“数学语言”的教学：意蕴与实施

文|莫广荣

《义务教育数学课程标准（2022年版）》将“会用数学的语言表达现实世界”确立为学生核心素养的一个方面。“数学语言”逐渐成为数学教育研究中的高频词。数学语言是数学阅读、数学表达以及数学交流的工具。不止于数学领域，现代社会方方面面都广泛使用数学语言，数学语言能力已经成为人的必备素养之一。尽管先前的高中数学课程标准已经引入了“数学语言”概念，教育理论及实践围绕“数学语言”业已展开了零星的研究，但对数学语言的内涵、心理机制、教学价值及其教学策略的认识仍很模糊。本文将对这几个方面做进一步探索，以期相关的研究能深入下去、立体起来。

一、数学语言的内涵及其心理机制

（一）数学语言的内涵。

数学语言是由数学符号、图表以及加工之后的日常语言组成的用来表达数学思维、数学思想的专门语言。数学语言是抽象、准确、简约、形式化之下的概念、公式、符号、图形、图表的结合体，是描述与交流现实世界的表达方式。从基本构成要素上看，数学语言由词素、单词、词组、句子、句群组成。从承载对象看，数学语言分为：文字语言，它是在日常语言的基础上形成的语言，是对日常语言的加工与改造、限定与精确化；符号语言，即以数学符号形式出现的语言，简明、抽象；图表语言，它以图形、图表的形式呈现，一般还配以文字说明，直观、形象。数学语言常以这三类语言融合的形式整体出现在我们的面前。

（二）数学语言的心理机制。

第一，输入阶段的数学语言。此阶段，主体接触语言符号并将其中与数学相关的重要信息从背景中提取出来，选择性地对重点内容保持敏感，比如，对文字、符号、图表理解辨析，对复合语义拆分、理解、组合，初步理解命题含义。此阶段的理解常常是句法分析先于整体的语义理解，即先深入到语言材料中，弄清关系，明确结构。如“a 的3 倍相当于b”与“a 相当于b 的3 倍”，两句话中的词语完全相同，但两句话的内部构造不同，句法结构让同样的词语在不同的“系统安排”下产生出不同的意思。输入阶段的数学语言理解是基于结构关系的语义理解和整体理解。

第二，转换阶段的数学语言。这是深度理解语义的阶段。即在不同形式的数学语言之间，数学语言与日常语言之间，同一种数学语言内部各种表征形式之间进行互译。在这个阶段，内部语言异常活跃，我们有必要认识内部语言的活动机理。维果茨基研究发现，内部语言是在内部思维、外部语言之间迂回的功能强大的活动语言。内部语言有自己独立的功能和形式，这种功能和形式的要义不在于将内部语言陈述出来进行交流，而在于促进思维。内部语言倾向于用语义，而不是用明确的词、句去思维，因此它是一种语法独特的准语言。这就导致内部语言转换为外部语言并不像复制、粘贴那样简单。

第三，输出阶段的数学语言。内部语言是跳跃的、经验的语言，往往只有属己意义。在转换为逻辑化、简约化、规则化的外部语言前必须进行再加工。再加工不可避免地要面向现实，主要表现为，一方面是对数学语言共同体中的语言基本规范的遵循；另一方面要符合数学语言的抽象、准确、简约、形式化要求。因此，内部语言转化为外部语言必须经历深加工的过程，以符合外化的条件和需要。

输入、转换和输出阶段的数学语言，其本质上都表现为一种数学语言向另一种数学语言的转换（见图1）。其中，输入阶段是把外在的数学语言向主体认知结构中自我能理解的语言转换的过程，输出阶段是将自我的认知、思维过程进行整理，以转换成符合言语规范要求的外在语言形式。因此，数学语言的心理过程的核心是“转换”。

图1 数学语言的教学框架

数学语言的心理过程及其核心为数学语言教学提供了内在机制参考，使得在学校层面通过教学途径发展学生的数学语言能力有了依据。

二、数学语言的教学价值

（一）承载语言教育，促进数学课程内涵的提升。

思维是数学的主要标识。思维的发展需要语言的同步发展来支撑。因此，数学语言的教学势在必行。学习数学面临的是语言发展和思维发展双重任务。从思维到语言和从语言到思维，语言与思维在相互的连续往复运动中彼此都有了新的发展变化。当年，斯托利亚尔甚至提出“数学教学就是数学语言的教学”的论断，欧内斯特则把对话当做数学的一个隐喻，认为数学语言建设与数学思想、数学精神同等重要。一言以蔽之，历史上的数学包含其语言本身。核心素养时代，我们不仅要在数学课程的全链条中进一步明晰数学语言的重要地位，赋予其更为具体的教学内容，更要增大直面数学语言开展活动的比例，让数学语言成为学生学习与训练、实践与运用的直接对象，助力数学语言从理念课程向实践课程转型。

（二）复活语用实践，促进教师教学方法的优化。

绝大多数教师认为语言教学是文科老师的事，几乎没有数学教师进行数学语言和数学表述教学法研究。受此影响，数学教学的方法总是囿于学科之内探路、寻变。迄今为止，数学与其他学科间的血脉仍然处于割裂状态，学生的学习世界因学科而分离成条块，且边界分明。片面强化学科素养、弱化整体素养的现象愈演愈烈。鉴于此，推进课程整合，倡导跨学科素养培养，成为我国当代基础教育改革的必然趋势。从语言学习需要看，语言是人们工作、学习、生活中不可或缺的工具，学生语言素养不可一味地瑟缩在语文等少数几门文科的光照之下，而应开动全学科体验的引擎。数学教学要从自身性质出发，妥善处理数学语言应用带动数学眼光、数学思维应用的关系，打造以数学语言教学为特色的“学科衍射”“学科互动”式课堂。要鼓励教师向全科教师方向迈进，教师教数学要遵循生活语言、准数学语言、数学语言的导向路径与渐进原则。数学教学法的研究要覆盖到数学语言教学方面，而不能仅仅满足于学生懂算理、明方法、会思考。

（三）涵泳语言习得，促进学生关键能力的形成。

国际学生评估项目（PISA）2000～2012 数学框架中的关键能力共由8 项内容组成，“陈述技能（陈述）”“交流技能（交流）”就占据了8 项中的2 项。再后来，PISA2021 数学框架从既往关键能力中选出新的8 项组成了“21 世纪技能”，同样包括“交流”技能。数学交流就是使用数学语言、数学方法进行各类数学活动的动态过程，是以数学语言（文字语言、符号语言、图表语言）为主的活动。数学语言能力已经成为学生交流能力中不可或缺的部分。记叙文语言的“求真”，议论文语言“求证”，说明文语言“求实”，等等，可以看作语文学科中的语言要求；文字语言的直接、符号语言的形式化、图表语言的直观，这些应是数学语言能力的朝向。数学教学是为了培养适应未来社会需要的人，学科育人思想呼唤学生数学语言能力的训练与发展，数学学科应为培养学生的数学语用能力尽责。

三、数学语言教学的策略

只要学数学，从小学到大学，都会涉及数学语言方面的问题，只是符号化的层次要求不同，抽象度不同。课堂是培养学生数学语言能力的主阵地。《义务教育数学课程标准（2022年版）》中有关学生数学语言能力的要求是：能描述数量关系和空间形式；能构建模型，表达和解决问题；能理解数据的意义与价值，通过数据分析合理判断或决策；帮助学生养成表达交流能力。历经二十多年的教学实践，笔者得出，面向数学语言的教学策略需从以下两个方面入手。

（一）依托“说”为轴心的数学语言教学框架展开训练，释放结构性能效。

能用数学语言表述是衡量学生对数学知识理解的标志。“说数学”除了能让学生增长专业知识、发展专业技能、获得专业思想方法之外，还承载着数学语言教学的功能。

第一，加强“说”的本体建设。笔者尝试研制了“说”为轴心的数学语言教学框架，内含“说点”“说理”“说题”三个贯通的环节（见图1）。首先，撷取“说点”为语言学习提供载体。“说点”一般是一节课的重点或难点所在，可能是纵向追踪中的某一个知识点，可能是横向上知识点与知识点之间在数学方法、数学思想层面上的某种一致性，也可能是基于某个切口的发散点，等等。教师可以凭借教学经验把握“说点”，也可以从即时课堂专业觉察中挖掘“说点”，还可以从课堂前测中发现“说点”。其次，通过“说理”点化语言。“说理”是基于“说点”的语言靶向活动，换言之，这个过程不是只讲数学道理，还应帮助学生从“一般表述”向“精准表述”渐进与跃迁，要用数学语言的逻辑性、层次性、简约化等要求对学生的语言进行干预。展示→比较→优化、示范→模仿→再创造，是引领学生数学语言走向成熟的有效路径。最后，在“说题”中形成数学语言能力。课堂上，作为数学语言学习机会的“说理”，会因“说点”相同而形成“说”的技术性模仿局面。因此，有必要引入“说题”作为语言训练的必要补充。“说题”即学生扮演教师角色讲述问题解决的过程。其路径为：自我默思→题意表征→解题陈述→评价反思。问题解决的过程就是数学语言的转换过程，学生的数学语言能力大多时候是在问题解决中形成的。

第二，加强“说”的条件建设。作为与“说”关系紧密的因子，“听”“想”“写”“读”在数学语言教学中发挥着重要的作用。首先，“听”能催生出“说”的针对性。数学对话是以“听”为先导的艺术，听是饱含尊重、专注、耐心、理解的行动，高质量的倾听是高质量对话的前提，培养学生的倾听能力是发展其数学语言能力的先决条件。其次，“想”能催生出“说”的深刻性。“想”既包含“数学地思维”，还包括“用怎样的表达形式更妥帖”，亦即调遣的字、词、句要与表达的思想保持高度一致。高品质的“想”就是数学理解力、思维力与语言建构能力的协同发展。再次，“写”能催生出“说”的条理性。条理性指做事有逻辑思维，有步骤、有规矩、不混乱的性质。大多时候，口语化的数学语言过分强调达意功能而缺乏语言成本意识。具体表现为，只求说清楚道理与解题思路而不考虑所用词素、单词、词组、句子的多少以及它们相互间的结构关系。如果经常提供机会让学生将数学阐释“写”出来，那推敲斟酌、谋篇布局等数学语言教学就有了看得见的机会。最后，“读”能催生出“说”的规范性。发展学生核心素养倡导数学阅读，目前，数学阅读的指导大多指向于概念、规则、定律的理解与应用，也不乏向数学思维、数学思想、理性精神等方面开掘的例子，还有的指导深及情感、态度、价值观层面，但针对知识结构表层的字、词、句、段、篇的指导十分罕见。“读”除却具有与“听”类似的输入功能之外，还蕴藏着语言的积累与建构，这是由书面语言的规范性特质所决定的。从这个角度看，“读”伴随着语言的模仿与习得，对于“说”而言，“读”有着匡正扶持的意义。

（二）构筑数学语言教学框架的支柱，释放支持性能效。

上述中的数学语言教学框架需要话语模式和话语环境两大支柱。前者是技术支持，后者是情感支持。

话语模式是指教师、学生在交往中为达成数学的语言训练功能与意图而使用的规律性的语言策略和话语逻辑。包括教师话语模式和学生话语模式两个方面。从数学语言教学的视角审视当下课堂，我们发现，优秀教师都是应用话语模式的高手，在他们的语言感召下，学生个个想说，且说的内容丰富，在教师话语模式的指引、调整之下，学生总是说得愈发得体、到位，学生语言能力的拔节生长看得见。如，“关于这个问题，谁有想法了？”提醒学生说出完整的思考过程而非仅仅说答案；“看了这样的解题过程，谁明白其中的意思？”意在让学生转译现有解题方法；“课堂上如果只有一种答案，那多单调啊”，鼓励学生批判、反驳；“用‘先……再……最后……’的形式重说一遍解题思路，你的发言会更精彩”，强调表达的逻辑结构及层次顺序；“这几种解答方法之间有什么联系？有什么不同？”呼唤哲学思辨式的分析、评价语言。优秀教师除了有自己的话语模式之外，还会帮助学生养成他们的话语模式。包括合作讨论阶段的话语模式、小组汇报阶段的话语模式、全班交流阶段的话语模式。如合作交流时用“我发现……我知道……”陈述己见；用“我不明白的是……”寻求帮助；用“听了你的发言我还想问的是……”展开追问；用“不要告诉我方法和答案，让我再想想”表达独立思考的愿望，等等。学生对这些话语模式驾轻就熟后，序列化调用就会形成言语实践的支架，指引语言实践的进阶。

学习不只是一个认知、思维的过程，还是一个情意的过程，一个社会化的过程。一切语言教学都以学生想说、爱说为基础，数学语言教学也不例外。数学语言教学需创设尊重、信任、民主、宽松、温馨的对话环境。需要特别强调的是，数学语言的心理过程其核心是转换，其本质是建模，教师要深刻认识作为学习参与的课堂沉默的必要性，它是学生话语形式的另一种呈现，是学生的隐性权力和技术运用。鉴于此，数学语言教学不能把消除沉默作为追求，而应潜入学生的内心世界，理解沉默话语，助推学生的数学语言能力的发展。