2022年高考数学全国乙卷理科第20题的解法探究与背景溯源

安徽省马鞍山市第二中学 卢建军 高莹（邮编：243000）

解析几何是高中数学的重点内容，也是高考考查的难点、热点内容.有关解析几何中的定值定点问题是常考方向之一，往往有着深刻的几何背景.本文以2022年高考数学全国乙卷的解析几何解答题为例，进行解法探究与背景溯源.

1 真题呈现

2022年高考全国乙卷理科数学第20题，同文科第21题如下：

已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点.

（1）求E的方程；

（2）设过点P(1,-2)的直线交E于M、N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，证明：直线HN过定 点.

2 试题分析

本题第（1）小问是常规问题，考查过A、B两点的椭圆标准方程，其中点A还是椭圆的顶点，学生在设椭圆的标准方程时需考虑该椭圆是焦点在x轴上的椭圆还是焦点在y轴上的椭圆，不能盲目地认为点A(0,-2)在椭圆上就得到椭圆的b=2，比较优选的做法是可以直接设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m、n>0,m≠n)，再将点A、B分别代入，解二元一次方程组得到m=求出E的方程为

第（2）小问是本题的重点也是难点，由图形可知，直线PA、PB均为切线，且A、B均为切点.直线MN的特殊位置可能是以下几种：①直线MN退化为直线PA，此时点M和点N均为点A；②直线MN退化为直线PB，此时点M和点N均为点B；③直线MN斜率不存在；④直线MN经过点O，此时点M与点N关于点O中心对称.由此几种特殊情况不难猜测此时的直线HN所过定点应当是点A或点B中其一，再结合当直线MN斜率不存在时分析得此定点为点A(0,-2).

图1 （一般情形）

图2 （特殊情形①②）

图3 （特殊情形③）

图4 （特殊情形④）

3 常规解答

（1）E的方程为，过程略.

（2）在特殊情形③中，当直线MN斜率不存在时，lMN:x=1，与E的方程联立可得M(1,-，故点T为线段MH的中点，所以H(5-，容易求得2，此时直线HN过点A(0,-2).

综上可知，直线HN过定点A(0,-2).

4 背景溯源

图5

图6

首先，注意到直线PA与椭圆相切，而对于直线PB与椭圆的位置关系，由椭圆在处的切线方程为，即2x-y-4=0，其过点P(1,-2)，可知直线PB与椭圆相切.

另一方面，直线PB与椭圆相切关系还可以利用伸缩变换将椭圆变换至圆中证明.取点D(0,2)，延长直线DB、AP交于点E(2,-2)，注意到P为线段AE的中点.如图6，Rt△ADE中，以AD边为直径的圆与斜边DE交于点B，P为边AE的中点.不难知△ABE为直角三角形，于是PA=PB，又PA与圆O相切，所以PB也是圆O的切线.

于是我们发现，直线PA、PB均与椭圆相切.考虑将椭圆伸缩变换至圆中的情形，PA、PB均与圆O相切，过点P的直线与圆O交于M、N两点，设割线PMN与弦AB相交于点Q，则P、Q调和分割MN，即

而再次利用△PMA∽△PAN及△PMB∽△PBN，分别得

图7

图8

此时，如图8，我们过M作直线PA的平行线，与AB、AN分别交于点T、H′.考虑△MNH′与截线ATQ，应用梅涅劳斯定理，有

通过以上的分析我们知道，本题的背景可以看作是在调和四边形，即圆的两切线与一割线的构图下，形成了调和分割的关系，对图中调和点列、调和线束性质的应用.

5 教学建议

在高考复习中，一定要加强四基的训练，关注学生在学习过程中对通性通法的深入理解和综合运用，促进学生将知识和方法内化为自身的知识体系.数学的学习从来都不满足于特殊情况的结果，而是从特殊情形去类比到一般情形，在对特殊情形的研究中得到经验和方法，从而寻求解决问题的一般思路.在教学中，应注重引导学生理清数学命题的条件与结论之间的逻辑关系，通过一些常见重要的命题启发学生研究该命题的不同变化形式以及之间的逻辑联系，真正提高学生的数学逻辑推理能力.

目前，核心素养已成为基础教育领域的重点研究课题和学生发展的主要任务.数学核心素养形成与提升离不开高效的数学课堂，教师在数学课堂中不仅要将知识传授给学生，更需要将方法和技能教授给学生，学生加以理解和应用.在高考真题的分析和解答过程中，通过展示多种解题思路、揭示问题的背景、梳理各类数学模型间的结构联系、合理进行数学多媒体的动态展示等都可以很好地培养学生的数学抽象，直观想象，数学建模，数学运算，数据分析等核心素养.在试题的溯源和拓展环节有助于发展学生的逻辑推理核心素养，思维的连贯性与创新性.