内部参数受许多小的因素影响。中心极限定理指出,大量独立且均匀的随机变量相加,即使原始变量本身不是正态分布,其分布也将近似于正态分布。Rumpf等人[9]研究了1 100个商用电池的容量和内阻分布,认为其基本符合正态分布。许多文献对电池参数分布规律进行了计算,得到了相似的结论。下面的分析将基于正态分布电池参数,研究正态分布的并联数和相对标准差对电流分布的影响。

在接下来的蒙特卡罗仿真中，本文对Thevenin模型做进一步的假设。

(1)电池在充放电过程中参数保持不变，不受SOC等因素的影响；

(2)SOC与OCV之间的呈现线性关系。

通过上述假设，可以排除SOC不一致和不同SOC点斜率不一致造成的影响。首先假设电池具有相同的容量，只考虑电阻参数的正态分布。正态分布的期望μR为0.1，相对标准差σR/μR用d表示，σR/μR在1%～4.5%每隔0.5%变化一次，共8个点。并联的数目用n表示，在2—20。将电池组的总电流Ipack设定为恒定的1 C，每个电池平均电流值为Iaverage。

仿真结果如图4所示，内阻不一致的三块电池并联时，先以30 A放电足够长的时间，再以30 A充电足够长的时间。初始时总电流一定，各个单体电池的SOC也一定，电阻值低于平均的支路电流较大。随着电池组放电的继续，电阻较小的支路SOC增加快于其他支路进而使该支路OCV也更高。此时各支路的极化电压Upk都在增加，其中电阻值低于平均的支路极化电压较小。

图4 内阻不一致并联电池单元充放电电流曲线Fig.4 Inconsistent internal resistance Charge-discharge current curves of parallel battery units.

通过对电路参数的设置，可以使得电阻值低于平均的支路极化电压Upk在时间间隔内的变化值小于OCV的变化值，电阻更高的支路则与之相反。根据公式(8)可以分析得出时间间隔内电阻值低于平均的支路即电流值高于平均的支路电流会随着放电的继续使电流值减小，反之电流值低于平均的支路电流会增大，这种趋势直到各支路电流相等后结束。上图反映了电池组中各单体电池SOC和支路电流趋于一致的趋势，与实际中电池组一致。电池的放电方向定义为正方向的电流。总放电电流为30 A，三块电池除了内阻外其他参数非常接近，所以每节电池的放电电流在10 A左右。

本文中仿真使用64位MATLAB 2020a软件，计算机的处理器配置为Intel i5-6300，内存配置为8 GB，计算机系统是Windows 10。本文以3个单体电池并联为例进行仿真结果对比。第一次仿真运用相等关系联立方程的方法，将三条支路电流设定为待求量，以三个单体电池的端电压相同以及三条支路电流之和等于充放电总电流为相等关系列出联立方程，在MATLAB中进行循环求解，得到上图4的电流曲线。第二次使用上文提出的简化算法，两者仿真结果相同，但是仿真需要的时间差异非常大。第一种求解算法需要的时间超过40 min，而第二种简化算法只需要0.1 s左右。值得注意的是，如上仿真是建立在模型简化假设下的，当运用非简化电路模型时仿真计算所需时间差距将继续增大，由以上结论可知本文提出的简化算法在电池并联时支路电流求解运算中优势明显。

对于n,d的特定组合，为了更好地描述电池电流偏离平均电流的程度，本文定义以下变量：

(12)

(13)

其中：Imax和Imin如图5中所示，即支路中电流差异最大的两个点。取10次相同d情况下Imax和Imin两点电流的平均值。

图5 放电阶段Imax和Imin示意Fig.5 Schematic diagram of Imax and Imin during discharge.

3.2 仿真结果分析

电池单元并联数增加电流分布拟合曲线如图6所示，当固定相对标准差d而并联数n由2增加到20时，电流分布系数λr呈现增加的态势，即随着电池组中并联数目的增加电流分布的偏差增大。

图6 电池单元并联数增加电流分布拟合曲线Fig.6 The number of cell parallel connections increases the fitting curve of current distribution.

根据拟合的结果来看，初始时随着并联数的增加电流分布的偏差变化较大，但到一定程度后随着并联数的增加电流分布的偏差变化趋缓，分析得知两者的关系接近于y=alog(x)+b。

并联电池单元内阻不一致性增加电流分布拟合曲线如图7所示，当固定并联数n而相对标准差d由1%增加到4.5%时，每隔0.5%为间隔共8个点，电流分布系数λr也呈现增加的态势，即随着电池组中并联数目的增加电流分布的偏差增大。不同的是，当相对标准差有序增加时，电流分布的偏差成正比例增加，分析得知两者的关系接近于y=ax+b。

图7 并联电池单元内阻不一致性增加电流分布拟合曲线Fig.7 Inconsistencies in the internal resistance of parallel cells increase the fitting curve of current distribution.

4 结论

电池在不同温度状态下的老化速率是不同的，单体电池温度过高还可能导致整个模组电池损坏。如果无法维持温度一致性，一段时间后电池间的差异就会显现出来，并且这种差异是无法通过均衡技术来修复的。单体电池电流的不一致性是导致温度不一致性的重要因素。

本文提出了一种适用于并联数目较多的电路拓扑的简化方法。通过这个方法运用基尔霍夫定律简化复杂电路，避免计算过程许多偏微分方程，它可以极大地提高仿真速度。基于此方法，假设电池内阻服从正态分布，改变并联电路数量和参数的正态分布对电流采用蒙特卡罗模拟方法研究了相关分布情况。本文得出的结论是：在只考虑正常情况下单个电池参数分布时，如果内阻在服从正态分布的情况下，随着并联数的增加，电流分布偏差将会增大，两者的关系接近于y=alog(x)+b；而随着正态分布标准差的增大，电流分布偏差也会增大，两者的关系接近于y=ax+b。这些关系可为电池组的设计提供参考，以控制电流偏差,减小电流梯度和温度梯度，使电池在安全状态下工作。