浅谈数学哲学对数学思想的解释*

呼家源 詹雨

（1.内蒙古科技大学理学院；2.河套学院土木工程系）

英国著名哲学家、数学家、逻辑学家、教育家BertrandArthurWilliamRussell曾指出：“作为社会与政治生活一部分的哲学,是过去的各个时代的各具特色的社会的产物，而远非只是源于天才闭门造车式的冥思苦想。”无论是哪个时代数学思想与数学理论的发展对哲学的影响都尤其巨大。著名的Pythagoras定理的发现者，也就是萨摩岛人Pythagoras便将数学与神学融合为一体。他主张：“数学是永恒真理的主要来源，数学所依赖的思想比感观高贵，因而思想的对象比感观的对象真实”。这也使得无论哪个时代的哲学学派中都富含理性的成分，也使得文明的传播必不可少地要具备数学、哲学、科学三要素。纵观数学、哲学、科学的历史著作也会发现，数学史的深刻发展离不开哲学背景，西方哲学史的著作也不得已要关注自然科学史特别是数学史。当我们讲授高校中的数学专业课程中的原理时，通过对数学的思想方法与哲学思想之间联系的分析，不仅可以帮助学生在学习的过程中更好地理解和掌握数学思想，还可以让理工科类学生的思维得以拓展，能够理解一些比较深刻的哲学问题。

一、“常”与“变”的辩证关系

中国哲学研究的核心是对人和人生的反思，从入世的角度来讲即为探讨人存在的意义与价值、人际关系和人事。既然如此，中国哲学必然受到环境、经济等因素的影响，这就是影响中国哲学元素中的“常”。故而在某个时期，人们总提及“四海之内”“普天之下”，而没有考虑到海上国家及海外环境。另外受农耕文化的影响，中国哲学表述中出现了“本”与“末”“寒往则暑来，暑往则寒来”“日中则昃，月盈则食”等，无不源自于农业生产。难道中国哲学在“常量”所构系统中注定要被封闭在“四海之内”吗？当然不是！冯友兰在《中国哲学简史》[1]中分析到，“任何民族在任何时代任何制度的哲学里，总有一些内容只对处于当时经济条件下的大众有用；但是，除此之外，还会有一部分哲学思想具有持久的价值。”这便是哲学发展中所谓的“变”。

数学各个分支中都渗透着“常”与“变”。每个数学原理在分析之前必须明确这个问题是放在哪个空间、哪个数域之中。或者当我们固定下来某些假设条件，这个分析问题的系统中的某些元素便成为了常量。也有的时候我们假定某些“变化”的元素为常量，来使得问题的分析更加明确。当这些元素发生变化时，便使得这个系统动了起来，并且在这个“常”与“变”的辩证过程中不断深入发展。例如，微分方程模型中最常见的人口模型便是如此。最初Malthus做了基本假设：在人口自然增长的过程中，净相对增长率是常数，记此常数即生命系数为r，并据此建立了微分方程模型并得到满足初值条件t=t0时人口数量为N(t0)=N0的解为N(t)=N0er(t−t0)。然而这个Malthus模型中的人口总数并不符合人口增长实际规律，是呈指数型函数无限增长。数学模型中的“常”经常是专家和学者关注的对象，往往要对其修正或进行推广、优化使得数学问题更加丰满。荷兰Verhulst引入环境最大容纳量Nm并假设生命系数为据此假定人口增长的模型修正为了著名的Logistic模型这两个模型中的净相对增长率是普遍存在的，是共性。而Malthus模型中人口数量增长与地球环境容纳量的矛盾则具有特殊性。马克思主义哲学中的“静与动”“矛盾的普遍性和特殊性”也是如此辩证统一。纵观“数”的起源与发展，从自然数、整数，到有理数、无理数，再到实数、虚数和复数，数的发展是一个不断变化发展的过程。从计数到数基、进制，即使我们最终普遍接受了10进制，或许源于我们的每只手均有5根手指，但是随着素数域、椭圆曲线的研究，数及数的运算一次又一次被向前推进，甚至椭圆曲线上的点之间也可以定义加法和标量乘法。

二、聚点思维与聚类思维

所谓聚点式思维,在数学学习中就是严格按照定义、定理、公式、法则等思维朝着一个方向思考,使思维规范化。聚类思维是指从诸多研究对象的性质中挖掘共同的属性，并以此为基础归纳整理此类对象的相关性质。数学中的聚点与聚类思维有以下一些通俗的实例。

数论的研究对象是整数特别是素数，例如孪生素数、完美数等。然而在研究整数性质特别是素数的性质时，我们用初等数学的方法去研究[2]，即利用研究对象本身的性质去处理分析便是聚点思维。例如整数的整除、最大公约数理论、同余理论、原根等理论均为整数的初始结构，仅仅关注的是整数结构中的知识节点或位置。例如孙子定理的证明、存在无穷多个素数的证明，均在整数环上进行分析。

然而数学发生着深刻变革，数学研究在经历的危机和结构性坍塌之后，数学本质及结构的理解与包容发生了巨大的变化。在不连续的整数之间，经过引入连续量，而导出了新的关系系统，用分析的工具来解决数学问题，产生了解析数论这一分支，经过Dirichle、Riemann、华罗庚等数学家的工作，将它发展起来，这就是聚类思维。例如：将整数的研究放在更大的复数域中，定义三角和，并且在1937年维诺格拉朵利用解析数论工具基本上解决了哥德巴赫猜想中的三素数问题。单一的、相互不关联的数学知识在聚类思维的作用下联系起来，数学知识结构更趋于完美、完备。

三、数形结合思想中的抽象与具体

欧内斯特以基础主义的三大流派的分析中谈到，某些直觉的元数学原理以及“原始直觉”的自明公理是绝对真理的可靠基础之一，直觉主义也在自己假设的基础上用演绎范式去证明数学定理的真理性，数形结合便是其中之一重要思想方法。在我们学习数学的过程中是普遍存在的。从小学到大学的学习过程中，数形结合就一直伴随着我们数学知识的学习，它让问题变得简单，更加的直观。数形结合思想就是在解题的过程中结合语言并且利用图像使问题更加清晰明了。例如，设集合M={−1,0,1}，N={−2,−1,0,1}，求M∩N。

如图1，我们可以知道M∩N={−1,0,1}。

图1 Venn图

例1所用到的数学思想就是数形结合思想，通过Venn图我们可以直观的得到结果，使解决问题更加简单、快捷。

数形结合思想在哲学中所体现的是具体与抽象的辩证统一，集合是抽象的，Venn图则是具体的。例1中通过画出Venn图从而直观地看出结果，得到抽象的结论，这也是具体到抽象的一个过程。把我们的研究对象看成一个集合，对其共同的性质进行挖掘，并剔除和忽略这些研究对象之间的差异，这样便得到一个抽象的事物。例如我们在研究整数的加减运算时，在整数集上建立了一种对应关系。我们把这种对应关系抽象出来，可以定义两个非空集合上的运算，而这个集合的元素也可以是“东、南、西、北”，可以是动物，可以是矩阵等。这种从具体到抽象的上升，也是基于聚类思维的一种哲学活动，我们从中提取出共同的本质来定义更普遍的定律或更一般的原理。像程和祥[3]认为的那样，“数学对象作为客观地存在着的个体对象，就应该是所谓的抽象对象，这种抽象对象显然和具体对象不同，它不是可见的物质”，即“存在但又不存在”。当我们揭示了更一般的规律，便可以从抽象回归到具体，解决具体的问题。例如我们在解决不定方程整数解的过程中，一开始是混沌状态的，但是可以通过研究一般的代数数论中的有限域、有限扩张、唯一分解定理等抽象的理论，再用这些原理来解决具体的不定方程。因此数学思维从“混沌思维”到“聚类思维”再到“聚点思维”的演变，这也是哲学中从具体到抽象再到具体的辩证过程。

四、极限思想中的显性思维、隐性思维与创造性思维

诸多学者根据不同历史时期的数学范式，对数学的发展的历程分为古希腊之前的前现代数学和古希腊之后的现代性数学，数学从经验数学向演绎数学转换。而19世纪中叶，非欧几何与非交换代数诞生，是数学思想从现代性逐步转向超越现代性的深刻变革，数学语言更是上升到了抽象并与普通语言分离。特别是作为微积分学的主要工具之一的极限，让实数理论更加完备。变速直线运动、曲边梯形面积、变力沿平面曲线作功、曲顶柱体体积等不均匀的问题中所含的隐性思维需要极限这一数学语言将其准确的刻画出来即显性化。

极限思想是我们从有限到无限的质的飞跃。然而抽象的无限接近，是我们高级思维中的隐性思维，如何显性的将其表示出来呢？当我们表述头脑中的隐性思维时，不会有能量的衰减，又能严格地、准确地将其刻画出来。对于数列极限，ε−N语言便是显性思维，是分析极限问题的标准语言，是显性思维的体现。

极限的符号语言可以将上述的数学隐性思维显性表述出来，还体现了哲学中量变与质变的辩证关系和对立统一的观点。然而数学思维与数学知识有能量衰减和失真，哲学的原理与我们表述的理论之间也存在这样的问题。

其一，量变与质变的辩证关系。当事物在量变时达到一定的程度的时候，就会发生质的改变。如上例中，项数的无限增多，也就是从有限项变为无限项，也就是由量的变化最后造成了质的变化。又如，求曲线C在点P的切线斜率，首先在曲线C上取一点Q，求出割线PQ的斜率。然后令曲线上的点Q沿曲线无限的靠近于P，则割线斜率的极限就是切线斜率。在此过程中，曲线上的点Q一直沿曲线靠近于P，割线的斜率是一直变化的，接近于切线的斜率，这是量变的过程。而当点Q到达极限位置的时候，才会得到割线的斜率就是切线的斜率，这是质变的结果，也是由量变引起质变。

其二，对立与统一的观点。极限的作用就是从有限到无限的桥梁，它体现的是有限与无限的对立统一。如上例中，数列中每一项的值不断发生变化，项数也是有限的。但是，当项数无限的增多的时候，an无限趋近于常数0。从中我们可以看出，无限是有限发展得来的，而有限是无限的最终结果，它们是对立统一的。在高中以及大学我们都学习过级数。在高中，我们所学的级数是有限项的，即数列的前n项和，它满足交换律和结合律。大学所学的级数是无限项的，是不一定满足交换律和结合律的，因为有一定的限制条件。这也就说明有限的问题中成立的结论在无限的问题中不一定成立。但是无论二者的区别是什么样的，它们都是级数。这体现出了二者的对立统一。

五、结论

“理以心得为精，故当沉潜，不然，耳边口头也。”我们虽说利用哲学观点分析了数学思维，但是也仅仅是五个方面而已，皆浅尝辄止。在做学问的过程中，不仅仅要体会数学思维中所蕴含的哲学思想，也应该触类旁通，更深刻地去认识数学哲学所讨论的对象之“存在且不存在”性，并体会聚类与聚点思维、显性与隐性思维、认同与审辩思维、单数与复数思维、解构与建构思维[4-7]等。众所周知，非欧几何与非交换代数所触动的对数学认识论、方法论、数学真理等方面的深刻变革，让数学学科所研究的结构或者说关系更具备相容性、独立性和完备性。正如黄秦安[6]所言“一幅崭新的数学知识结构的画卷逐步展现在人们面前。”