等和线下的动态几何最值——2022年中考数学安徽卷第10题的分析与研究

安徽省合肥市第三十八中学 杨振庭 （邮编：230011）

1 试题及简评

（2022年安徽省中考数学第10题）已知点O是边长为6 的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积分别记为S0、S1、S2、S3.若S1+S2+S3=2S0，则线段OP长的最小值是（ ）

本题以学生熟悉的正三角形为载体，给出正△ABC外一点P和三角形三边形成的面积和是△ABC面积的两倍关系，要求学生对其作出合理的转化，进而判断线段OP长的最小值.不仅考查正三角形边长与面积的有关计算等必备知识，更注重于考查学生利用面积转化与化归，对学生处理实际问题的核心能力考查更为深刻.

2 求解思路分析

下面给出两种常见的思考方法.

方法一：如图1，以正△ABC的中心O为圆心，分别以A、B、C、D四个选项的值为半径作出圆c1、c2、c3、c4，再逐一分析各圆上有没有满足限制条件S1+S2+S3=2S0的点P.

①对于A 选项.观察圆c1，首先要排除△ABC内部的点，而三角形的外部圆被分割成三段圆弧，根据图的对称性，那自然就会考虑某一段圆弧的中点，此时S1+S2+S3不满足题意，其它点通过验证也不符合，排除A 选项.

图1

②对于B 选项.观察圆c2，由①的思考过程启发，自然就会考虑离BC边最远的点P，通过验证此时点P满足限制条件S1+S2+S3=2S0，所以存在点P满足题意，所以正确答案是B.

方法一充分利用了选项的数值，逐一验证与排除，思路上相互启发促进，其本质是间接解法，对点P的刻画远远不够深刻，下面从研究点P轨迹的方向给出另一种思考方法.

图2

方法二：对点P位置的刻画可以分成以下几步.①首先画出等边△ABC，在△ABC外点出一个点P，找到S0、S1、S2、S3对应的三角形；②进一步转化条件S1+S2+S3=2S0，可以先试探性地从这个条件出发，结合点P的位置，发现其内部关系.当点P在∠BAC内部区域时，由S1+S2+S3=2S0，可知2S3=S0，于是所以P到BC的距离为定值，得出P在∠BAC内部区域的轨迹是一条平行于BC的线段P1P2，③全面突破，由对称性得线段P3P4、P5P6，④进一步发现线段P2P3、P4P5、P6P1也是轨迹的一部分，这样点P形成的轨迹是一个环绕原正三角形的等角六边形（不包括端点）如图2，不难得出线段OP长度的范围是

注事实上，原试题对点P的轨迹刻画要求比较弱，无需作出全部点P形成的曲线，只要考生对线段OP的最小值作出判断和求解即可.

3 题源分析

题源1（人教版教材八年级下册50 页第7题）如图3，直线l1∥l2，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？你还能画出一些与△ABC面积相等的三角形吗？

图3

说明此题说明了同底等高的三角形面积相等，实质是三角形中常见的等积变换.这在第10题中得出以后对点P在线段上的判断起了积极的作用.

题源2（沪科版教材八年级下册第152 页C组复习题1,2）

复习题1已知等腰三角形ABC中，AB=AC.

（1）P为底边BC上任一点，自点P向两腰所在直线作垂线PE、PF，点E、F为垂足.求证：PE+PF等于定值；

（2）证得（1）中结论后，请你对本章A 组复习题第8题的条件和你原来的证明方法进行反思；（附：A 组第8题已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AB=AC，∠BAC=120°，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证：DE+DF=

（3）若点P在底边BC延长线上时，情况如何？

复习题2已知等边三角形ABC.

(1)P为△ABC内任一点，自点P向三边所在直线作垂线PD、PE、PF，点D、E、F为垂足.求证：PD+PE+PF等于定值；(2)若点P在△ABC外时，情况如何？

说明（1）题源2 中的几个问题的处理以面积法最优，其中第2题第1 小题结论即等边三角形内任一点到三边距离和等于该正三角形的高，史称维维安尼（Viviani,1622—1703）定理；

（2）第2题第2 小题问到“点P在正△ABC外时，情况如何？”显得非常开放，旨在启发学生思考.常见的方向有：①若PD+PE+PF为一个大于高的定值，P的轨迹是一个等角六边形；②若规定有向长度，则原结论的形式可保持不变.

题源3［北师大教材九年级上册19 页联系拓广（第5题）］如图4，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F.求PE+PF的值.

说明①注意到△OAD是一个等腰三角形，所以此题可以理解成题源2的特例，本质与其中的第一题相同.

②事实上，当点P在矩形的四条边上时，都有PE+PF为定值.

以上可知，中考第10题根植于课本，又做到了深度挖掘，真正做到了关注数学本质，发展学生素养的考试导向，同时又别具一格，立意新颖，引人入胜.

图4

4 相关拓展

为了方便，我们约定：下列情况中若有三点共线时，则这三点所形成的三角形面积记为0.

结论1如图5，已知AB、AC是两条相交线段，若动点P满足S△PAB+S△PAC=k(k≥0，k为定值)，则动点P的轨迹是平行四边形P1P2P3P4，其中P1、P4分别在 射线AC、AB上，且

图5

注（1）结论1 的证明几乎是显然的，事实上，以∠BAC内部区域为例，可得S△PAB+S△PACS△ABC，即S△PBC为定值，于是在这部分区域内，P点的轨迹是平行于BC的线段,其它区域的分析略；

（2）用比例刻画这四个点的准确位置是比较深刻的，由此也可以得出BC∥P1P2.

结论2如图6，已知AB、CD是两条线段，它们的所在直线交于一点.若动点P满足S△PAB+S△PCD=k(k≥0，k为定值)，则动点P的轨迹是平行四边形P1P2P3P4，其中P1、P4分别在直线AB、CD上.

注（1）事 实上，注意到等底同高的三角形面积相等的原理以后，即可得AB、CD交于点O，将线段AB、CD沿各自直线平移至OA′、OC′，于是问题转化为S△POA′+S△POC ′=k(k≥0，k为定值)，由结论1 即可解决问题.

（2）结论2 本质上是法国数学家塞列特（Serret,1819—1885）于1855年提出的塞列特轨迹问题：若AB和CD是两条不平行的线段，动点P满足条件S△PAB+S△PCD=k2（定值），则点P的轨迹是一个平行四边形.

（3）利用以上的结论和做法还可以很快捷地解决这个问题（解答过程略去）：（《面积与面积方法》田廷彦P20 例7）

两条直线l1与l2上分别有定点A、B与C、D，m、n是两个固定正 数，求l1与l2之间的点O的轨迹，使得mS△ABO+nS△CDO为定值（如果这样的点O至少存在一个）.

结论3如图7，已知点P在△ABC所在的平面内，若动点P满足S△PAB+S△PBC+S△PAD=k(k≥S△ABC，k为定值)，则动点P的轨迹是：

①当k=S△ABC时，动点P的轨迹是△ABC内部（包括边界）；

②当k=S△ABC时，动点P的轨迹是与△ABC各边平行的一个六边形P1P2P3P4P5P6.

结论4已知点P在边长为1 的正△ABC所在的平面内，点P到三边所在直线的距离分别为h1，h2，h3，且h1+h2+h3=k(k>0).则有：

图6

图7

图8

注在（3）的情况下进一步可定义正三角形的等和折线环，原正三角形可称为基三角形；等和折线环的边与基三角形的对应边的距离分别记为d1,d2，则，且等和折线环有两种边，其中长短边的长度分别为；特别地，当基三角形退化成一点时，等和折线环退化成一个正六边形.

5 相关变式

根据以上的分析过程，可以对原题作出一些简单的变式，如下：

(1)《几何极值问题》朱尧辰第48 页习题2 第19题：对于△ABC内部一点O，用d1、d2、d3分别表示它与边BC、AC、AB的距离，求点O的位置，使得d1d2d3最大.

(2) 已知点O是边长为6 的等边△ABC的中心，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积分别记为S0、S1、S2、S3.若S1+S2+S3=2S0，求线段OP长度的取值范围（原题点P在△ABC外可以省去）.

(3) 已知点O是边长为6 的等边△ABC的中心，点P到直线AB、BC、AC的距离记为h1、h2、h3.若h1+h2+h3=k(k>0)，求点P的轨迹.