数学建模思想在物流管理课程教学中的应用研究

何胜学，崔允汀

（上海理工大学 管理学院，上海 200093）

0 引 言

物流管理是一门管理类专业课程，也是物流工程、工业工程、管理科学与工程专业的重点课程。物流管理课程的内容丰富，涵盖众多的实际应用场景，需要利用一定的数学工具分析和解决问题。目前物流管理课程的教学实践中较少系统利用数学建模思想引入问题、处理分析问题、拓展问题应用场景。而数学建模作为“培养学生数学素养，提升学生应用数学知识分析问题能力”的一个主要方式在中学和大学都得到了广泛关注和欢迎。一年一度的大学生数学建模大赛吸引了大量的学生参与，每年暑假许多高校校园里可以看到众多的学生为该赛事备战。在上述大环境下，“如何将数学建模思想引入物流管理课程的教学实践，从而夯实物流管理课程教学的实效，提升学生利用数学建模理论解决实际问题的能力”就成了相关教育工作者亟待解决的问题。

下面简要介绍当前相关的研究现状。首先简介物流管理课程教学方面的研究。文献[1]对物流系统中涉及的数学模型进行了总结介绍。文献[2]针对物流系统规划与设计的课程内容设置及教学效果提升给出了具体的策略。文献[3]分析总结了物流建模与仿真课程教学改革的研究与实践。文献[4]探究物流管理学科中学生在学习数学时产生问题的根源，提议从教学模式、教学内容、考评方式等方面有目的性地进行一些改革。文献[5]探讨基于任务驱动的物流管理课程混合式教学改革研究与实践。文献[6]以经典的运输问题为例对数学建模在物流管理中的应用进行了一个典型案例分析。文献[7]基于物流管理课程教学的特点和现状进行分析，探讨在信息化背景下如何发挥其教学优势。文献[8]以物流管理课程为例，从知识空间映射的角度研究了混合式学习路径。

针对数学建模在课程教学中的应用，近年研究者也进行了大量研究。其中，文献[9]论述了数学建模实质上就是科学研究的主要思想和武器，建议从科学研究的角度重构了数学建模教学内容。文献[10]提出从建模活动的基础、数学建模与传统数学教学的关系、数学建模活动的形式和教师培训等方面出发完善数学建模活动。文献[11]提出开展数学建模教育的最佳方式是融入数学课程的教学。文献[12]将数学建模课程分为预期课程、实施课程和达到课程，并阐述了实施数学建模的教育研究的主要方法。文献[13]总结了数学建模对学生构建数学底层思维的作用。文献[14]回顾了数学建模竞赛活动的起源和发展，并介绍了国内外学者关于提高数学建模教学质量的主要观点。文献[15]指出教育量化研究的本质就是通过建立数学模型以达到解决相关教育问题的目的。文献[16]从科学发展的角度解释了什么是数学建模，指出数学建模在推动数学学科发展及培养创新型人才方面发挥着重要作用。文献[17]提出在智能教育背景下应当全方位开展数学建模教育教学。

与现有研究不同，本文将数学建模处理问题的基本框架和思想引入物流管理课程的教学，给出了具体的实施步骤，从而使物流管理中应用场景的建模与分析更完善更有效。本文后续内容的组织如下：分析物流管理与数学建模的内在联系；给出在课程教学中引入数学建模思想的具体步骤；利用一个例子说明方法的有效性；最后，对全文加以总结，并展望本研究对其他课程教学实践改革的借鉴意义。

1 物流管理与数学建模的关联性

数学建模是利用数学工具与数学语言将现实中问题场景加以抽象表述，从而有利于抓住问题的核心或关键矛盾，便于解决问题，揭示现象背后的内在规律。数学建模是一个复杂但有序的思考并解决问题的方法。数学建模的基本操作过程包括：审视现实场景，明确问题；选择数学工具，构建数学模型；考察模型特征，确定求解的思路方法；将模型求解转化为计算机程序，实现模型的数值求解；将数值解转化为现实问题需要的答案；判断求解结果的合理性，对模型进一步加以修正和改进。一般而言，数学建模涉及现实场景分析、数学建模与求解，以及计算机处理三个部分。数学建模通过对问题抽象与分析，不仅可以加深对问题的理解，也可以提升建模者自身的数学素养和增强其利用数学理论处理现实问题的能力。文献[14]将数学建模的基本框架总结为图1给出的9个步骤。

图1 数学建模的基本流程框架[14]

物流管理是一门应用型的管理类课程，包含大量的实际物流问题。这些问题可以为数学建模提供大量的分析素材。其中主要的一些问题场景包括：物流设施的选址、物流线路的规划、物流仓储的设计、物流车队的管理、物流库存的管理、物流的需求预测等。上述的场景可以进一步细分，如库存管理可以分为单一货物的库存管理、多种货物的库存管理、随机的库存管理、动态的库存管理等。物流课程也大量应用各种数学工具，包括：统计学工具、概率论、最优化理论、现代控制理论、人工智能、大数据分析等。

尽管物流管理课程包括大量可以用作数学建模实践的素材，但在一般的教学过程中，教师会基于这些应用场景直接给出相关的数学模型，同时较少涉及寻找问题模型的有效解法。上述做法的前提是学生已经通过其他课程的学习掌握了相关的数学工具，因此可以对相关模型进行有效求解。但是实际情况往往并非如此，在作者多年的教学中发现，学生即使学习过相关的知识，也较难将其加以适当应用。因此，在物流管理教学中，理解相关的数学模型，并对模型加以求解往往成为学生和老师共同头痛的问题。

通过前面的分析，可以看出物流管理课程与数学建模之间存在一种相互依存互补的关系。一方面，数学建模提供一套完善的处理现实物流管理类问题的思路方法。另一方面，物流管理课程本身的内容为数学建模的实践提供了丰富的素材。如果在物流管理的课程教学中引入数学建模的思想，将为解决目前物流管理教学中存在的问题提供一种新思路。

2 应用数学建模思想的具体方法

基于上一节对数学建模和物流管理课程的分析，可以设计在课程教学中引入数学建模思想的具体方法。下面从教学内容、教学活动场所、教学活动形式角度对引入数学建模思想的具体步骤加以阐述。具体步骤如下：

步骤1：给出现实场景，提出问题。在这一步，教师可以通过提供场景资料，并进行简要分析，提出需要解决的问题，并布置学生课后需要思考的问题。

步骤2：了解背景知识，分析现实场景，提炼关键信息。这一步需课外完成，学生可以自主搜集资料，学习相关的背景知识，然后深入研读问题提出的现实场景，提炼解决问题的关键信息。

步骤3：选择合适的数学工具，构建模型。在学生已经深入学习背景知识的条件下，老师可以在课堂上引导学生选择合适的数学建模工具对问题加以模型化描述。模型的建构以满足约束，明晰简洁为原则。鼓励学生参与，以试错的方式对各种提议加以分析。

步骤4：分析模型特征，确定求解方法。在模型建立完成后，需要对模型特征加以分析。这里需要明确模型的基本类型、模型的复杂度，以及模型的现有求解方法。在确定具体解决方法时，应当鼓励学生尝试各种可能，并对现有方法可能存在的问题进行讨论。

步骤5：利用计算机完成问题的数值求解。这一步主要需要学生分组在课后完成。根据选择的解决方案，学生需要采用不同的软件或计算机编程语言将求解方法加以程序实现。这里同组同学的协作与讨论必不可少。

步骤6：对得到的结果加以验证与分析。计算机程序完成后，学生需要将现实场景数据或收集的相关数据代入程序，通过计算得到数值解。学生课外需要对解的合理性和完备性等进行初步的判断，撰写相关的工作报告。

步骤7：根据问题解决的情况，修正已有模型。这一步一般在课堂上进行。首先各小组对前期工作进行汇报，分析存在的问题。如果求得的解不满足一些现实的限制条件，就需要对模型加以完善或对求解程序进行修改。

步骤8：拓展思考，引出后续研究。这一步是在完成问题的解答后进行的一个拓展性工作。教师可以在原有问题基础上增加或改变问题条件，引导学生思考条件更为宽泛的问题。当然这一步也可以顺便成为后续一个新问题的引入环节。

3 案例分析

这一节将通过一个例子对上一节的方法进行演示说明。

首先，在课堂上从物流配送的角度出发对配送员的配送工作进行简单介绍，并将上述问题与图论中的经典中国邮递员问题（Chinese Postman Problem，CPP）加以类比，最后将如何求解和描述中国邮递员问题留作课后作业。

学生在课后需要搜索中国邮递员问题相关的资料，并加以研读。对于部分学生而言，可能会对资料中涉及的图论求解算法感到迷惑不解。接着，在回到课堂后，老师需要通过与学生的交流，一方面解释图论的相关基本概念，并对CPP问题的三种基本形式加以介绍。令G（ V,E∪A ）表示一个由节点集合V、有向弧段集合A和无向边集合E形成的网络图。令Ø为空集。如果E=Ø，图G（ V,A）称为有向图；而当A=Ø，图G（ V,E）称为无向图；当有向弧段集合A和无向边集合E均为非空集合时，得到的图为混合图。一般而言，需假设考虑的图为一个连通图。令i∈V表示一个节点；（i,j）∈A表示一条从节点i到节点j的有向弧段；x和c分别表示邮递员途经（i,j）∈A的次数和途经一次该弧段的费用。基于前述的讨论和给出的图论概念，可以分别就有向图、无向图和混合图上的CPP问题建立如下数学模型。

有向图上的CPP模型如下：

无向图上的CPP模型如下：

最后是混合图上的CPP模型：

模型建立后，需要对三个模型的目标、约束、以及三者之间的差异加以解释和分析。对于三个模型差异，以及将一条无向边转化为两条有向弧段的操作需从建模的角度特别加以说明。

从上述模型变量的非负整数取值范围，以及约束与目标函数的线性特征，可将其归于线性整数规划问题。在确定上述模型的具体解法时，应当从现实中邮递员的个人决策出发，引入诸如启发式的最近邻居法，并从问题发展的角度介绍奇偶点图上作业。而从模型的基本类别出发，对如何应用一些经典算法，如分支定界法，做一些操作层面的分析。通过讨论，引导学生应用一些常用的启发式算法，如遗传算法，对问题求解。

在进行课外的计算机编程求解活动时，可以将学生分组，并分配不同的算法实现任务；而在小组内部鼓励进一步分工协作，如将数据收集、编写程序与结果分析分派给不同的组员负责。

接下来，在汇总已有的工作基础上，在课堂上对所建模型和各种算法的差异及优劣进行比较分析；通过讨论来改进模型描述或算法实现的具体步骤等。

最后，需要对问题的现实场景进行拓展。通过课堂讨论，将对基本CPP问题的研究引入到对更加复杂和应用范围更加广泛的问题的思考。可拓展的问题包括乡村邮递员问题、弧路径问题、旅行商问题和一般的车辆路径问题。这些拓展性的讨论与分析，可以作为接下来的问题导引。事实上，从CPP可以引入的问题还很多，如现在的无人机配送研究。

通过对CPP教学过程的梳理和介绍，可以看出将数学建模的思想引入物流管理的课程教学是可行且有效的。当然，教师也应根据具体的问题对实施的步骤做一些适应的调整。

4 结论

数学建模思想提供了一个对物流管理中各种应用场景进行分析建模的系统化方法。通过将数学建模思想的分析框架引入物流管理的课程教学，不仅加深了学生对物流问题的理解，使其产生对问题深入学习的兴趣，而且提高了学生应用数学知识解决实际问题的能力。本文提出的方法也可以通过适当的调整应用于其他课程的教学实践，例如可以将本文的方法应用于《运筹学》与《生产与运作管理》的课程教学。