对一道源自课本的高考试题的再探究
2022-08-19周长春
中学数学 2022年8期
周长春
(北京市第二中学 100010)
2016年浙江省高考数学理科卷第15题为：已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有则·的最大值是．
文[1]对该题进行了深入的探究，不仅给出了5种不同的解法，而且得到了3个一般化的结论，读后让人深受启发.笔者对该题“再”探究，思考如下问题：
①该题还有没有别的解法？
②如果将改为|·|(其他条件不变)，又该如何求解？即如何求(|·|+|·|)？③将②推广到一般情形后的结论又是怎样的？
笔者通过挖掘|·|+|·|的几何意义，借助几何直观，得到如下解决过程．1 利用几何意义求解
(1)构造|·|+|·|的几何意义设与的夹角为θ
，，与的夹角分别为θ
，θ
，则·=2cosθ
，因为求的是·的最大值，故只考虑又因为当θ
=0时，取与,同向，则故只考虑
图1
如图1，过点O
作将绕点O
逆时针旋转90°，绕点O
顺时针旋转90°，分别得到向量分别作点C
,D
关于点O
的对称点E
,F
,则四边形CDEF
为平行四边形.当在∠EOF
内(含边界)时，延长MO
交CD
于点P
,记∠OPC
=α
,故|·|+|·|=这就是|·|+|·|的几何意义.(2)求|·|+|·|的最大值下面利用|·|+|·|的几何意义求 |·|+|·|的最大值.当在∠EOF
内(含边界)时，当时取“=”，事实上，此时与+共线.当在∠COD
内(含边界)时,由对称性知当在∠COF
或∠EOD
内时,同理知易知△AOB
≌△EOD
,所以所以在△AOB
与△COD
中,由知故此时综上，因此原题题意等价于即·的最大值是.下面考虑和的情形.
易知
当时，
图2
当时，如图所以(|·|+|·|)事 实上，此时与-共线).由以上分析可知，对任意给定的θ
∈(0,π)，=max{|+|,|-|}.当θ
=0或θ
=π时，上述结论也成立.因此，将问题一般化，利用|·|+|·|的几何意义可得出如下结论：设，为非零向量，则对任意单位向量，有(|·|+|·|)=max{|+|,|-|}.设，为非零向量，||=m
，||=n
，利用上面的方法很容易得到文[1]的3个结论，这里就不赘述了.2 几何意义的应用
(1)变式探究
(变式)已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有则·的最大值是．对任意单位向量，均有因此需要求(|·|+|·|).若
θ
∈(0,π)，如图1，当在∠EOF
内(含边界)时，因为所以∠ODC
<∠OCD
,sin∠ODC
P
与点D
重合，即与同向时(此时当在∠COD
内(含边界)时,由对称性知(|·|+|·|)=sinθ.
当在∠COF
或∠EOD
内时，同理知故当⊥时，(|·|+|·|)=sinθ.
若θ
=0或π，则当⊥时，(|·|+|·|)=0=sinθ.
综上，(|·|+|·|)=sinθ.
对于上面的变式，因此即·的最大值是此题如果不采取上述方法，解决起来往往非常麻烦，有兴趣的读者不妨一试.
(2)推广探究
将上述变式推广到一般情形，笔者经过探索得到了如下一系列结论：
结论1
已知非零向量,，||=m
，||=n
(m
≤n
)，与的夹角为θ
，为任意单位向量，则当且仅当⊥时，(|·|+|·|)=m
sinθ.
结论2
已知非零向量，，||=m
，||=n
(m
≤n
)，若对任意单位向量，均有|·|+ |·|≥r
，其中r
为正常数，则当且仅当r
≤m
时，，存在.结论3
已知非零向量，，||=m
，||=n
(m
≤n
)，若对任意单位向量，均有|·|+ |·|≥m
，则⊥.
结论4
已知非零向量，，||=m
，||=n
(m
≤n
)，若对任意单位向量，均有|·|+ |·|≥r
，其中常数r
∈(0,m
)，则·的取值范围为这些结论的证明方法与上述变式求解过程完全相同，这里略去.
本文是对一道源自课本的高考试题的“再”探究.在探究过程中，一方面强调换个角度思考，深入挖掘|·|+|·|的几何意义，借助几何直观、数形结合来解决问题；另一方面强调变式，并试着做一般化处理.在平时教学中，教师如果能在引导学生多角度思考问题(一题多解)以及对题目进行变式求解(一题多变)方面多花功夫，对于提升学生的数学核心素养、培养学生灵活运用所学知识分析问题和解决问题的能力，是大有裨益的.