2022年全国新高考Ⅰ卷第19题的探究与变式

浙江省丽水中学 罗贤旭 （邮编：323000）

1 真题呈现

如图1，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，ΔA1BC的面积为

图1

（1）求A到平面A1BC的距离；

（2）设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

试题分析本题主要考查空间点、线、面的位置关系，点到平面的距离和平面与平面所成角等基础知识，同时考查了直观想象和数学运算等素养，很好地发挥了高考“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能.

2 解法探究

（1）设A到平面A1BC的距离为h，由VA1-ABC=VA-A1BC，所以，则4=

（2）方法一：（坐标法）由AB=AA1，得AB1⊥AB，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，则AB1⊥平面A1BC，AB1⊥BC，又BC⊥AA1，则BC⊥平面ABB1A1,所以BC⊥AB，

图2

方法二（三垂线法）由AB=AA1，得AB1⊥AB，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，则AB1⊥平面A1BC，AB1⊥BC，又BC⊥AA1，则BC⊥平面ABB1A1,故BC⊥AB，4，且所以BC=2.

图3

取A1B的中点H，过H作BD的垂线，垂足为M，连接AM，由平面A1BC⊥平面ABB1A1，则∠AMH为二面角的平面角的补角.且所以HM=二面角A-BD-C的正弦值为

方法三（转化法）由AB=AA1，得AB1⊥AB，又平面A1BC⊥平面ABB1A1，则AB1⊥平面A1BC，AB1⊥BC，又BC⊥AA1，则BC⊥平面ABB1A1,所以BC⊥AB，BC⋅AA1=4，且，所以BC=2，取A1B的中点H，连接AD、HD，所以SHDB为SADB在平面A1BC上的射影面积，因为所以cosθ=则二面角ABD-C的正弦值为

图4

点评空间角的关键在于找到平面的垂直关系，通过发现AB1⊥平面A1BC，AB1⊥BC，证明发现BC⊥平面ABB1A1，所以三棱锥A1-ABC是一个鳖臑模型.

3 试题变式

变式1如图5，三棱柱ABC-A1B1C1的体积为，ΔA1BC的面积为，且平面ABC⊥平面ABB1A1.

（1）求A到平面A1BC的距离；

（2）设D为A1C的中点，AA1=AB，面A1BC⊥面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

图5

解析（1）设A到平面A1BC的距离为h，由VA1-ABC=VA-A1BC，所以

（2）过B1作AB的垂线于E点，则B1E⊥平面ABC，所以B1E⊥BC，又AB1⊥BC，则BC⊥平面A1ABB1，所以AB=2,BC=，如图6建系，

图6

变式2如图7，三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，ΔA1BC的面积为，且平面ABC⊥平面ABB1A1.

（1）求A到平面A1BC的距离；

（2）设D为A1C上一点，AA1=AB，，平面A1BC⊥平面ABB1A1，已知二面角A-BD-C的余弦值为，求的值.

图7

图8

立体几何大题解题方法的特点：

①坐标法的优点：思想方法简单，易于操作，得分点明确；

缺点：使用有所局限，有时计算量大，易算错.

②定义法的优点：过程简洁，适用性广；

缺点：数学思维要求高，想不到.

4 教学启示

在2017年版新课标教材中，已将空间向量知识、方法系统化，给出了运用向量判定线线、线面、面面平行与垂直，也给出了运用向量求空间点到面的距离公式和三种角的公式.真题题目表述简洁，考查立体几何的基本概念和方法，不同的方法也反映了学生不同的数学素养水平，同时在问题的解决过程中考查了直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等逻辑推理.其中真题的解法1 在直三棱柱的条件下，具备建立坐标系的条件，但是需要将平面A1BC⊥平面ABB1A1的条件进行合理的转化得到BC⊥平面ABB1A1，问题的难点的设置没有落在建系，而是落在了直线与平面，平面与平面位置关系的相互转化上，真正考查了立体几何的相关素养.真题的解法2很好地利用了平面A1BC⊥平面ABB1A1这个条件，运用二面角的定义做出∠AMH，过程简单，计算简便，很好地考查了直观想象和逻辑推理等素养.变式是在原有的模型上进行改编，将熟悉的直三棱柱改为斜三棱柱，所以在解决问题的时候需要自己探究和构造平面垂直的条件，需要很好的思维，而非简单的计算，具备新时代选拔创新型人才的功能.”

数学是一门重要的基础学科，是一切学科的基础，就重要在它能提升个人的思维，进而推动社会的发展.波利亚认为：学好数学不只在于练习、操作、演算最重要的是从心底萌发出对数学的浓厚兴趣与自我归纳理解后的解题思路.数学课堂教学还应在一题多解、思维充分发散的基础上提炼数学的本质，数学的规律，引发思维在未来更深广的发散，因为同样的一个问题采用不同的方法能得到不同的收获.