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对一道二元方程条件下最值试题的探究

2022-08-30张志刚

数理化解题研究 2022年22期
关键词:拉格朗乘数约束条件

张志刚

(山东省宁阳县复圣中学 271400)

1 试题呈现

本题是二元方程约束条件下的二元函数最值问题,试题设计简洁清新,构思别具匠心,解法灵动多变,饱含数学思想,凝聚命题专家的智慧.同时,试题涉及知识点较多,综合性较强,呈现出一定的综合性与选拔性,需要较高的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.

2 初等解法

在高中阶段,解决此类问题可从方程有解、函数最值(三角代换或导数)、不等式(如基本不等式、柯西不等式等)等视角解答.其中,消参减元转化是解题的基本原则,即把双变量问题转化为一元函数或方程问题,再辅以转化与化归、函数与方程、分类讨论、换元法、配方法等典型数学思想和方法,妙趣横生.

2.1 利用基本不等式

解法1因为a>0,b>0,ab=1,

2.2 借助消参减元,转化为一元函数最值问题

解法2因为a>0,b>0,所以a+b>0.

令f′(t)=0,得t=4.

当0

当t>4时,f′(t)>0,f(t)单调递增,

所以当t=4时,f(t)取得极小值f(4)=4.

2.3 利用二次方程有实数解,判别式大于等于零

解法5因为a>0,b>0,所以a+b>0.

3 命制背景

本题命制的背景是拉格朗日乘数法求极值问题.其基本原理是:设给定二元函数z=f(x,y)和附加条件φ(x,y)=0,为寻找z=f(x,y)在附加条件下的极值点,先构造拉格朗日函数L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),其中λ为参数,求L(x,y)对x,y的一阶偏导数,令它们等于零,并与附加条件联立,即

由上述方程组解出x,y及λ,如此求得的点(x,y)即是函数z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点.若这样的点只有一个,可确定此点即为所求的点.

其几何意义是:设给定目标函数为f(x,y),约束条件是φ(x,y)=0.如图1示,曲线L为约束条件φ(x,y)=0,f(x,y)=C为目标函数的等值线族.在f(x,y),φ(x,y)偏导数都连续的条件下,目标函数f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的可能极值点M(x0,y0)必是目标函数等值线族中与约束条件曲线的切点.

图1

拉格朗日乘数法的优点有二:一是把目标函数和等式约束统一到一个拉格朗日函数中;二是将条件极值问题转化为无条件极值问题,即通过引入拉格朗日乘数将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有n+k个变量的无约束优化问题.另外,L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y),其中φ(x,y)=0,求z=f(x,y)的极值点就是求L(x,y)的极值点,两者的极值是等价的,且与λ无关.

应用拉格朗日乘数法本题解答如下:

由于a>0,b>0,且ab=1,令

4 变式研究

4.1 置换结论

解析利用基本不等式易求得变式1-4的答案分别是:5,5,17,17.

4.2 变更条件

4.3 交换条件结论

所以ab的最小值为1.

5 推广探究

证明由于a1>0,a2>0,…,an>0,且a1a2a3·…·an=1,则

由已知条件及基本不等式,得

显然,当n=2时,推广3即特殊化为2020年高考天津卷第14题;当n=3时,推广3即特殊化为推广2.与上述推广中的代数式结构特征类似,我们联想到以下的不等式:

推广3已知a>0,b>0,c>0,且abc=1,则

证明留给读者完成.

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