中学数学建模论文研读课程教学模式设计与实施

北京市第十五中学 吴奇琰

一、研究背景

（一）《数学课程标准》关于数学建模的提出

《数学课程标准》对数学建模和数学建模素养有如下描述：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。

数学建模的过程主要包括：在实际情景中从数学视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型，确立参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题。数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。通过对数学建模课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学和现实的关联，学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践经验。《数学课程标准》关于数学建模核心素养的阐述在顶层设计上突出了在中学开展数学建模课堂教学的重要意义。

（二）《数学课程标准》关于建模课程设计的要求

根据新修订的《数学课程标准》中关于课程结构的描述，将数学建模活动和数学探究活动、函数、几何与代数、概率与统计列为突出的四条主线，贯穿必修、选择性必修和选修课程。数学建模活动和数学探究活动是综合提升数学素养的载体，如何通过课堂教学，使学生了解数学建模的意义，掌握数学建模的基本过程，并结合实际情况开展建模活动，最终形成论文或报告，体验一个微科研的过程，显然论文研读是一种很好的体验式学习方式。通过论文研读课堂学习，学生可以从类比、模仿到自主创新，从局部实施到整体构想，慢慢经历完整的活动过程。

（三）校本数学建模教学实践与研究的需要

北京市第十五中学从2000年就已经开始了数学建模教学的研究与实践，多次组织学生参加数学应用知识竞赛，并取得优异的成绩。学校将学生获奖论文汇编成集，出版了《数学之眼看世界》《思维与创造》这两本论文集，为论文研读课堂教学提供了必要的教学素材。通过对数学建模论文研读课堂教学模式进行思考和探索，创新校本课堂教学实践，促成新的优质数学建模论文产生，以形成良性循环。

二、概念界定

（一）数学建模

1．数学建模概念

把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，数学知识的这一应用过程称为“数学建模”。数学建模是一种数学思想方法，是运用数学语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模的主要程序如图1所示。

2．中学数学建模

在中学生现有知识水平和认知能力的基础上，结合课堂教学所学，通过论文研读，了解数学建模的基本过程和步骤，以实际问题为研究对象，建立科学合理的数学模型，体验建模的过程，最终以论文或报告的形式呈现研究过程和结果。

（二）教学模式

（1）“引导—发现”模式：实质是以学生自主探索、合作交流为主，辅以教师的引导和帮助，充分发挥学生的主体性，激发学生的学习兴趣。理论依据主要是布鲁纳的“发现学习”理论及布兰达的“探究—研讨”教学法等。

图1 数学建模的主要程序

（2）“活动—参与”模式：强调学生的活动，以学生主体探究活动为中心组织教学，强调学生直接经验的获得、实践能力的培养，在教学活动中引导学生动手、动口、动脑，在做中学、在用中学，通过动手操作、参与实践等数学活动将知识“内化”为学生头脑中的经验。这一模式理论依据是皮亚杰的发生认识论和弗莱登塔尔的“数学化”思想。

（三）论文研读课

论文研读课是学生在教师的引导下，通过对选取的数学建模论文进行阅读、思考、讨论、分析、研究的课堂教学过程。一方面，通过学习，学生了解该论文或课题的研究方向和研究成果；另一方面，从实际问题的提出、数学问题的抽象与简化、数学方法的运用、数学问题的求解、实际问题的反馈、研究经历等各个环节了解数学建模的完整过程，为自己（或小组）开展数学建模活动并完成论文提供思路和借鉴。

三、研究过程

以校本选修课的组织形式开展教学实践研究，选取两篇有代表性的数学建模获奖论文，带领学生进行论文研读。以下结合《对跑步时呼吸频率的探究》论文研读课的教学实践，总结出一般论文研读课的课例设计方案，重点突出论文研读资料的选取、教学学案的准备、教学模式的选择、教学环节的设置这几个方面。

（1）课例：数学建模论文《对跑步时呼吸频率的探究》研读。

（2）授课年级：高二年级。

课型：校本选修课（25人）。

（3）课时安排：课上学习交流三课时（每课时50分钟），课下延伸研究4 5周。

（4）教学模式：“引导—发现”模式和“活动—参与”模式。

（5）教学准备如下。

材料准备：本校学生获奖论文《对跑步时呼吸频率的探究》；论文研读提纲（学案）。

知识准备：通过前期教学，学生已经学习了数学建模的基本概念，并在对数学应用竞赛试题分析和讨论中，了解了数学建模问题的特点以及与日常课堂教学数学问题的区别，主要体现在问题提出的实际性、问题处理的灵活性、问题结论的开放性这三个方面。

（6）教学设计如下。

环节一（问题感知）：教师分发研读论文资料，学生自行通读全文（1课时）。

教师活动：①分发研读论文资料，每人一份；②说明论文研读对数学建模学习的重要意义；简单介绍所研读论文作者的基本情况，简述作者开展问题研究的背景和经历，以及该论文参加市级竞赛的过程和优异成绩，为学生对研读论文初感知做好铺垫；③在学生自行阅读论文过程中，巡视并和学生做简单交流，关注、收集学生的问题和困惑。

学生活动：认真通读所发的研读论文资料，问题初感知，从整体上了解和把握论文所涉及的问题，研究思路和解决方法，随时记录自己的困惑，以便后期继续思考或者合作交流探讨。

环节二（合作研讨）：以学案为引导，以小组为单位进行小组研讨，完成学案，从而全面深入地读懂数学建模论文（1课时）。

教师活动：①分发论文导读提纲（学案），介绍小组交流方式及内容，提出书写学案要求；②深入学生，参与交流，了解学生研讨情况并共同解决学生遇到的部分问题。

学生活动：3 4人为一组，共同研讨，互相启发，尝试小组内解决问题，观点基本达成一致后，完成学案（此环节学生在学习活动课堂上如果没有完成，可延伸至课下）。

①通读全文，你觉得数学建模的基本过程是什么？一篇规范的中学数学建模论文包含哪些基本内容？

②本论文研究的主要问题是什么？简要说明问题提出的背景。

③影响研究问题的主要因素有哪些？为研究和解决问题，本文做了哪些合理的假设？

④在研究过程中，作者用到了哪些研究方法？涉及哪些数学知识？

⑤通过研究，作者在数学上得出了怎样的结论？

⑥反馈到实际问题中，数学上的解还需要怎样进行修正和补充？

⑦针对作者的研究过程及成果优缺点和改进措施，你觉得还需要考虑哪些因素？

⑧对这个研究方向，你还能提出哪些可研究的课题？（至少写出两个）

环节三（交流分享）：以小组为单位，选派学生讲解所研读的建模论文，师生间讨论、交流分享，使学生能“读懂论文，理解论文，讲述论文”（1课时）。

教师活动：①组织学生以小组为单位，指派每组一人在课堂上对本篇研读论文进行讲解；②讲解过程中，和学生即时互动交流，对学生讲解过程中不完整的地方有针对性地进行补充和说明。

学生活动：每组选派一人，根据本组的讨论内容和对研读论文的理解，在课堂上讲解自己的观点，积极思考并参与讨论交流。

环节四（思考延续）：结合研读论文所提出的新研究方向或者新课题，运用课堂教学所学，开展数学建模实践研究（课下4 5周）。

学生活动：选取结合研读论文研究方向所提出的新话题或者重新选取新研究课题，以小组为单位确立研究内容、方法和研究思路，完成比较完整的研究报告。

教师活动：对学生进行过程性指导，帮助学生完善研究，最终形成研究报告，并选择优异的建模论文参加相应等级数学应用竞赛。

四、研究结论

（一）论文研读素材挑选的基本原则

（1）论文研读素材的选取最好是学生获奖论文，其具有权威性，可以保障科学性。获奖学生的论文结构非常完整，不仅呈现了选题—建立模型—求解模型—研究结论的全过程，而且参与并通过了全市统一由大学教授作为评委的论文答辩，因而确保论文在一定程度上具有权威性、严谨性和科学性。尽管从专业视角来看有的论文研究角度和深度还略显稚嫩，但在课堂教学中使用这样的素材，也便于学生从同龄人的视角进行思考和分析。

（2）论文研读选题要贴合学生实际生活，要兼具趣味性。数学建模研究的课题本身源于生活实际，所以在论文研读课上选取素材时一定选接地气的实际生活中的问题。兴趣是学生学习的最大动力，浓厚的兴趣，能提升学生课堂学习效率和教学效果。

（3）论文研读课题研究过程中用到的数学知识要在中学生能力掌握范围之内；研究课题涉及的知识最好是多学科知识的融合；课题的研究成果或结论具有开放性，可拓展深化。

（二）教学模式及组织形式的思考及建议

在教学模式的选择上，考虑到学生研读材料所涉及问题的开放性以及知识的综合性，包括所需知识的广度和深度，因此在教学中建议采用“引导—发现”模式和“活动—参与”模式相结合的方式组织教与学。以学生为主体，使学生在对所给论文的探究活动中直接获得经验，了解开展课题研究的基本思路和过程，教师辅以引导，帮助学生主动发现解决问题的思路和方法，完成经验积累。教师在课堂上要给予学生充分的思考、讨论时间与空间，培养学生的主体意识、参与意识和创新意识。教师课下鼓励学生主动提出问题，初步掌握科学研究方法，在建模活动参与中主动形成初步数学建模能力。

在教学组织形式方面，数学建模学习和实践操作的过程都需要应用到综合数学基础知识，因此要求学生拥有较系统的基础知识和较好的数学能力。同时数学建模论文研读的课堂教学开放性很大，组织形式较为灵活，课下还需要拓展延伸，所以建议以校本选修课形式开展教与学，选定20 30名学生组成一个或两个选修课教学班，每周固定时间开展教学或合作研究，以一学期为教学时段。如果学生课下已经开始开展相关课题研究或者参加相应的数学应用知识竞赛，可以将教与学适当延伸至一学年。

（三）课堂教学评价的思考

不同于其他课堂教学通过考试来评价学生的学习效果，论文研读课主要侧重过程性评价，分为课上和课下两个维度评价教学目标的达成情况。

（1）教师通过在论文研读课堂上的教学和引导，关注学生对研读论文的分析和理解效果。在课堂教学中，教师和学生共同学习与交流的重点应该是思考所研究论文数学建模的思维过程，就是研究者的想法和解决办法，不过多纠结于过难的数学知识。对学生来说，思考和分析问题比解决问题更重要，建模论文的研读是为学生打开一扇窗，促使学生养成积极思考的习惯。

（2）结合所研读论文的思路和方法，学生能否提出有价值的新课题，课题可以是研读论文的深入和延续，也可以是全新的研究方向。课下评价主要看学生能否按照数学建模的基本步骤完成研究，并完成比较完整的数学建模论文（小组合作）。在数学建模活动中，学生是认知活动的主体，方案的探索、实施、调整和反思应尽量由学生自主或者合作探究完成。教师评价学习效果时，不要过多地强调研究的结果，主要关注问题是否有价值、数学方法使用是否得当，研究过程是否合理完整，研究结果是否有一定的实际意义。本学期学生在进行论文研读课的学习之后，以小组为单位提出了很好的研究课题，并结合课堂教学所学，经过实践研究，有的学生已经初步形成了比较完整的研究报告。