发展数学说理能力 促进学生深度学习

福建省厦门市第五中学 万珠明

数学说理能力是指以高阶思维的发展和实际问题的解决为目标,学生通过说理，引发了深层次的数学思考，迸发了潜能，深化了对数学本质的理解。学生从“知其一不知其二”的浅层学习向深度学习延展，从而达成学生高阶思维能力的培养，数学学习的魅力也会逐步凸显，学习走向深度，最终达成“想明白、说清楚”的深度学习的培养目标。

深度学习的核心是发展素养、提高能力，要让学生学会主动思考、经历过程、学会质疑、批判运用与思维进阶。随着课堂教学改革的深入，针对小学数学课堂的深度学习更是越来越多地被关注与研究。而数学说理是一项重要的数学素养，学会说理是学科语言素养和思维能力不断累积与进阶的过程，在这个过程中学生的学习经验、数学表达能力、思维逻辑体系不断地得到提高和完善。如何基于知识学习的广度、深度、关联度来发展数学说理能力，让“深度学习”真实落地，最终使学生获得数学学科素养的发展，达成立德树人的根本任务，是需要我们在教育教学中不断地学习与钻研的。

一、创设有效情境，提供说理机会

恩格斯说：“数学是一门研究数与形的空间形式的学科。”教师应该创设学生熟悉的问题情境，充分调动学生学习的积极性，让数与形越发生动有趣。通过愉悦的、丰富有趣的情境，带领学生融入畅所欲言、安全的、自由的学习场景中来，激发学生言说表达的欲望，让更多的不同层次的孩子有意愿、有机会、有勇气来表达自我。基于学情设计好科学的问题情境就是在为学生搭建深化认识的脚手架，良好地构设新旧知识的联结，孵化了说理的载体。

我们通过创设情境让学生回到分数的定义中去。分数的定义：将一个整体平均分成m份，表示这样的1份或n份的数叫作分数。这里对“n份”没有限制，它可以是任何自然数。学生受“真分数”学习的前摄抑制，往往觉得分数就要分子小于分母。我们采用这样的累加情境的设计，可以很好地突破这一障碍，孵化说理能力。这样的设计着眼于学生学习困惑上的调整，使假分数概念的建构有更适宜的土壤，让学生实现了深度学习的开启。

教师利用合适的情境组织数学学习活动，搭建情与理相融的课堂，能够促进师生之间、生生之间的交流对话，实现学习过程中的深度互动。

二、重视活动经验，积淀说理载体

学生对抽象的数学知识的理解和表达是有难度的，我们可以借助几何直观地让学生亲身经历、感受。学生在体验中调动多种感官参与，发展学习数学的兴趣，提升了思维的主动性和深刻性，并在探索的过程中逐步加深对知识的理解。通过活动经验的积累，孩子的说理能力自然会积淀，也逐步实现形象化到抽象化思维的进阶，深入思考数学知识、规律等背后隐藏的道理，达成深度学习。

例如，在教四年级“三角形内角和”这节课时，教师可以通过提出关键问题“你想研究三角形的内角和的度数吗？”“谁来说说你是怎么研究出结论的？”“三角形内角和和什么无关？”，结合关键活动开展探究：“初次猜想→测量（再猜想）→验证→再次验证”，多个维度的活动让说理更有理有据，学习走向深度。

活动探究：①初次猜想：三角形内角和是多少度？

②测量：测量形状、大小不一的三角形内角和大约是多少度。

③验证：开展小组合作，利用三角形、四边形纸质学具，通过剪、拼、折等验证你的猜想。

④再次验证：借助信息技术几何画板动画演示进行再次验证。

教师创设螺旋上升的科学探究活动，让学生积累了基本活动经验，重组和完善了知识结构。活动中学生实践、交流、碰撞，获得“三角形内角和是180°”，并通过活动感受到三角形的内角和与它的形状、大小、边长无关这一知识本质。数学说理如果停留在语言上的空对空，那么学习必是浅层次的，知识一定是容易遗忘的。我们借助数学活动经验体验和累积，丰富学生的认知和理解，并在实际应用中深化活动经验，进而助力学生有深度地思考与学习。

三、巧用多元表征，厚植说理深度

说理表达，不仅仅是言说表达，也包括非言说表达。言说表达和非言说表达都指向揭示数学知识的本质。常见的非言说表达有画示意图、直观演示、纸笔演绎、操作实验等多元表征方式。当学生言说表达有困难的时候，我们可以借助多元表征来辅助表达。以概念教学为例，它往往比较单一、抽象，我们更要充分利用多元表征方式，表征越丰富，学生对概念的理解会越到位，越能认识其本质。如果教师的教学都仅用单一表征来呈现的话，学生无法获取到更多更全的信息，也就会产生更差异化的获得。所以我们应该更合理地利用多维表征、多角度思考等方式开展教学，助力学生抽象归纳的思维进阶，发展推理分析、模型建构的数学思考，促进了对数学深度学习的构建，同时也培养了学生思维的严谨性和数学语言的精练性。

例如，在教“行程问题”中，怎样才能更好地理解分析两车运动的场景，区分相向而行、同向而行、背向而行等多种运动情境？我们可以引导学生画线段示意图，还可以借助肢体语言，通过比一比、指一指、模拟演示等表征方式，让学生在演示的过程中将自己的思维外显，这将使学生理解得更深刻。

又如在教二年级“认识千以内的数”时，利用多种表征帮助学生学习、认识数的意义和本质，例题定格重点数“324”，学生以小组为单位自主选择用小棒、方块图和计数器来表示出“324只小动物”，利用直观、具体的学具，从多种角度帮学生抽象出“324”，理解这个数的意义和组成。教师还可继续联系生活，把抽象的数具体化，使学生在多种情境中理解现实生活中数的意义。例如，“206”这个数，课上学生亲眼看到用10×10数豆神器数出黄豆206粒；身临其境地量出NBA球星的身高有206厘米；亲自数出一篇小文章有206个字；还科普了成人骨骼有206块。从数量多少、高度以及所占平面的大小等多种维度形成对“206”这个数丰富意义的准确认识。教师从学生原有知识经验出发，紧扣学生的认知特点，利用多种表征方式引导学生经历“操作→图示→符号→生活”等表征方式，培养学生的说理能力，发展学生数感，促进学生深度学习与数学思考的构建。

四、问题驱动探索，提升说理逻辑

学生如果仅仅以输入接受作为学习方式，久而久之会不爱思考，自己的理性、思辨思维也会难以发展。在数学深度学习中，我们要使学生积极投入，高阶认知参与，要创设有意义的问题驱动，促使学生能在多角度思考后展开综合分析后有条理且清晰地说明知识的缘由，使思维向深度发展。

例如，在五年级“3的倍数的特征”这一课，学生经历从2、5的倍数的特征的探究引发对3的倍数的初次猜想→通过结合百数表进行圈画3的倍数进行初次验证→抛出疑问“百数表外的数，3的倍数的特征是否同样适用”通过借助计算器再次验证。通过小组合作探究的形式，揭示“百数表的秘密”，学生清楚地看到了百数表3的倍数的排列分布特点，从抽象到具体，让学生全面研究了3的倍数的特征，在归纳推理中得出结论。

学生经历了一系列的真实体验后，教师以问题驱动探索：“为什么2、5的倍数只需要看个位？而3的倍数却要看各个数位上的数字和？判断17是不是3的倍数，为什么只看1+7就行？这里的两个‘1’是一样的吗？”教师利用小棒图圈一圈、画一画、想一想等直观方式，让学生的思维从“合情”走向“合理”，对知识本质内涵有了更深的理解。教师可以设置以下活动。

活动a：借助小棒图直观理解：3的倍数为什么把各个数位上的数加起来呢？师生一起分一分。(见图1)

图1 活动a小棒图

师：我们利用小棒图，先从简单的数17开始，它是不是3的倍数，为什么只看1+7就行了？

引导学生思考、探索，小组合作开展说理，最后达成共识：十位上的“1”，用一捆10根来表示，3根3根地分，会余下1根，1根再加上个位上的“7”也就是7根，总共就余下1+7=8根，8不能被3整除，所以17不是3的倍数。

活动b：放手让学生在理解的基础上，继续分一分，解释判断36是不是3的倍数，为什么只看3+6就行了。(图2)

图2 活动b小棒图

学生依托种子问题开展思考、探索、说理后，继续开展小组合作自主说理，最后达成固化说理：十位上的“3”，用三捆10根来表示，3根3根地分，会余下三个1根，共3根，3根再加上个位上的“6”也就是9根，也就是3+6=9根，9能被3整除，所以36是3的倍数。

活动c：这次不分了，想一想：判断118是不是3的倍数，为什么只看1+1+8就行了？

学生从在说理的过程，逐步从直观推理走向抽象推理，发展了逻辑推理能力。理解了118=100+10+8=(99+1)+(9+1)+8=(99+9)+1+1+8，而99和9都是3的倍数，那最后余下的就是1+1+8=10，10不能被3整除，所以118不是3的倍数。

学生通过问题驱动探究，分一分，想一想、算一算来说明为什么不同数位上的数字可以直接相加。学生在问题驱动下开展探究活动，并从中经历直观演示到用“数学说理”的方式来判断3的倍数，深入理解知识的本质内涵，明析知识间的逻辑关联，学生达成知识的深度理解。

五、加强习惯养成，固化说理能力

说理能力培养是为了教会学生学会思考、学会学习，学会质疑、学会论证，发展他们的思维和素养，但在实施说理课堂的过程中，教师应思考学生学习的真实发生，有时会因为担心过多的言说表达，造成教学任务完不成，教师便以自己大量的讲解或重复、机械化的操练代劳了学生的自主探究和深度思考。如此以往，学生的学习习惯培养不到位，倾听、表达、合作、对话等能力训练不到位，小组合作学习流于形式。

以“倾听习惯”为例，倾听是一种集合看、听、辨、思等多种感官的综合性行为，它可以达成相互认同、相互理解、相互支持的学习过程。善于倾听的学生，思维一定会在倾听与表达中可持续发展。当然这里的倾听也同样包含师生之间的倾听，师生、生生间的相互“倾听”，会使多元的、不同的观点得到表达和尊重，课堂自然会碰撞出丰富多彩的思维火花，进一步固化说理能力，让学习走向深处。

在实践深度学习的课堂中，数学说理必不可少，它也是数学推理与证明的前奏。我们也切身感受到学生思维的广度、深度、关联度上的发展来源于教师教学过程中每一个环节的精心设计，学生对数学中关键概念、核心知识的理解不能仅仅是靠教师课堂的讲授，教师要创设不同的学习情境，营造良好的说理氛围，让学生在数学说理中理解知识的内涵，切实掌握所学知识，条理清晰地分析问题，应用数学知识、发展数学思维，增强问题解决能力，促进深度学习的有效落地。