无差异曲线视角下线上教学与线下教学引发的启示与思考<br/>——以中学数学为例

无差异曲线视角下线上教学与线下教学引发的启示与思考
——以中学数学为例

2022-08-30吴梓俊熊海金黎燕琪覃丽英杨立英

大学教育 2022年6期

吴梓俊熊海金黎燕琪覃丽英杨立英

南宁师范大学数学与统计学院，广西南宁 530100

引言

自进入21世纪以来，信息化的时代浪潮对教育产生了不断的冲击，逐渐涌现出各种新的教育理念、教育要求、教学方法等。一场突如其来的疫情，使得线上教学的地位急剧提升，正式进入了大众的视野。线上教学是对传统教学冲击较大的一种新兴教学模式，探讨思考线上教学与线下教学存在的问题，不仅是《中国教育现代化2035》的要求，同时也是对我国教育的一次推进。

一、文献综述

（一）国内相关研究

如图1 所示近几年，我国对线上教学和线下教学的研究文献逐渐增加，从2017 年、2018 年仅有1 篇，2019年仅有2 篇，到2020 年激增至26 篇，2021 年到目前为止共有23 篇。

如图2 所示，在核心期刊发表的与线上教学相关的研究文献在2020 年激增至68 篇，张江慧基于SPOC 模式研究了线上教学与线下教学互动机制在汉语言文学中的应用，认为其在教学中有很强的可执行性与可操作性。王秀巧、张智慧等学者指出线上教学充分填补了传统的C 语言教学中学生实践经验的空白，调动了学生的积极性，转变了以教师讲授为主要方式的枯燥冗长的教学方式。李波认为线上和线下的双师教学已成为一种有效的教学模式。潘莉、唐徐韵、彭科志、杨孝芳等人指出线上教学+线下自我实践的混合教学模式，取得了良好的效果。肇慧、范广慧、张宏蕃、王晓丹等人认为当下教师的责任中，更大一部分应该是在线下引导学生运用所学的知识去解决知识，以此实现教学最优化和学生学习收益最大化。孙世娟以教育生态学为基础，探索研究了“线上+线下”英语课程教学的新模式及其可操作性。李娜通过实验对比研究了线上教学与线下教学的学习效果。

（二）国外相关研究

2008 年加拿大学者戴夫·科米尔（Dave cormier）与布莱恩·亚历山大（Bryan Alexander）提出大规模开放在线课程（MOOC），其身具开放、大规模、及时性等诸多特点，在当时受到广泛的关注和推崇。

2013 年加州教师福克斯教授提出小规模限制性在线课程（SPOC），旨在实现MOOC 与传统课堂教学有机融合，以弥补MOOC 因其“大规模、无限制”的特点产生的缺陷。

Andreas等从概念、发展历史和分类等角度对MOOC 和SPOC 进行了分析对比，从学生和教师的两个维度讨论并提出了相应的教学框架，总结了远程教育的优点。

二、概念界定

（一）线上教学及线下教学的定义

丁兴富认为远程教学可以分为广义和狭义两种，广义的远程教学指的是基于网络教学资源或是视频实时互动的教学方式，狭义的远程教学则可以理解为线上的机构教学。顾丽爱认为线上教学是以网络作为教学载体，教学活动发生在网上的一种教学方式。

基于上述学者对于远程教学和线上教学的定义和理解，本文认为远程教学在当下可以等同于线上教学。基于作者的认知和学者们的研究，本文给出线上教学的概括性定义：线上教学指的是一种基于互联网，以电子设备、各类在线教育平台及APP 为主要途径的，摆脱了时间和空间限制的一种教学方式。

由于线上教学的出现，传统教学正式有了“线下教学”之称。本文所认为的线下教学指的是学生、教师在固定时间集中在固定地点进行面对面授课的一种教学方式，其包括但不限于运用多媒体、多功能教室等教学手段进行授课的形式。

（二）常态偏好的无差异曲线的定义

无差异曲线是微观经济学下的消费者理论中用以表示消费者对两种商品偏好的一种几何模型。无差异曲线有无数条，均向右下方倾斜且任意两条无差异曲线均不会相交。无差异曲线共有三种状态：完全替代品、完全互补品以及常态偏好。

如图3所示，若两种商品为完全替代品，则无差别曲线为一条直线段，表示两者之间只有替代性，没有互补性。

例如对于某品牌的玻璃杯A，假设消费者仅需要一个玻璃杯，则若购买玻璃杯A势必导致不购买玻璃杯B，故二者之间呈下降的直线段。

如图4所示，若两商品为完全互补品，则无差别曲线呈“L”型。例如对于鞋子，必须成对才有意义，此时的左脚鞋和右脚鞋为完全互补品，任何一方的单独增加都没有意义，不会对另外一方的数量造成任何影响，故此时的无差异曲线呈“L”型。

如图5 所示，常态偏好下的无差别曲线介于完全替代品和完全互补品两种状态之间。

其表示两种商品之间既具有一定的替代性，也具有一定的互补性。从图像中可以清楚地观察到：无差异曲线越陡峭，两种商品间的互补性越强；无差异曲线越平缓，两种商品间的替代性越强。

对于本文所讨论的线上教学与线下教学，显而易见其不仅具有一定的替代性，而且具有一定的互补性，故以常态偏好下的无差异曲线对线上教学与线下教学进行讨论是具有合理性的。

三、常态偏好无差异曲线对线上教学与线下教学的启迪与思考

疫情让线上教学展示出了它独有的、区别于传统线下教学的灵活性、普及性等优点，不可避免地成为当下主流的教学方式之一。线上教学和线下教学如同两种“商品”，它们之间不仅具有替代性而且具有互补性。结合当今社会信息化发展的特点，“线上+线下”的教学方式已经是历史的必然选择。

无差异曲线无限趋近于两坐标轴却永不相交的图像特点（即线上教学和线下教学都不会消失），恰好印证了线上教学与线下教学之间相辅相成、密不可分、相互成就的既替代又互补的关系，接下来就两者的替代性和互补性两个方面展开本文的讨论与思考。

（一）无差异曲线下线上教学与线下教学的替代性关系

线上教学和线下教学的替代性关系呈现为：在保证既定教学效果的前提下，当一方因故出现增加（或减少）时，另一方会出现相对应的减少（或增加）。以下本文将讨论三种情况下二者的替代性关系。

1.线下教学比例＞线上教学比例时的替代性分析

此种情形亦可理解为当下的中学数学教学的情况。如图6 所示为某一既定教学效果下，线上教学与线下教学的无差异曲线。在曲线上取一点，其意义为：以的线下教学和的线上教学可以达到该既定的教学效果。

此时若由于某种原因，线上教学必须减少，为达到既定的教学效果，则需要增加线下教学，这一过程在无差异曲线中反映为→的变化过程。通过图像可以明显发现，在这一过程中△=-要大于△=-，即需要较大程度地增加线下教学的比例以替代较少减少了的线上教学。这一现象的产生，是由于线下教学居多的教学方式，在长期的教学过程中逐渐暴露出一些缺陷：学生对于年复一年的线下教学产生疲惫、有限的课堂时间难以实现对学生和各个教学内容的针对性突破以及固定的教学地点、手段等对学生的吸引力大大降低等方面问题。因此，线下教学只能通过较大的“量”的增多，来达到线上教学较少的“量”的减少。

若此时由于某种原因，线下教学必须减少，为达到既定的教学效果，则需要增加线上教学，这一过程可以反映为无差异曲线上→的变化过程。经由图像，发现在变化过程中要△=-＜△=-，即只需要较小的程度的增加线上教学的比例，即可达到替代较大程度减少的线下教学的效果。导致这一现象产生的原因，是当下线下教学比例居多，使得线下教学缺陷的暴露逐渐突出和明显。而线上教学有其独特的四点优势：一是线上教学的普及面广，对于同一个教学内容，不限制学习的人数、学段、时间，且可以重复学习；二是线上教学的性价比高，通过较少的花费和资源就可以实现大范围的优质教学；三是针对性强，能够对上课无法过多强调的知识点和教学内容做出针对性的补充和强化训练；四是能够最大程度发挥教师的主导地位，展现教师的启发和引导作用，充分发挥学生的主体性和创新性。正是这样一些顺应时代的特点，使其能较好地达到既定的教学效果。同时“物以稀为贵”，学生、教师、学校以及社会对于教学方式的求变渴望，也大大提升了线上教学的价值和效果。

对比两种情况不难得到一些启示与思考：在眼下的中学数学教学中，虽然传统的线下教学方式仍居于主导地位，但线上教学以其诸多顺应时代潮流的先天性优势，已不可避免地跻身进主流的教学方式当中。根据常态偏好无差异曲线的指导，在当下以线下教学为主导的中学数学教学中，只需要少量地引入线上教学，即可在保证既定教学效果的情况下，大大减缓线下教学的压力。

2.线下教学比例＜线上教学比例时的替代性分析

此情形亦可理解为疫情期间的中学数学教学。若此时由于某种原因，需要在维持既定教学效果的情况下，减少线上教学，此时就必须通过增加线下教学来实现。如图7 所示，对应为无差别曲线上→的变化过程。经由图像可以得到，在这一过程中△=-，要大于△=-，即较大程度减少的线上教学只需要较小程度地增加线下教学，即可达到既定的教学效果。在疫情得到有效控制后，这一现象发生得极为普遍。究其原因，是由于线下教学虽然传统但也有其无可取代的几个优越性：一是教师能切实有效地做到对学生和课堂进度的实时监控，能够充分地保障学生的课堂学习效率和课程的教学进度；二是线下教学给予学生更多实践操作的可能性和空间，教师能够及时对学生的实践予以指导，强化学生将“所学”转化为“所用”的能力；三是教师能及时地接收到学生的反馈，并做出相对应的调控和回应；四是契合了当下强调的“学生中心”，把网络从教师的“工具”真正转变成学生的“学具”。故此会出现→的一种变化情况。

此时若由于某种原因，需要在维持既定教学效果的情况下，减少线下教学的比例，则必须增加线上教学的比例，亦可理解为疫情出现反弹时，中学数学的教学情况。如图7 所示，对应→的过程，从曲线上可以明显观察到△=-要小于△=-，即较小程度减少的线下教学需要较大程度地增加线上教学，才能达到既定的教学效果。究其原因，是因为大量或长期的线上教学也具有其不可避免的缺陷：一是线上数学教学难以做到对学生的及时监督和监管。教师和学生地域不同，若不是实时视频教学，甚至时间也不同，很难做到切实有效的管理，这时对于自控能力较差的学生就可能出现线上教学的效果大打折扣的情况；二是线上数学教学失去了传统线下教学中很重要的一个环节：教师的教学“灵感”。数学课堂上师生间的交流、思想的碰撞，不仅让学生，更是让教师会经常迸发出新的灵感。这不仅体现了“教学相长”的教学原理，更是说明了数学就是在一次次的灵感迸发中不断前进的；三是线上教学的课堂活动多为控制型活动，大部分以教师为主导，学生的实践和操作程度大大降低，从而使得教学效果出现弱化的情况。因而会出现无差异曲线上→的一个变化情形。

3.线下教学比例≈线上教学比例时的替代性分析

当线上教学和线下教学基本持平时，即如图8 中点附近的位置，

此时可以明显地发现，点处于三种状态下无差异曲线的相切位置。即表示在点的附近线上教学和线下教学可近似看成一组“完全替代品”亦或是“完全互补品”。其代表线上教学和线下教学在此种状态下既互相替代又互相弥补，线上教学和线下教学实现了有机融合，达到一种“调和”。此时的线上教学和线下教学就有了充足的“弹性”，一方的增加或减少，只需要另一方相同程度的增加和减少即可重新达到“平衡”（达到既定的教学效果），为整个教学留下了充分的调整空间，可以有效地应对突发情况，如疫情的反弹和新一轮疫情的暴发等。

（二）无差异曲线下线上教学与线下教学的互补性关系

线上教学与线下教学的互补性关呈现为：任意一方教学效果的增加，即可使得总的教学效果增加。

无差异曲线是一族互相平行的曲线，其越靠近右上方，表示商品交换的满意程度越高。而对应于此，教学效果无差异曲线越趋向于右上方，表示教学效果越好。即如图9所示，曲线2的教学效果要优于曲线1。

根据无差异曲线的指引，从图9 我们可以很清晰地得出将曲线1 提升至曲线2 的两种方法：一是使得点移动到点，二则是使得点移动到点。

对于第一种方法，观察无差异曲线上→的过程，线下教学的教学效果维持不变，而线上教学需要从提升至。因此第一种方法为提升线上教学的教学质量。

对于第二种方法，观察无差异曲线上→的过程，线上教学的教学效果维持不变，而线下教学需要从提升至。因此第二种方法为提升线下教学的教学质量。

四、措施及途径

基于上述对线上教学和线下教学替代性与互补性的分析，本文将从下述两个方面提出当下提高中学数学教学效果的路径。

（一）中学数学线下教学效果提升的实现路径

中学数学课堂随着多年的教学，基本形式已经稳定，若要提升其教学效果，应将注意力集中在“新事物”、“新概念”与中学数学课堂的融合上。

一是重视数学史与数学文化融入数学课堂，提高学生的学习兴趣。既要鼓励支持中学数学教师在教学中尝试数学史与数学文化的融入，更要切实做到提高中学数学教师的数学文化素养和数学文化的应用意识。

二是强化中学数学教师使用多媒体、几何画板等软件辅助教学的意识，提高数学教师使用现代化教学手段的能力，用形象化、具体化的方式呈现给学生。

三是提高中学数学教师的素质，亦可认为是提高教学效果最根本的方式。对中学数学教师进行定期培训，组织中学数学教师定期进行反思讨论，以改进其教学的方式、方法，革新旧观念。

（二）中学数学线上教学效果提升的实现路径

要想提升线上教学的教学效果，最重要的是要正视线上教学在当下中学数学教学中的地位。线上教学不是疫情的“衍生物”，而是顺应时代发展必定会出现的“新事物”。疫情仅仅只是相当于一种催化剂，加速了线上教学进入中学数学的进程。

摆正了线上教学的地位之后，应有针对性地突破本文提及的线上教学所面临的困难，本文从下述四个方面提出实现的路径。

一是加强线上教学的管理。主要分为两个方面：完善教学质量的管理和加强对教师的管理。教学质量直接与教学效果挂钩，因此要做好对教学过程、学生的学习和反馈，以及整体教学质量的监控评价。教师的管理关系到线上教学的实施，建议成立专门的监管组，由一位专家领导组织，建立联系方式，主要负责教师间的讨论分享、软件操作、线上技能的培训、教师意见的收集反馈和解决教师的问题，等等。

二是确保线上教学内容的合理性。线上教学也需要教师进行备课，且往往需要做出不同于以往线下教学的备课内容。故在线上教学实施之前，教师应充分考虑学生需求，以学生为中心，确定好教学目标。同时对于教学内容也要作出相应的调整，线上教学应保证“自学+讲授”的形式，不能整节课由学生自学，也不能整节课都是教师“满堂灌”。

三是合理规划、使用、调配各类线上资源，并及时丰富更新线上资源。线上教学最大的优势就在于教学资源来源的广泛性和多样性，有各类的线上图书馆、视频、教学案例、课件和教案，等等。我们应充分利用这一优势，发展多种方式的线上教学，选取实用、易学的教学资源。同时，线上教学最忌“闭门造车”，应博采众长，重视多校交流协作，共同进步。

四是做好线上教学的评价工作。无论是教学内容、教学效果还是课程、教学硬件等各个方面都要做好评价工作，做到“全方面评价”。上至学校领导，下至教师、学生、普通员工都要参与评价，同时也都需要被评价，做到“全员评价”。抓住“两个全面”，完善线上教学的教学评价体系，以评促改，以改提效，实现线上教学效果的切实提升。