基于分数阶模型的锂电池SOC估计

段双明，杨耀微

(东北电力大学现代电力系统仿真控制与绿色电能新技术教育部重点实验室，吉林吉林 132012)

锂电池具有能量密度高、循环寿命长及自放电小等优点[1]，在储能领域的应用越来越广泛[2]。但与其他形式能源不同，储能系统中单体电池的剩余容量并不能直接测量出来[3]，因此电池过充过放现象时有发生，由此而引发的储能系统安全事故问题引起了业界学者的足够重视。电池荷电状态的快速准确估计不但可以有效避免电池过度充放电导致的内部永久性恶化问题，还能为锂电池剩余工作时间的预测提供一个可靠的范围[4]，现已成为众多学者研究的热点问题。

为准确预测电池荷电状态，很多SOC估算方法被提出。文献[5]提出一种改进蚁群算法(IACO)优化粒子滤波(PF)估计电池荷电状态。文献[6]针对在优化参数的过程中交叉、变异带来随机性的问题，提出了基于支持向量机算法对电池SOC进行实时估计。上述这些方法都需要大量的实验数据，且很大程度上需要依靠训练数据的准确性。在电池的使用过程中，随着老化程度的不断加剧，训练数据会逐渐失效，进而影响实际的估计效果。文献[4]针对自适应扩展卡尔曼滤波(AEKF)算法运行初期收敛速度缓慢问题，提出模糊AEKF(FAEKF)算法加以改善，能够快速收敛，但这种方法对电池模型中电容参数的变化体现不够明显。文献[7]对分数阶模型和普通整数阶模型在建模技术和SOC估计方面进行了系统的比较，得出分数阶模型的优势更明显。然而，在使用过程中，由于电池老化问题加剧，电池健康状态(SOH)的变化将会导致模型和容量不匹配，影响最终的估算结果。因此本文针对电池参数时变特性，选用二阶RC 分数阶模型，并提出一种基于FOUKF+VFFRLS 算法对电池SOC和SOH实现联合估计。为提升计算效率，使用时间尺度分离计算方法，即电池参数宏尺度和电池状态微尺度，并在UDDS 工况下验证了所提方法的有效性和正确性。

1 电池模型

准确的电池模型是实现SOC精确估计的基础[8]，不同模型有着各自特点。一阶RC 模型结构简单但精确度不足，二阶及高阶次RC 模型能更精确地反应电池内部的动态特性，然而模型阶数越高对计算的要求同样也越高。因此，本文选用二阶RC 等效电路模型。

1.1 二阶RC 分数阶模型

电池在实际动态工况中，由于内部锂离子的偏移运动，大多数电容器并不是表现出简单的整数阶特性，而是呈现出分数阶特性[9]。本文采用的二阶RC 模型包含两个电容器，同样适用于分数阶微积分的应用。二阶RC 模型如图1 所示。

图1 二阶RC 等效电路模型

分数阶Grünwald-Letnikov 微积分公式为：

式中:Dα r为关于变量r的分数阶微积分算子；α为系统的阶数；T为采样间隔时间；M为内存或窗口长度；ωα j为牛顿二项式系数。

式(2)中，α的值决定了函数的类型。当α>0 时，函数是微分；当α=0 时，函数是原始函数；当α<0 时，函数是积分。公式如下：

根据图1 中所示的等效电路模型，将二阶RC 模型中的电容器换成分数阶电容器，建立分数阶RC 模型，则状态空间方程可推导为：

1.2 参数辨识

模型中各参数辨识的准确程度将影响电池SOC的估算精度，目前普遍采用的方法是利用脉冲实验进行参数辨识，这种方法简单方便，但辨识结果的精度有待提高。因此，本文采用自适应遗传算法进行参数辨识，图2 给出算法步骤。辨识后的结果如表1 所示。

图2 自适应遗传算法步骤

表1 整数阶与分数阶模型参数

经计算，整数阶模型与分数阶模型平均误差分别为0.005 1、0.004 6 V，最大误差分别为0.055 1 和0.033 5 V。从图3 和图4 中，我们可以看出分数阶模型比整数阶模型有更高的精确度，分数阶模型更适合作为电池估算的模型。图3～图4 中，AGA 表示采用自适应遗传算法对分数阶模型进行参数辨识，RLS 表示采用递推最小二乘法对整数阶模型进行参数辨识。图3 中黑色曲线为实际值。

图3 整数阶与分数阶模型电压估计

图4 整数阶与分数阶模型电压估计与真实值的比较误差

根据放电实验[10]得到的电池开路电压和电池SOC的数据，在Matlab 中利用polyfit 函数对端电压与电池SOC关系进行拟合，最终拟合函数为：

2 电池SOC 和SOH 联合估计

在电池实际运行中，电池SOC将随着充放电电流而实时变化，对基于电池模型估计SOC的方法来说，电池参数R0随电池老化会逐渐增大，导致最大容量衰减，影响电池SOC估计的准确度，因此，估计电池SOC时应考虑电池SOH的影响。

2.1 分数阶无迹卡尔曼滤波算法估计SOC

本文采用电容器分数阶模型，使用基于unscented 变换的UKF 方法将非线性系统线性化，更有利于处理非线性问题，因此提出了分数阶无迹卡尔曼滤波算法(FOUKF)。分数阶无迹卡尔曼滤波算法的详细步骤如下文。

对于非线性系统，状态方程为：

(1)参数初始化

令k=1，设置系统初值

式中：T 为矩阵的转置。

(2)采样点及权重值

式中：n为状态向量的长度，本文中状态向量长度为3。Wi为采样点的权重，权重值计算如下所示：

(3)时间更新，将采样点通过状态函数从k-1 时刻传递到k时刻

(5)计算输出预测值

(7)利用实际输出值对后验估计值修正

2.2 带可变遗忘因子的最小二乘法

递推最小二乘算法(RLS)在电池模型参数辨识方面已经得到了广泛应用。其原理是利用当前时刻参数的辨识结果与下一时刻系统的输入输出量递推出下一时刻系统的参数值，具体公式如下：

截止到2017年06月30号，株洲市现有“三合一”场所共2886家（随生产周期不同，各统计阶段数量有所差异），主要集中在合泰地区、月塘街道和龙泉街道，其中合泰地区为合泰“三合一”场所，共344家，月塘街道包括富家垅“三合一”场所及其他散户，共1572家；龙泉街道包括康泰服饰工业园、新芦淞工业园和其他散户，共970家，如表1所示。

式中:e(k)、K(k)、P(k)分别为估计误差，增益向量和参数协方差矩阵；λ为遗忘因子。对RLS 算法进行改进，可以得到带可变遗忘因子的最小二乘算法(VFFRLS)，可变遗忘因子表达式为：

式中：λ(k)为可变遗忘因子；λmax和λmin分别为遗忘因子的最大值和最小值；NINT(x)为取整函数；ρ为敏感因子。

2.3 FOUKF+VFFRLS 算法

由于电池状态随时间变化比较明显，而电池的参数在某个瞬间可认为是不变的。如果采用同一时间尺度，会降低系统的计算效率，因此，本文针对电池参数的慢变特性和电池状态的快变特性，采用多尺度方法构造离散时间状态空间方程，即参数估计采用长时间尺度，状态估计采用短时间尺度，分别在宏观和微观尺度预测系统参数和系统状态。更具体地说，我们考虑离散时间非线性系统的状态变量x和参数变量q的情况。

式中：xk,l为时间tk,l=tk,0+l×T(1 ≤l≤L)的系统状态矩阵，这里T为固定测量两个相邻点之间的采样间隔，k和l分别是宏观系统参数和微观系统状态的两个时间尺度指标；uk,l为tk,l时刻的系统输入矩阵；Yk,l为tk,l时刻的系统观测(或测量)矩阵；wk,l和rk分别为状态参数和模型参数的过程噪声矩阵；vk,l为测量噪声矩阵。需要强调的是：L为时间尺度分离的水平，即xk,0=xk-1,L；qk为第k个宏观尺度下的参数矩阵，qk=qk,0:L-1。对于定义的系统，我们的目标是从噪声观测Y中估计系统状态x和模型参数q。FOUKF+VFFRLS 方法具体步骤流程见图5 所示。

图5 FOUKF+VFFRLS 算法流程图

初始参数设定后，根据充放电电压和电流求得电池SOC值和电池模型参数值。电池参数随工作时间进行变化，将会影响电池SOC的估计精度，电池SOC的改变也会对模型参数的数值产生影响。因此，将更新后的参数输出量作为下一次SOC估计的输入量，再将电池SOC估计的输出量作为下一次参数估计的输入量，从而实现电池SOC和SOH联合在线估计。

3 实验与验证

为验证本文所提FOUKF+VFFRLS 方法在储能系统中预测性能的优势性，本文设计了混合动力脉冲能力测试(hybrid pulse power characteristic,HPPC) 实验和 UDDS(urban dynamometer driving schedule)工况实验，实验选用了三元锂电池进行测试。

(1)HPPC 实验步骤：(a)采用恒流恒压充电，截止电流为0.05C，静置2 h；(b)以1C恒流放电3 min，静置2 h；(c)重复上述步骤(b)，直至端电压达到放电截止电压，静置2 h。

(2)UDDS 工况实验步骤：(a)恒流恒压充电，截至电流为0.05C，静置30 min；(b)控制充电机按照UDDS 工况电流进行充放电；(c)重复上述步骤(b)，直至端电压达到放电截止电压。UDDS 工况电流如图6 所示。

图6 UDDS工况电流曲线

在UDDS 工况下对上述所提方法与EKF 算法、UKF 算法和FOUKF 算法进行比较，并作简要分析。实验前将电池充满电并充分静置。电池SOC估算结果及误差对比如图7 和图8 所示。

图7 SOC估算结果

图8 电池SOC值误差对比

从仿真的结果中我们可以看出，在全部的仿真时间里，几种算法估计的电池SOC值都能很好地反应出实际值的变化，但EKF 算法和UKF 算法由于没有考虑到电容分数阶特性，相对其他两种方法误差较大。FOUKF 算法虽采用分数阶模型，却未能考虑电池老化过程对SOC的影响。相比之下，FOUKF-VFFRLS 算法的平均误差和最大估计误差均比其他3 种方法的误差小，分别较EKF 算法提升了0.9%和1.09%，较UKF 算法提升了0.87% 和1.07%，较FOUKF 算法提升了0.18%和0.14%。

从图9 中可以看出，电池SOH值在真值附近波动并略有下降，符合电池实际运行时SOH的变化规律，最大误差控制在0.6%以内，满足了估算精度要求。

图9 SOH估计结果

由以上分析可知，该算法反映了电池的实际特性，且在复杂电流工况下得到了较高的估计精度，充分体现了本文所提出的联合估计算法的优越性。

4 结论

为提高电池SOC估算精度，本文提出了一种基于FOUKF-VFFRLS 算法的锂电池SOC估算方法，并在UDDS工况下与多种SOC估算方法进行对比，得出以下结论。

(1)分数阶模型比整数阶模型能更精确地表示出电池运行时的动态特性，具有更高的精确度。

(2)电池老化过程会影响SOC的估计精度，考虑电池SOH等因素能更精准地估计出电池SOC。

(3)FOUKF-VFFRLS 算法比FOUKF 等算法更适合用于对锂电池SOC的预测。