四旋翼飞行器最优滑模姿态控制

肖祖铭，郭 瞻

（景德镇学院，江西 景德镇 333000）

1 引言

近年来，四旋翼飞行器由于其体积小、重量轻、机械结构简单、机动性能好等诸多优点，被广泛引用于航拍、实时监控、地形勘探、救灾救援、军事侦察等任务中，发挥出不可替代的独特优势。四旋翼飞行器的姿态控制对于完成航拍、实时监控等特殊任务，发挥垂直起降、悬停等优点非常关键，因此受到广大学者的关注。由于四旋翼飞行器具有高度非线性、强耦合、欠驱动、干扰敏感等特点，使得经典PID控制技术受到很大限制。因此，利用现代控制理论的方法研究四旋翼飞行器姿态控制已成为主流。比较典型的现代控制理论方法主要有：线性二次型最优调节控制LQR［1］、滑模控制［2-3］、反步法控制［4］、动态逆控制［5］以及H∞控制［6］等。LQR控制方法是基于系统线性模型而设计，具有一定的局限性。滑模控制，作为一种典型的鲁棒控制方法已被广泛应用，但滑模颤抖现象不容忽视。反步法和动态逆控制方法虽然拥有其独特的优势，但均没有考虑系统的最优性能。线性H∞控制方法同样是基于系统线性化模型设计，而非线性H∞控制方法必须要求解复杂的偏微分方程，具有一定的难度。

最优控制是工程控制领域期望达到的性能，面对四旋翼飞行器高度非线性，强耦合等特性，非线性最优控制能够发挥其最大的优点，但其非线性最优解的求解比较困难。因此，文献［7］在姿态内环通过SDRE 方法实现了四旋翼飞行器的姿态最优控制。SDRE 控制方法能够利用线性系统的控制方法实现非线性系统控制，已经得到了很好的发展。但SDRE控制方法并未考虑系统内部干扰、外部扰动等不确定因素的影响。而不确定项的存在经常会削弱系统的性能，甚至破坏系统的稳定性，因此，鲁棒控制器的设计至关重要。加入干扰观测器是一种能够逼近外部未知扰动的有效方法［8-9］，但在控制律的设计过程中往往忽略了系统所要求的最优特性。

因此这里针对四旋翼飞行器高度非线性、强耦合、易受干扰等特点，主要设计基于非线性干扰观测器的四旋翼飞行器鲁棒SDRE姿态控制系统，采用SDRE控制方法来稳定闭环系统，滑模控制部分主要用来补偿不确定干扰项影响。达到消除内部干扰和外部扰动的目的，保证了系统的稳定性。数值仿真结果表明该系统不仅对不匹配干扰具有较强的鲁棒性，还保证闭环系统的稳定性，达到飞行性能最优。

2 系统建模

四旋翼飞行器利用现代控制理论的方法研究四旋翼飞行器姿态控制已成为主流［10］。这里主要研究四旋翼飞行器的姿态运动控制，面对四旋翼飞行器高度非线性，强耦合等特性，非线性最优控制能够发挥其最大的优点，因此先建立四旋翼飞行器飞行姿态动力学模型。

如图1 所示，以OE为地面坐标系原点，建立惯性坐标系(xe，ye，ze)，以OB为飞行器质心，建立机体坐标系(xb，yb，zb)，由机体坐标系和地面坐标系的转换关系可得飞行器的飞行运动姿态方程［11］：

图1 四旋翼飞行器的结构及其坐标系Fig.1 The Structure and Coordinate System of Quadcopter

四旋翼飞行器通过滚转角、俯仰角、偏航角来控制飞行器的飞行姿态。

式中：φ—飞行器的滚转角；θ—俯仰角；ψ—偏航角，用Ω =(φ，θ，ψ)T来表示，根据拉格朗日建模方程，建立四旋翼飞行器姿态运动方程：

式中：I—飞行器转动惯量；ω—飞行器转子转速；M—飞行器机体轴受到的合力矩。即：

式中：MR—飞行器升力产生的力矩；

MG—飞行器陀螺效应；

MD—空气阻力；

Md—外部扰动产生的力矩。

如果考虑到飞行器体积小、旋翼转动惯量小、飞行速度不快等特点，产生的阻力力矩和陀螺效应较小，可以忽略不计，则该飞行器各机体轴合力矩可简化为：

式中：Δ—飞行器产生的阻力力矩和陀螺效应。

飞行器升力产生的力矩MR为：

式中：l—飞行器质心到电机轴心的间距；

b—升力系数；

k—阻力系数。

因此四旋翼飞行器姿态控制方程为：

由式（3）～式（6）可得四旋翼飞行器完整的姿态动力学模型：

3 姿态控制律设计

根据四旋翼飞行器姿态动力学模型（7），通过定义输入变量u=(u1，u2，u3)T，状态变量，得出该飞行器仿射非线性形式为：

式中：Δf(x，t)—飞行器的不确定干扰项。

假设1：不确定干扰项Δf(x，t)不满足匹配条件，即存在一个已知函数k(x) 和一个未知连续有界函数d(t)，使得Δf(x，t)=k(x)d(t)，且

因此，这里设计的四旋翼飞行器姿态控制器，如图2 所示。该控制器主要分为两部分：SDRE控制部分主要用来稳定闭环系统，并获得理想性能；滑模控制部分主要用来补偿不确定干扰项影响。因此最优滑模控制律可表示为如下形式：

图2 四旋翼姿态控制器Fig.2 Quadrotor Attitude Controller

式中：uo—SDRE控制部分；us—滑模控制部分。

3.1 姿态控制器设计

四旋翼飞行器控制一般都是通过嵌套的内外环控制实现，其中内环是姿态换，外环是位置换。假设无干扰情况下，即d(t)= 0，对四旋翼飞行器姿态动力学建模为：

SDRE控制方法是通过对非线性系统分解，利用线性二次调节器（LQR），很容易得到其仿射非线性形式：

其中，矩阵A(x)，B(x) 的取值与系统当前状态相关，同时保证系统可控，即矩阵[B(x)，A(x)B(x)，…，An-1(x)B(x) ]逐点可控。

定义状态相关性能指标函数如下：

其中，权重矩阵Q(x)=QT(x) ≥0，R(x)=RT(x) ＞0，矩阵Q(x)和R(x)均与状态相关，参数取值不唯一。

根据汉密尔顿最优控制理论，定义函数为：

得最优控制解：

其中，矩阵P(x)满足状态相关Riccati方程：

通过上述对Riccati方程求解，最优控制uo就可得到。然而，该控制器主要针对系统无干扰情况设计。一旦系统出现干扰，则上述最优控制器不再保证闭环系统的稳定性。因此，有必要设计干扰补偿控制器，使之能够有效补偿干扰影响，实现鲁棒最优控制效果。首先设计干扰观测器对未知外界干扰估计，然后设计基于干扰观测器的滑模控制器，补偿外部未知扰动的影响。

3.2 干扰观测器设计

干扰补偿控制器用来抵消外部有界干扰、未建模的非线性因素以及参数不确定性带来的影响。这里设计的干扰补偿控制器是非线性的，可以对干扰实时估值，减少干扰影响。该干扰观测器设计如下：

式中：(t)—未知干扰d(t)的实时在线估计值，该非线性干扰观测

器满足如下条件：

值得注意的是，非线性函数q(x) 的选择必须保证q(x)g(x)正定，即q(x)g(x) ＞0。

因此，干扰估计误差动态特性可表示为：

3.3 滑模控制器设计

设计积分滑模面为：

式中：G(x)—设计的矩阵，从而使得G(x)g(x)非奇异。

因此，为补偿未知干扰影响，结合非线性干扰观测器，设计如下滑模控制器：

式中：γ0＞0—设计参数；sign(·)—符号函数。

构造稳定性判定矩阵函数：

则对式（20）求导，可得：

麻石水电站建设时定为Ⅲ等工程，扩建工程如按II等工程设计，则需按100年洪水设计，1000年洪水校核，洪水标准将比麻石水电站一期工程目前的洪水标准高（麻石水电站一期工程按50年洪水设计，500年洪水校核），上游设计、校核洪水位也将相应抬高，与现有电站特征水位不一致，因此，扩建工程的洪水标准须结合一期工程的洪水标准综合考虑。综合以上，扩建工程仍按Ⅲ等工程设计。河床式厂房、混凝土坝及土坝按3级建筑物设计；上、下游尾水导墙和挡墙，按4级建筑物设计[1]。

将式（17）和式（19）代入式（21），整理可得：

从而保证了闭环系统的稳定性。

4 仿真验证

为验证所设计方法的有效性，在MATLAB 中搭建了四旋翼飞行器仿真模型，对以上建立的动力学模型和控制模型进行仿真分析。

针对式（7）中四旋翼飞行器姿态动力学模型，首先将其分解成State-Dependent Coefficients（SDC）形式且保证系统可控。选取系统状态变量，控制输入u=(u1，u2，u3)T，分解后四旋翼姿态模型表述为：

其中，系数a1=x6I1，a2=x6I2，a3=x2I3，系数b1，b2，b3如式（6）定义。

假设飞行器初始状态为：x0=[ 0.2，0，-0.1，0，0.1，0]T，输入wd= 0，SDRE控制律设计参数如下：

仿真过程中，四旋翼飞行器结构参数如下：

为充分检验控制器的控制效果和鲁棒性，对系统加入外界力矩干扰，得到仿真结果如图所示。在外界干扰影响下，这里设计的最优滑模控制器姿态角及姿态角速率响应曲线平滑，而没有进行干扰补偿的常规控制器系统滚转角将趋于一个常值，从而影响飞行器飞行品质，导致飞行器失稳，如图3、图4所示。

图3 姿态角对比曲线Fig.3 Comparison Curve of Attitude Angle

图4 姿态角速率对比曲线Fig.4 Comparison Curve of Attitude Angle Rate

进一步说明了这里设计的最优滑模控制器的有效性，如图5、图6所示。从俯仰角局部放大图中可以看到这里鲁棒控制器存在的稳态误差非常小，只有0.007，滚转角最大误差为0.006，误差值远低于常规控制器。该干扰观测器对外界干扰进行实时在线估值，曲线基本重合，对干扰的估值效果良好，这也为这里鲁棒控制器的设计提供了保障，如图7所示。控制输入响应曲线，如图8所示。可以看出，由于在t＞10s后，飞行器受常值干扰影响，因此，控制输入u1同样收敛到一个常值用于补偿干扰，有效的地抑制了干扰影响，显示出很强的鲁棒性。

图5 姿态角响应曲线Fig.5 Response Curve of Attitude Angle

图6 姿态角速率响应曲线Fig.6 Response Curve of Attitude Angle Rate

图7 干扰估计响应曲线Fig.7 Response Curve of Disturbance Estimation

图8 控制输入曲线Fig.8 Control Curve of the Input

值得注意的是，这里所给的干扰在t ＞10s时，属于常值干扰，这必然会影响飞行器飞行品质，甚至破坏系统的稳定性。但在这里设计的鲁棒最优控制律作用下，系统依然能够保持很好的稳定性，充分说明了该控制律的有效性以及该设计方法的可行性。

5 总结

在四旋翼飞行器姿态运动模型基础上，主要针对未知不匹配干扰设计非线性干扰观测器，在此基础上，设计滑模控制输入，对不匹配干扰进行补偿，然后利用SDRE控制方法，针对标称系统设计最优控制器。因此，设计的最优滑模控制器不仅能够保证闭环系统的最优性，同时提升了系统的抗干扰能力，增强了鲁棒性，对其他飞行器抗干扰方面具有一定的参考价值。