非高斯风压极值估计：基于无可行区限制的传递函数对比研究

吴凤波，郭增伟，刘 敏，吴 波，黄国庆

(1. 重庆交通大学省部共建山区桥梁及隧道工程国家重点实验室，重庆 400074；2. 重庆大学土木工程学院，重庆 400044)

风压极值的准确估计对房屋的抗风设计是极其重要的[1]，特别是低矮房屋围护结构抗风设计[2]。研究表明：靠近房屋分离区的风压具有强非高斯特性[3-4]，这使得传统用于计算高斯风压极值的公式不再适用。为估计非高斯风压极值，众多研究者主要提出了以下几种方法：整体极值法、区域极值法、峰值超阀值法、平均条件超越法、传递过程法等。其中，由于概念直接性和操作简便性，传递过程法常用于非高斯风压极值的估计[5-12]。

基于传递过程法进行非高斯风压极值估计首先需要确定传递函数。由于简单易用，Hermite 多项式模型(HPM)[6]经常被用作传递函数来估计非高斯过程的极值。HPM 模型参数仅需要数据的前四阶矩即可确定。Huang 等[8]利用超长风压数据对HPM 估计风压极小值的精度进行了评估，研究表明HPM 对具有强非高斯性的风压极小值估计误差较大。基于风洞试验风压数据，众多学者[8-10]评估了HPM 估计非高斯风压极大值和极小值的精度，结果表明：HPM 对极大值的估计误差较大。同时，传递过程理论要求传递函数需要保持单调性，这就意味着HPM 具有一定的可行区。对于偏度和峰度组合值落在HPM 可行区外的非高斯风压，HPM 不再适用。为了提高HPM 精度和拓宽其可行区，Liu 等[9]通过定义新的统计矩提出了piecewise HPM(PHPM)模型，数值案例分析结果表明PHPM 精度相比HPM 具有较大的提升。

最近，由于比HPM 有更大的可行区，Johnson转换模型[13-16](JTM)也被用作传递函数来建立高斯过程与非高斯过程之间的映射关系。JTM 的可行区可涵盖整个Pearson diagram 中的区域，这就意味着JTM 适用于所有的非高斯过程。Ma 等[14]基于JTM 对高层建筑表面的风压进行了模拟，进而给出了峰值因子估计值，结果表明：JTM 对风压极小值的估计效果较好。Wu 等[15]基于JTM 提出了非高斯风压模拟及极值估计方法，且系统比较了HPM 和JTM，研究表明：HPM 和JTM 极值估计差距不大，且两模型对非高斯风压极小值估计精度都有待提升。受新统计矩成功用于HPM 的启发，piecewise JTM(PJTM)也可作为非高斯风压极值估计的选择模型。然而，目前PJTM 对非高斯风压极值估计精度尚不清楚；同时，JTM、PJTM和PHPM 三种无可行区限制模型在非高斯风压极值估计精度方面的差别也尚不明确。

为系统比较三种无可行区限制模型估计非高斯风压极值的精度，进而提供非高斯风压极值估计模型选择原则，本文对三种模型估计非高斯风压峰值因子的精度进行了系统的对比研究。首先，对三种模型进行了简要介绍；其次，从理论上对比了三种模型，明确了三种模型的传递函数及其估计极值的区别；最后，采用超长的风洞试验风压数据对理论分析结果进行了验证，详细评估了三种模型估计非高斯风压峰值因子的精度。

1 基于矩的无可行区限制的传递函数

1.1 Johnson 转换模型—JTM

Johnson[13]基于中心极限定理并参照Perason四参数系统，提出了一种能将标准高斯序列Z(t)转换为非高斯序列X(t)的四参数转换模型，该模型被称为Johnson 转化模型(JTM)。JTM 一般可表示为[13]：

图1 JTM 的可行范围Fig. 1 Application range of JTM

1.2 piecewise Hermite 多项式模型—PHPM

基于矩的HPM 可行区有限，对于强偏斜的非高斯过程，HPM 模型不适用。为了拓宽HPM 可行区，Liu 等[9]通过定义新的统计矩提出无可行区限制的PHPM 模型。新的统计矩是基于新定义的概率密度函数或者数据计算获得。新定义的概率密度函数具有关于中值对称的特性，其对称的一边按照如下原则获得：当估计极大值时，取为原始概率密度函数在中值右边区域的部分；当估计极小值时，取为原始概率密度函数在中值左边区域的部分。基于新定义的概率密度函数，与极小值相关的新四阶矩可由式(7)计算：

1.3 piecewise Johnson 转换模型—PJTM

由于新统计矩中的偏度为0，故与极小值或极大值相关的非高斯过程属于SU模型或者SB模型。因此，PJTM 模型可表示为如下：

式中：ε-、λ-、γ-和η-为与极小值相关的PJTM 参数值；ε+、λ+、γ+和η+为与极大值相关的PJTM 参数值。

2 非高斯过程峰值因子估计

在传递理论中，非高斯过程和高斯过程基本满足一一对应的关系，即高斯过程的峰值因子也对应于非高斯过程的峰值因子。因此，基于传递函数JTM、PJTM 和PHPM，标准非高斯过程X(t)的峰值因子可近似表示为：

3 JTM、PJTM 和PHPM 模 型 理 论对比

表1 SU&SU、SU&SB 和SB&SB 三种情况的原始和新统计矩Table 1 The original and new statistical moments for the cases SU&SU、SU&SB and SB&SB

基于JTM、PJTM 和PHPM 估计的非高斯过程母本概率密度函数(PDF)的对比如图2 所示。值得注意的是，图2 纵坐标采用的是对数坐标，以使PDF 区别更为明显。从图2(a)和图2(b)中可以看出，对于SU&SU和SU&SB的情况，基于PJTM和PHPM 确定的非高斯母本PDF 尾部较为接近，二者与基于JTM 确定的相应值具有显著的差距。具体来说，基于JTM 确定的PDF 负尾部大于基于PJTM 和PHPM 确定的值，而正尾部小于PJTM和PHPM 确定的值。从图2(c)可以看出，对于SB&SB的情况，基于JTM、PJTM 和PHPM 估计的非高斯过程母本PDF 负尾部差距较小，而正尾部差距较为显著。具体而言，基于PHPM 估计的非高斯过程母本PDF 正尾部比基于JTM 和PJTM估计的值大。此外，随着峰度值的增加，基于三个模型估计的非高斯母本PDF 尾部都有所增加。

图2 基于JTM、PJTM 和PHPM 的非高斯过程母本PDFFig. 2 Parent PDF of the non-Gaussian process by JTM,PJTM and PHPM

图3 对比了基于JTM、PJTM 和PHPM 的传递函数。从图3 可以看出，当标准高斯过程绝对值较小时，三种模型的传递函数较接近；当标准高斯过程绝对值较大时，三种模型的传递函数具有明显的差距。对于传递函数正尾部，在峰度较小时，PHPM 最大，JTM 次之，PJTM 最小；而随着峰度增加至某一值时，JTM 最大，PJTM 次之，PHPM 最小。基于上述现象可得出结论：随着峰度增加，三种模型估计的极大值增加速度次序为：JTM、PJTM、PHPM，这意味着JTM 估计的极大值对峰度最为敏感，PHPM 最不敏感。对于传递函数负尾部，从图3(a)和图3(b)可以看出，当峰度较小时，PJTM 确定的负尾部(绝对值)最大，PHPM 次之，JTM 最小；而随着峰度增加至某一值时，JTM 的传递函数负尾部(绝对值)最大，PJTM 次之，PHPM 最小。基于上述现象可得出结论：随着峰度的增加，JTM 估计的极小值(绝对值)增加速度大于PJTM 和PHPM 估计的相应值，这意味着JTM 估计的极小值对峰度最为敏感。综上所述，基于JTM、PJTM 和PHPM 估计的极值存在差距，这种差距受峰度的影响。

图3 基于JTM、PJTM 和PHPM 的传递函数Fig. 3 Translation functions by JTM, PJTM and PHPM

4 数据验证

4.1 非高斯风压数据

为了评估三种模型估计非高斯极值的精度，本文选用了一组超长风洞试验风压数据。风压数据来自北京交通大学风洞实验室完成的鞍形大跨屋面的风压实验。鞍形屋面模型如图4(a)所示，模型每边尺寸都为600 mm。模型缩尺比为1∶100，屋面上共布置了265 个测点，具体的测点布置和风向角定义如图4(b)。参考高度的平均风速为8.95 m/s，采样频率和时长分别为312.5 Hz和55 min。模型和实际的风速比取为1∶2，因此，对应的实际采样频率和时长分别为6.25 Hz 和2750 min。本文考虑0°、45°和90°三个风向角。因此，共有265×3=795 个风压过程用于分析。该实验数据的更多详情可参考文献[5]。

图4 风洞试验中的鞍型屋盖及相应测点Fig. 4 Pressure measurements of a saddle roof model in wind tunnel

每个测点处的标准化风压系数可分为275 段，每段时长为10 min，每段可分别获取一个最大值和最小值，进而得到275 个最大值和最小值的样本。最大值和最小值样本的平均值被视为风压系数对应极大值和极小值的真实峰值因子。同时，本文分别采用275 段的原始和新四阶统计矩(均值、标准差、偏度和峰度)的均值确定JTM 参数和PJTM/PHPM 参数，其中每段的新统计矩由每段数据的经验PDF 并采用式(7)和式(8)确定。基于确定的JTM、PJTM 和PHPM，采用式(20)和式(21)即可获得风压系数峰值因子估计值。值得注意的是，在后面的分析和讨论中，假定极值估计不受采样不确定性的影响。

为评估JTM、PJTM 和PHPM 估计非高斯风压极值的效果，本文将针对PJTM 或PHPM 传递函数的四种情况选择风压案例。由于PJTM 中的SB&SU与SU&SB在本质上是一样的，因此本文选择PJTM 传递函数中的SU&SU、SU&SB和SB&SB三种情况作为分析的对象。本文分别选择0°风向角下的测点56 和32 作为SU&SU和SU&SB的案例，选择90°风向角下的测点46 作为SB&SB的案例，选择的测点已在图4(b)中用圆圈标出。

4.2 SU&SU

测点56 处记录的标准风压时程的偏度和峰度分别为-1.19 和8.17。采用数据PDF 经验值计算与极小值和极大值相关的新峰度分别为8.43 和3.47，属SU&SU型。图5 给出了基于数据确定的经验传递函数和三个模型(JTM、PJTM 和PHPM)确定的传递函数。从图5 可以看出，基于PJTM 和PHPM确定的传递函数在正尾部与经验值吻合较好，而基于JTM 确定的传递函数在正尾部偏离经验值，这主要是由于原统计矩不能较好反映目标非高斯风压PDF 的正尾部。基于JTM、PJTM 和PHPM估计的传递函数在负尾部与经验值吻合较好。

图5 测点56 处的风压系数传递函数Fig. 5 The translation functions for the wind pressure coefficient recorded at Tap 56

采用式(20)获得标准高斯风压峰值因子，进而通过式(21)获得不同模型估计的非高斯风压峰值因子，见表2 所示。其中，误差定义为：(估计值-观测值)/观测值。可以看出，三个模型对极小值的估计效果差距不大，估计误差在10%左右。基于PJTM 和PHPM 对极大值的估计效果较好，而JTM 估计效果较差，这与图5 得到的结论是相符合的。

表2 三种模型对测点56 的极值估计结果Table 2 Extreme value by three models for Tap 56

4.3 SU&SB

测点32 处记录的标准风压时程的偏度和峰度分别为-1.24 和10.11。与极小值和极大值相关的新峰度分别为10.63 和2.70，属于SU&SB型。基于数据和三个模型确定的传递函数见图6 所示。可以看出，基于PJTM 和PHPM 确定的传递函数在正尾部与观测值吻合较好，而基于JTM 确定的相应值偏离观测值，其原因与SU&SU案例相同，即原统计矩不能较好反映目标非高斯风压PDF 的正尾部。基于JTM 和PJTM 估计的传递函数在负尾部与目标值吻合较好，而PHPM 确定的传递函数在负尾部稍偏离了观测值。估计的高斯和非高斯风压的峰值因子见表3 所示。可以看出，PHPM和PJTM 对极大值和极小值的估计效果都较好，误差在5%以内。JTM 对极小值的估计效果较好，而对极大值的估计效果较差，这与图6 得到的结论是相符合的。

表3 三种模型对测点32 的极值估计结果Table 3 Extreme values by three models for Tap 32

图6 测点32 处的风压系数传递函数Fig. 6 The translation functions for the wind pressure coefficient recorded at Tap 32

4.4 SB&SB

测点46 处记录的标准风压时程的偏度和峰度分别为-0.81 和3.12。与极小值和极大值相关的新峰度分别为2.79 和2.07，属于SB&SB型。基于数据和三个模型确定的传递函数见图7 所示。从图中可以看出，基于PJTM 和PHPM 估计的传递函数在负尾部与观测值吻合较好，而JTM 确定的相应值偏离了观测值。三个模型确定的传递函数在正尾部都偏离了目标值，其中PHPM 确定的值比JTM 和PJTM 确定的值更靠近观测值。表4 列出了相应高斯和非高斯风压峰值因子估计值。可以看出，三个模型对极大值的估计误差超过10%，效果都较差。基于PJTM 和PHPM 对极小值的估计效果较好，而JTM 对极小值的估计效果较差。

图7 测点46 处的风压系数传递函数Fig. 7 The translation functions for the wind pressure coefficient recorded at Tap 46

表4 三种模型对测点46 的极值估计结果Table 4 Extreme values by three models for Tap 46

4.5 总体评估

为全面评估JTM、PJTM 和PHPM 估计非高斯风压极值的效果，本文将基于三种模型对所有测点处的风压过程进行极值估计。所有测点处的风压数据所对应的高斯风压峰值因子见图8 所示。从图8 中可以看出，风压数据对应高斯峰值因子范围为3.5～3.9。

图8 高斯风压峰值因子Fig. 8 Peak factor of the Gaussian wind pressure

基于高斯峰值因子，采用式(21)即可求得非高斯风压峰值因子，进而获得三种模型估计峰值因子的相对误差。表5 统计出了基于JTM、PJTM和PHPM 估计峰值因子相对误差的绝对值在指定误差范围内的测点数目和所占比例。可以看出，PHPM 对极小值的估计误差(绝对值)小于5%的测点数目大于JTM 和PJTM 相应的测点数目；PJTM和PHPM 对极大值的估计误差(绝对值)小于5%的测点数目远高于JTM 相应的测点数目。综合考虑极大值和极小值，JTM、PJTM 和PHPM 估计极值误差(绝对值)小于15%的百分比分别为85.8 %、95.8%和98.0%。基于此结果可知，PHPM 和PJTM的估计效果比JTM 估计效果更好。

表5 三种模型估计的峰值因子误差水平Table 5 Error level of peak factor estimated by three models

5 结论

本文首先在理论上对比了基于JTM、PJTM和PHPM 的概率密度函数和传递函数，然后采用超长风洞试验风压数据评估了三种方法估计非高斯风压峰值因子的精度。研究得出以下结论：

(1) 基于JTM、PJTM 和PHPM 估计的极值存在差距，差距大小受高斯峰值因子、峰度等因素的影响：随着高斯峰值因子的增大，差距增大；JTM 估计的极值对峰度最为敏感，PJTM 次之，PHPM 最不敏感。

(2) 对于偏度为负的非高斯风压极小值的估计，PHPM 的精度比PJTM 和JTM 稍高；对于偏度为负的非高斯风压极大值的估计，PHPM 和PJTM的精度远高于JTM，且PHPM 的精度最高。

(3) 综合来看，PHPM 和PJTM 估计非高斯风压极小值和极大值的精度整体比JTM 更好，其中PHPM 估计效果最好。