基于图解法的渐开线圆柱斜齿轮接触线特性研究

李宏天 钱 宏

（太原重工股份有限公司技术中心，太原 030024）

渐开线圆柱齿轮传动是应用最广泛的传动方式，具有传动平稳、可靠性高的特点。对渐开线直齿轮传动而言，因为重合度1≤ε<2，所以传动过程中存在因单双对齿啮合交替出现导致轮齿综合刚度出现周期性变化的情况。当传动齿轮输入载荷一定的情况下，其综合刚度变化除了齿距误差和啮合弹性变形以外，主要原因是轮齿啮合过程中理论接触线总长发生变化导致单位接触长度的轮齿受载随接触线总长的突变而发生变化。斜齿轮文献[1]认为，斜齿轮具有轴向重合度，其接触线长度逐渐变化使其综合啮合刚度突变较小，因此斜齿轮传动具有冲击小、振动小以及噪声低的特点。

从整个传动周期看，不论接触线总长发生突变或者渐变，都必然存在啮合综合刚度变化导致振动和噪声出现的情况，只是突变引发的振动、噪声显著而渐变不明显。因此，有必要从接触线总长的变化入手，分析其成形原理及其几何尺寸变化，掌握理论接触线总长的变化规律，使工程技术人员能够进行合理设计，为进一步降低斜齿轮的振动和噪声提供理论指导。

1 渐开线圆柱斜齿轮重合度与接触线的运动关系

1.1 斜齿轮重合度的特点

严格意义上来说，直齿轮是一种螺旋角为0°的特殊斜齿轮。下面将以斜齿轮为研究对象，分析其重合度特点。如图1所示，斜齿轮沿着啮合线运动时，就某一单齿而言，当齿前端从啮合起始点A1移动至A2点时，齿后端B1相应的移动至B2点。当齿前端A1点移动至A3点、齿后端B1点刚好移动至B3点时，整个齿的前后端完全脱离啮合区。此时，该齿轮传动副的重合度为：

文献 [2]指出，tanβb=tanβcosαt，Pbt=Ptcosαt，整理后可得：

式中：β为分度圆螺旋角；βb为基圆螺旋角；Pt为端面齿距；Pbt为端面积节；αt为端面压力角；b为齿宽；mn为法向模数；Pa为轴向积节；εγ为总重合度；εα为端面重合度，εβ为轴向重合度。由公式推导可知，相较同等齿宽的直齿轮，实际啮合线长度增加，其重合度相应增加了εβ。

1.2 轮齿接触线图解法的几何成形原理

轮齿啮合线是渐开线齿廓上某啮合点完成从啮入到啮出期间该啮合点随轮齿圆周转动形成的轨迹。不同于啮合线，接触线是齿廓上某啮合点沿轮齿在轴向螺旋角方向的瞬时接触轨线。在考虑重合的前提下，为更加方便直观地理解接触线的几何成形原理，可以运用图解法加以阐释。如图2所示，当主动齿轮逆时针旋转、从动齿轮顺时针旋转时，某一瞬时主动齿轮Ⅰ齿的齿顶刚好在A1点进入啮合时，Ⅰ齿在接触区处于临界接触状态（刚好进入啮合），其左侧相邻最近的Ⅱ齿位于接触区的段，与Ⅱ齿相邻的左侧Ⅲ齿的后半段位于接触区的段。同理，若Ⅰ齿的齿顶由A1点啮入到A4点时，Ⅰ齿位于接触区的段，与其左侧相邻最近的Ⅱ齿也必定处在接触区的段，与Ⅱ齿相邻的Ⅲ左侧齿的后半段位于接触区的临界接触状态（刚好脱离啮合）。这里必须指出，任意齿在瞬时啮合状态与相邻齿的位置如图2所示，是因为任意齿的相邻齿的端面积节恒为Pbt。

2 重合度与接触线总长的关系

2.1 给定重合度的接触线条数确定

以图3常见的总重合度2<εγ<3不为整数的一对斜齿轮啮合为例，由图解法可知，在点A6、B6、B7、A7所围成的封闭区域和点A4、B4、A5、B5所围成的区域，必定仅有2条接触线，同时这2条接触线必定分别在两个封闭域内各有1条，即当轮齿某一瞬时在如图3所示的任意黑色封闭区域发生啮合接触时，在整个啮合宽度εαPbt范围内必然有且仅有2条接触线。必须注意，当轮齿在发生接触时，在整个啮合宽度范围内对应通过点B3或A1的实际接触线长度均为零。同理，当轮齿在黑色封闭区域外发生啮合接触时，必然有且仅有3条接触线。这里可把黑色封闭区域定义为最少齿对数啮合区，以外区域定义为最多齿对数啮合区。可见，接触线的条数和长度与重合度密切相关。

由以上推演过程不难得出，在任意啮合瞬时：当n<εγ

2.2 重合度对接触线总长变化的影响

在任一瞬时，斜齿轮啮合时的接触线总长度等于每个啮合齿轮上接触线长度之和。当这些轮齿通过啮合时，它是变化的[3]。因此，计算任意瞬时接触线的总长需明确两个基本要素，即任一瞬时轮齿在接触区间的接触线条数和每条接触线的长度，计算公式为：

式中：LZ为接触线总长；Ln为第n接触线长度；n为接触线条数；

如图3所示，任意啮合瞬时接触线L1、L2和L3的位置是确定的，其任意啮合瞬间的具体长度计算可由图解法的几何关系推导，这里不再赘述。对整个啮合周期内的接触线总长变化，下面用图解法进行研究，如图4所示。

设εγ=K，εα＞ 1 且不为整数，[εα]为εα取整（如εα=2.4，[εα]=2），εβ≥ 1 且为整数，则K不为整数，取K的最小取整数为n，最大取整数为n+1。由图4可知，在接触宽度εαPbt范围内最多有n+1条接触线，最少有n条接触线，即参数啮合的齿对数在n和n+1对交替进行。因εβ为整数，则必有：

当接触线K位于n对齿啮合区间水平移动∆W1时，此时的第1条接触线W1长度增加值为：

相应地，第n条接触线Wn长度减小值为又因∆Wn=∆W1，故第1条接触线增加值与第n条接触线的减小值相等。

由此可进一步推出，平移∆W1时，必有第2条接触线增加值与第n-1条接触线减小相等，且在任意瞬时这样的接触线共有 2[εα]条，其余n-2[εα]条接触线长度维持不变。

因此，当接触线K位于n对齿接触区间时，其接触线总长的变化为零。

当接触线K位于n+1对齿啮合区间水平移动∆K时，此时的第1条接触线K长度增加值为：

相应地，第n+1条接触线Wn长度减小值为又因∆K=∆Ln，故第1条接触线增加值与第n+1条接触线的减小值相等。

由此可进一步推出，平移∆K时，必有第2条接触线增加值与第n条接触线减小相等，且在任意瞬时这样的接触线共有 2[εα]条，其余n+1-2[εα]条接触线长度维持不变。

因此，当接触线K位于n+1对齿接触区间时，其接触线总长的变化仍然为零。

依据上述推理继续分析得知，无论接触线K位于n或n+1对齿接触区，其接触线总长总相等且总长变化为零。反之，当εγ=K，εα≥1且为整数，εβ＞1且不为整数时，分析过程等同于将图4中的坐标系X轴和Y轴交替。由此可知，εα为整数时，接触线总长度依然恒定不变。

综上，在任意瞬时，当εα或εβ为整数时，无论轮齿在最少齿对数或最多齿对数啮合区，在整个接触宽度区间，其接触线总长度变化值恒为零，与文献[4]的结论相符。

依据前述分析，当εα、εβ均不为整数时，同样可得出其接触线总长变化不为零的结论与文献[5]结论一致。这里需要特别强调，当εα、εβ的尾数加和为整数时，设εγ=M，表明轮齿在任意瞬时都有M对齿同时接触。此时，最少齿对数啮合区宽度为0，故同时接触的齿对数仍然为M条。

3 结语

从轮齿啮合重合度和接触线成形基本原理出发，应用图解法对重合度与接触线总长变化影响开展研究，指出轮齿端面重合度εα或轴向重合度εβ为整数时其接触线总长恒不变，与文献[4]的结论相符。

在任意啮合瞬时理论上接触线总长恒定不变时，单位接触线长度的载荷一致，综合啮合刚度变化为零。国外学者NIEMANN通过试验证明，齿轮的轴向重合度εβ为整数时，噪声较低，且对εα的变化不敏感。因此，当对齿啮合的振动和噪声指标有严格要求时，设计斜齿轮不可盲目追求增加重合度，可为进一步降低轮齿振动和噪声提供重要的理论参考。