《位置》教学实录与设计意图

文|许 勇

【教学内容】

人教版五年级上册第二单元。

【教学过程】

一、创设情境，巩固旧知

图示1：6 个圆圈排成一行，其中一个圆圈里标注着“小明”字样。

问题1：五（10）班正在进行队列训练，这是小明所在的小组。你能说说小明的位置吗？

生：小明在左数第4 个位置上。

生：小明在右数第3 个位置上。

图示2：6 个圆圈排成一列，其中一个圆圈里标注着“小明”字样。

问题2：现在小明所在的小组排成了一列，谁来说说小明的位置。

生：小明在从前数第4 个位置上。

生：小明在从后数第3 个位置上。

师：无论小明所在的小组站成一行还是一列，看来大家都能准确地描述出小明的位置。

【设计意图：本环节通过创设“小明的位置”的情境，让学生体会在一维空间里，用行或列中一个因素就能确定物体的位置，渗透在数行或列时可以有两个方向的表示方法。既巩固了旧知，又为在平面内确定物体位置和引发认知冲突做好准备。】

二、引出新课，激发认知冲突

1.准确描述物体位置。

图示3：4×6 的方阵，其中一个圆圈里标注着“小明”两字。

问题3：大家看，现在小明已经站到了整个方阵中。你还能描述出小明的位置吗？

生：小明在第2 行第4 列。

生：我觉得她说得不准确，应该说小明在从上往下第2 行，从左往右第4 列。

师：我们在描述小明位置时，首先就要准确无误。大家看看，还可以怎么描述小明的位置呢？

生：也可以说小明在从下往上第3 行，从右往左第3 列。

生：还可以说小明在从上往下第2 行，从右往左第3 列。或者从下往上第3 行，从左往右第4 列。

生：我觉得也可以先说小明在哪一列，再说在哪一行。比如小明在从左往右第4 列，从上往下第2 行等等。

师：看来，除第一位同学外，其他同学都能准确地描述出小明的位置。不过，除了准确，数学还追求一种简洁美。你能用简洁的方式表示小明的位置吗？

2.简化表示方法。

生：我之前有预习过，我们可以用数对表示。也就是用一个小括号将行数和列数括起来，中间用逗号隔开。

生：这个方法真好。看来小明的位置就可以简洁地表示成（2，4）了。

生：也可以表示成（3，3）、（2，3）、（4，2）等。

生：不对，如果小明一个人既可以用（2，4）表示，也可以用（4，2）等多种方法表示，那么，不认识小明的人怎么知道到底哪个是小明呢？

3.形成正确表示方法。

师：大家觉得呢？

生：我同意，这个方法虽然简单，但是根据一个数对，我们无法准确地找到小明的位置。

师：怎样才能既准确又简洁呢？

生：我建议统一规定前面那个数表示第几行，后面那个数表示第几列。

生：我觉得还要规定：行从上往下数，列从左往右数。

师：其实，刚才大家经历了数学家们在平面内确定物体位置的研讨过程。为了准确简洁地使用数对来表示平面内物体的位置，数学家们约定了两个顺序：第一，行数和列数的顺序。行从下往上数，列从左往右数。第二，数对表示顺序。用数对表示物体位置时，先列数后行数。

生：有了这个规定，小明的位置就只能用数对（4，3）来表示。

问题4：数对（4，3）和数对（3，4）表示的位置相同吗？

生：数对（4，3）表示第4 列第3行的小明，这是两个不同的位置。

生：看来数对里的两个数是有顺序的，不能随便调换。

师：正如这位同学所说，数对是有顺序的，先列后行，不能随意调换。并且小明的位置只能用唯一的数对（4，3）表示，数对（4，3）对应的就是小明，这是一种一一对应关系。

【设计意图：本环节从在方阵中描述小明的位置开始，让学生经历准确描述、简化表示方法、约定顺序到最终形成用数对来表示平面内物体位置的正确方法的过程，旨在加深学生对数对有序性及对应关系的理解。】

三、对比总结，加深理解

1.对比一维空间与二维空间。

问题5：对比前后两个不同场景里描述小明位置的方法，你有什么发现？

生：当小明站在一行或一列时，只用一个数就可以表示，并且从两个方向数都可以，但是当小明站在方阵中时，必须用两个数来表示，并且行和列的顺序还有固定的要求。

师：的确，在一维空间只需用一个参数就可以确定物体位置，而二维空间确定物体位置时，需要列和行两个参数决定，并且先列后行。只要记住了这一点，位置问题就不是问题，就可以“纵横天下”了。

生：纵横天下这个成语用得真好，帮我们总结了数对的顺序，我是不会出错了。

2.对比数学理论与生活实例。

问题6：数学上，我们用数对来表示平面内物体的位置时，有先列后行的数学约定。其实生活中，也有很多运用数对来确定位置的例子。大家知道吗？

生：国际象棋就是运用数对来确定棋子位置的。

生：电影院也是这样来确定座位的。

生：不是，电影院是按照第几排第几号来确定位置的，是先行后列。

师：为什么电影院不按照先列后行的顺序来确定位置，却要按照先行后列的顺序呢？

生：因为我们去电影院是先走到第几排，再走到第几号，所以先行后列。如果先列后行的话，那只能学刘翔跨栏了。

【设计意图：本环节安排了两个对比。第一个对比是空间的对比，展现出确定物体位置从一维到二维再到三维的知识发展变化和趋势，体现数学的科学性和发展性；第二个对比是理论与实践的对比，反映生活实例既不脱离数学理论又不是刻板地运用数学理论，而是实践过程中人们在数学理论的支撑下灵活加以运用，体现人的主观能动性和创造性。】

四、课堂练习，拓展提高

用数对表示其他同学的位置。