基于改进Lyapunov泛函的时变时滞系统稳定性分析

张镇佳，姜偕富，戎佳豪，赵 冰

(杭州电子科技大学自动化学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

实际应用中，网络控制系统、电力系统和神经网络系统等往往出现时滞现象，导致系统性能下降，甚至发生系统稳定性突变[1]。过去的几十年间，学者们在如何有效降低时滞系统稳定性判据的保守性问题上进行了大量研究，取得了许多研究成果。文献[2-4]在构造L-K泛函时，加入时滞-乘积项，引入时滞和时滞导数的相关信息，一定程度上降低了稳定性判据的保守性，但在积分项界定上仍有较大的保守性；文献[5]在原有的倒数凸组合方法的基础上，运用扩展的倒数凸组合不等式，减小了时滞相关的倒数凸组合不等式的决策变量数，获得了一个保守性较小的稳定性判据，但运算过程相对繁琐；文献[6]采用Bessel-Legendre不等式来界定L-K泛函求导产生的积分项，并通过改变分段数来降低稳定性判据的保守性，但是，随着分段数的增大，计算复杂度随之提高；文献[7]运用基于自由矩阵的积分不等式来处理积分项，虽然得到一个保守性较小的结果，但引入较多自由变量，加大了计算量；文献[8]建立了增广型的零等式，得出一个具有较小保守性的稳定性准则，但计算量较大。本文主要研究时变时滞系统的稳定性问题，在文献[8-10]的基础上，利用更多的时滞相关信息，构造了一个改进的增广型L-K泛函，给出一个低保守性的稳定性准则，并通过分析含有外部干扰和参数不确定性的时滞系统的鲁棒H∞稳定性问题，给出一个鲁棒H∞的稳定条件。

1 线性时变时滞系统稳定性分析

假设线性时变时滞系统如下：

(1)

定理1对于给定标量h>0，μk(k=1,2)，如果存在正定矩阵P∈R7n×7n，Qi∈R6n×6n，Ui∈R5n×5n，Mi∈Rn×n和任意矩阵Si∈R3n×3n(i=1，2)，使得如下矩阵不等式成立，

(2)

(3)

则系统(1)渐近稳定。其中

证明构造如下形式的L-K泛函，

V(xt)=V1(xt)+V2(xt)+V3(xt)+V4(xt)

(4)

对V(xt)进行求导，可得：

(5)

(6)

联立式(5)—式(6)，可得：

(7)

则当

(8)

2 具有参数不确定性的线性时变时滞系统鲁棒稳定性分析

在工程应用中，系统的不确定性和外部干扰是不可避免的，因此，考虑系统参数的不确定性，将系统(1)改写为：

(9)

(10)

定理2对于给定的标量h>0，μk(k=1,2)，如果存在标量λ>0，正定矩阵P∈R7n×7n，Qi∈R6n×6n，Ui∈R5n×5n，Mi∈Rn×n和任意矩阵Si∈R3n×3n(i=1，2)，使得下述矩阵不等式成立，则系统(10)鲁棒稳定，且满足H∞性能指标γ。

(11)

(12)

证明构造如定理1中的L-K泛函，并采用定理1中类似的证明过程得到式(7)，对式(7)中的A,Ad分别用A+HF(t)Ea和Ad+HF(t)Eb进行替换，可得：

(13)

由于LMI运算不能处理含有F(t)的项，故将其分离，可得：

(14)

(15)

成立。

运用Schur补引理对式(15)进行变换，可得：

(16)

根据式(11)—式(12)可知：

(17)

3 数值算例

运用MATLAB中的LMI工具箱对定理1和定理2进行求解，得到最大允许时滞上界和最小干扰抑制度，并通过3个数例来验算本文方法的保守性。

例1使用如下的时滞系统[8]：

令μ=-μ1=μ2，改变μ的取值，分别采用文献[8]、文献[9]和本文的方法进行验算，得到的最大时滞上界如表1所示。

表1 例1中，μ取不同值时，不同方法的最大允许时滞上界h

从表1可以看出，3种方法中，μ相同时，本文定理1得到的最大允许时滞上界最大，保守性更小。与文献[9]定理3相比，本文定理1虽然引入了较多的决策变量，计算复杂度有所增加，但其保守性小于文献[9]方法。

例2使用如下的时滞系统[9-10]：

令μ=-μ1=μ2，改变μ的取值，分别采用文献[9]、文献[10]、文献[14]和本文的方法进行验算，得到各文献的最大时滞上界如表2所示。

表2 例2中，μ取不同值时，不同方法的最大允许时滞上界h

由表2可以看出，4种方法中，当μ相同时，本文定理1得到的最大允许时滞上界最大。因为本文改进了时滞乘积项和单重积分项，运用了更多的时滞相关项，有效降低了结果的保守性。

通过上述2个用例的验算可知，采用本文定理1得到的线性时滞系统的稳定性准则具有更小的保守性。

例3对系统(10)使用如下参数设置[15]：

当时滞上界h=1.057，μ=-μ1=μ2=0.9时，根据已给系统参数，运用LMI工具箱分别对定理2和文献[15]中的定理2进行计算，得到各自的最小干扰抑制度γ。通过文献[15]定理2得到γ=1。本文在确定时滞上界h=1.057的情况下，通过定理2得到γ=0.71，与文献[15]方法相比，本文定理2得到的干扰抑制度更小，具有更强的抗干扰能力。

4 结束语

针对时变时滞系统，本文给出一个改进的时滞乘积型L-K泛函。通过改进现有的L-K泛函得到一个决策变量少、保守性小的时滞相关稳定性准则；并将改进的L-K泛函应用于具有参数不确定性的时滞系统中，给出一个具有较小保守性的鲁棒H∞稳定性准则。但是，本文并未考虑非线性因素，下一步将本文方法应用于非线性时滞系统的相关研究中。