三缝干涉测量涡旋光束拓扑电荷数

徐全学, 郑思敏, 袁财富, 王 涛

(1. 拉萨师范高等专科学校 数学和自然科学系, 西藏 拉萨 850007; 2. 四川师范大学 物理与电子工程学院, 四川 成都 610068)

涡旋光束是一种具有螺旋相位因子exp(ilθ)的空心光束,其中θ为方位角,l为拓扑电荷数,每个光子携带lh的轨道角动量[1].由于涡旋光束拓扑电荷数的取值可以为整数或者分数,所以在量子信息编码、粒子囚禁与操控和图像处理等领域具有广泛的应用价值[2-5].如何快速、精确地检测拓扑电荷的大小,成为涡旋光束运用在各领域之前所要面临的首要问题,为此研究者们做出了巨大的努力[6-26],在所有这些测量方法中,有两种方法经常被提到,一种方法是干涉测量法,另一种是衍射测量法,相对于衍射测量,干涉测量具有实验光路简单,调试操作方便,测量范围广等优点,因而成为了关注的热点[6-7],例如,2002年,Leach 等[8]利用 Mach-Zehnder干涉仪测量了涡旋光的拓扑荷数；2008年,陈子阳等[9]发现涡旋光束经杨氏双缝干涉后涡旋光束的干涉条纹沿着横向移动的程度和方向与拓扑电荷数的取值有关；2009年,廖坤山等[10]通过观察涡旋光束经双缝干涉后的条纹分布情况来判断涡旋光束的轨道角动量；2010年,刘曼等[11]对涡旋光束经多圆孔衍射屏在远场平面上形成的干涉光场的相位和零值线进行了计算模拟,测量了涡旋光束的轨道角动量；2012年,Yang等[12]利用交叉谱密度函数通过奇点测量了涡旋光束的轨道角动量；2017年,Behzad等[13]应用楔形光学平板作为横向剪切干涉仪实现了对涡旋光束拓扑电荷数的大小及方向的检测；2019年Narag等[14]使用编程为单缝的数字微镜装置测量了涡旋光束的拓扑电荷数,方亮等[15]研究了涡旋光束通过单分光棱镜后的自干涉现象,发现干涉条纹边缘处会出现“断裂”条纹,且条纹的指向与拓扑电荷的符号相关,该研究为拓扑荷数的测量提供了一种原理简单的操作方法,任斐斐等[16]提出了一种同轴干涉测定方法,其基本思路是利用一个空间光调制器同时调制产生完美涡旋光与球面波,调制球面波的发散角使两者发生干涉,利用干涉条纹数来实现拓扑电荷数的直接快速测定;2020年,余丽芳等[17]提出了一种测量异常涡旋光束的拓扑荷的方法,其原理是在接收孔径之前放置一个特殊样式的掩膜板,通过接收平面的光强图来分辨异常涡旋光束的拓扑电荷值.然而,到目前为止,还没有关于三缝干涉法测量拓扑电荷数的相关报道.因此,本文讨论了整数拓扑荷值以及分数拓扑荷值对干涉条纹分布的影响,通过观察条纹的分布情况讨论了涡旋光束拓扑荷值的测量以及狭缝间距和传输距离对干涉条纹分布的影响.

1 理论分析

当平面波照射到杨氏双缝上,观察屏上的光强分布为[18]

(1)

式中:A为振幅；ω表示入射光波的频率;2a为两个缝之间的距离；Z为双缝所在位置同观察屏之间的距离；λ为入射光的波长.已有研究表明,当涡旋光束照射杨氏双缝时,如果光束的中心恰好落在双缝的中心处,由于涡旋光束在垂直于光束传输方向的横截面的波前分布不再是一个平面,而是呈现出螺线形分布,因此,在双缝平面上还将出现一个附加相位差,该相位差表示为[19]

Δφ(y)=φ2(y)-φ1(y)

(2)

式中:φ1(y)为涡旋光束在其中一个缝的相位;φ2(y)为涡旋光束在另一个缝的相位.

将双缝干涉延伸到三缝干涉,当平面光照射到三条等宽的狭缝上(假定光源离狭缝无限近),三条狭缝的位置分别在x1=a,x2=0和x3=-a处,a为狭缝之间的距离,z为三缝所在位置同观察屏之间的距离(如图1所示).其经三缝干涉场表示为

图1 三缝干涉示意图

(3)

当涡旋光束经三缝干涉后的干涉场可以表示为

(4)

式中

(5)

为涡旋光束在任意点的螺旋相位,l是拓扑荷数.

当涡旋光束经三缝干涉后的光谱强度可以通过式(6)计算[20]：

I(x,y)=E(x,y)·E*(x,y)

(6)

将式(4)代入式(6)得

(7)

2 模拟结果

图2讨论了涡旋光束不同整数拓扑电荷数对干涉条纹强度分布情况的影响.从图2可以清楚地看到,与双缝干涉图样相比,三缝干涉图样中出现主级亮条纹的同时伴随出现了新的次级亮条纹,其中图2a～2c和图2d～2f分别表示正的拓扑电荷数和负的拓扑电荷数对条纹运动方向的影响.从图2a～2c中发现随着拓扑电荷数的增加,条纹的横向位移幅度将增加,值得注意的是当l=1时,干涉条纹沿x轴负方向看去,移动了约一个条纹,即顶部的主级亮条纹与底部相邻的次级亮条纹基本对应(如图2a所示)；当l=2时,干涉条纹沿x轴的负方向看去,移动了约两个条纹,即顶部的主级亮条纹与底部相邻的主级亮条纹基本对应(如图2b所示)；当l=3时,干涉条纹沿x轴的负方向看去,移动了大约三个条纹,即顶部的主级亮条纹与底部的第二个次级亮条纹基本对应(如图2c所示).图2d～2f是拓扑电荷数为负数时干涉条纹的分布情况,比较图2a～2c不难发现,当拓扑电荷数为负数时干涉条纹的移动方向和正数时干涉条纹的移动方向是相反的.换句话说,可以通过观察干涉图样条纹移动的条纹数来判断涡旋光束拓扑电荷数的大小,通过观察其移动的方向来判断拓扑电荷数的正负.另一方面,还可以发现当拓扑电荷数为奇数时,顶部主级亮条纹和底部的次级亮条纹相对应；当拓扑电荷数为偶数时,顶部主级亮条纹和底部的主级亮条纹相对应.也就是说,还可以通过观察干涉场的条纹分布情况来判断涡旋光束的拓扑电荷数的奇偶性.

图2 拓扑电荷数为整数时的干涉图样(l≠0，a=0.5 mm,z=1.5 m)

图3讨论了拓扑电荷数取分数时对干涉条纹强度分布图样的影响.通过图3可以清楚地观察到,干涉图样同样出现了主级亮条纹和新的次级亮条纹,与整数拓扑电荷数的干涉图样相比,分数拓扑电荷数的干涉图样中每一条主级亮条纹的底部又分裂成两条亮条纹,例如当拓扑电荷数的分数部分为0.25时,分裂的两条亮条纹中右边比左边亮(如图3a和图3d),当拓扑电荷数的分数部分为0.5时,分裂的两条亮条纹亮度一样(如图3b和图3e),当拓扑电荷数的分数部分为0.75时,分裂的两条亮条纹中左边比右边亮(如图3c和图3f).也就是说,如果干涉场的条纹分布出现了错位和底部亮纹分裂的现象,即可判断涡旋光束的拓扑电荷数为分数.此外,通过观察分裂的两条亮纹的强度大小对比可以得出拓扑电荷数的取值范围.

图3 拓扑电荷数为分数时的干涉图样,参数(a=0.5 mm,z=1.5 m)Fig.3 Interference pattern with fractional TC, the other parameters are chosen as follows(a=0.5 mm,z=1.5 m)

图4讨论了狭缝间距a的取值对干涉条纹强度分布的影响.从图4可以清楚地看到随着狭缝间距a的增大,条纹间距逐渐缩小,条纹弯曲程度降低并且条纹宽度逐渐变小.也就是说可以通过改变狭缝间距a来调节条纹之间的间距、弯曲程度以及条纹宽度.

图4 缝间距不同时的干涉图样(l=1,z=1.5 m)Fig.4 Interference pattern with different parameter, the other parameters are chosen as follows(l=1,z=1.5 m)

图5讨论了传播距离z的取值对干涉条纹强度分布的影响.从图5可以清楚地看到随着传输距离的增大,条纹间距也逐渐增大,条纹弯曲现象越来越明显且条纹宽度逐渐变大.也就是说,可以通过控制传播距离来调节条纹间距、弯曲程度以及条纹宽度.

图5 传输距离z不同时的干涉图样(a=0.5 mm,l=1)

3 结语

本文讨论了涡旋光束经过三缝干涉后干涉场中的条纹强度分布情况,以及探究了拓扑电荷数,狭缝间距,传播距离对条纹强度分布情况的影响.数值结果表明,涡旋光束经三缝干涉后的条纹中出现了主级亮条纹和次级亮条纹,条纹移动的方向和幅度与拓扑荷数的取值有关,此外,还可以通过改变狭缝间距、传播距离来调节条纹间距、弯曲程度以及条纹宽度,这一研究结果不仅为涡旋光束的分数拓扑电荷数提供了一种新的测量方法,而且为进一步研究多缝干涉现象奠定了基础.