关联代数上Jordan τ-中心化子

周斯名

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130000)

设R是环或代数，如果一个可加(线性)映射φ:R→R满足对任意A,B∈R有φ(AB)=φ(A)B(φ(AB)=Aφ(B))，则称φ是左(右)中心化子;若φ既是左中心化子又是右中心化子,称φ是中心化子．若对任意A∈R，φ满足φ(A2)=φ(A)A(φ(A2)=Aφ(A))则称φ是一个左(右)Jordan中心化子．文献[1]证明了半素环上的左Jordan中心化子是左中心化子，进而在半素环上每一个Jordan中心化子是中心化子．有类似结果见文献[2-5].受上述结论启发，本文证明了关联代数上的左Jordan中心化子是左中心化子以及关联代数上的左Jordanτ-中心化子是左τ-中心化子.类似地，我们可以得到关联代数上的右Jordan中心化子是右中心化子以及关联代数上的右Jordanτ-中心化子是右τ-中心化子.则得到了关联代数上的Jordan中心化子是中心化子以及关联代数上的Jordanτ-中心化子是τ-中心化子．

1 预备知识

定义1若对于任意A∈R，φ满足φ(A2)=φ(A)τ(A)(φ(A2)=τ(A)φ(A))，则称φ是一个左(右)Jordanτ-中心化子(τ为R上的一个满的自同态).

定义2若对于任意A∈R，φ满足φ(AB)=φ(A)τ(B)(φ(AB)=τ(A)φ(B))，则称φ是一个左(右)τ-中心化子(τ为R上的一个满的自同态)．

关联代数的概念最早是Ward[10]引出，而后研究人员对关联代数上的相关问题进行研究(参考文献[12～21]).

定义3设R是具有单位元的交换环，(X,≤)是一个局部有限预序集(≤满足自反性、传递性，∀x,y∈X，且x≤y)，至多存在有限个元素z∈X满足x≤z≤y，在R上定义关于X的关联代数I(X,R).

I(X,R):={f:X×X→R|f(x,y)=0,若x≤y不成立}

代数运算如下：

(f+g)(x,y)=f(x,y)+g(x,y),

rf(x,y)=rf(x,y),

∀f,g∈I(X,R)，r∈R，x,y,z∈X.乘积fg在函数论中被称为卷积.

定义4关联代数I(X,R)中的单位元δ[15]满足δ(x,y)=δxy，x≤y,其中δxy∈{0，1}是Kronecker符号.

对于任意的x,y∈X满足x≤y，则可定义关联代数I(X,R)上的基元exy.对于eij,ekl∈I(X,R),根据卷积定义eijekl=δjkeil,则有

2 主要定理及证明

定理1设(X,≤)是一个有限预序集，R是含单位元的交换环.I(X,R)是在R上定义关于X的关联代数,则关联代数I(X,R)上的一个左Jordan中心化子是左中心化子.

证明针对对于基元eij,ekl∈I(X,R),有以下几种情况：(其中i、l、j、k互不相等)

(1)eii=eiieii;φ(eii)=φ(eiieii)=φ(eii)τ(eii)

(2)(a)i≠l，eil=eilell;φ(eil)=φ(eilell)=φ(eil)τ(ell)

(b)i≠l，eil=eiieil;φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)

(c)i≠l，0=eileii;φ(0)=φ(eileii)=φ(eil)τ(eii)

(d)i≠l，0=elleil;φ(0)=φ(elleil)=φ(ell)τ(eil)

(3)(a)j≠i，eii=eijeji;φ(eii)=φ(eijeji)=φ(eij)τ(eji)

(b)j≠i，ejj=ejieij;φ(ejj)=φ(ejieij)=φ(eji)τ(eij)

(4)(a)i≠l，eil=eijejl;φ(eil)=φ(eijejl)=φ(eij)τ(ejl)

(b)i≠l,0=ejleij;φ(0)=φ(ejleij)=φ(ejl)τ(eij)

(5)(a)j≠k,i≠l,j=i,0=eiiekl;φ(0)=φ(eiiekl)=φ(eii)τ(ekl)

(b)j≠k,i≠l,j≠i,0=eijekl;φ(0)=φ(eijekl)=φ(eij)τ(ekl)

(1)eii=eiieii，将其代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eiieii+eiieii)=φ(eii)eii+φ(eii)eii，则显然有φ(eii)=φ(eiieii)=

φ(eii)eii.

(2)(a)i≠l，eil=eilell，将eil=eilell代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eilell+elleil)=φ(eil)ell+φ(ell)eil，由φ(eii)=

φ(eiieii)=φ(eii)eii，则可得φ(ell)eil=φ(ell)elleil=0，则有φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eil)ell.

(b)i≠l，eil=eiieil,将eil=eiieil代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eiieil+eileii)=φ(eii)eil+φ(eil)eii，则由φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)eil，可得φ(eil)eii=φ(eii)eileii=0，可得φ(eiieil)=φ(eii)eil

(c)i≠l，0=eileii，将0=eileii代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eileii+eiieil)=φ(eil)eii+φ(eii)eil，由φ(0)=0及φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)eil可知φ(0)=φ(eileii)=φ(eil)eii

(d)i≠l，0=elleil，将0=eileii代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有，φ(elleil+eilell)=φ(ell)eil+φ(eil)ell，由φ(0)=0及φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eil)ell可知φ(0)=φ(elleil)=φ(ell)eil.

(3)(a)j≠i，eii=eijeji将eii=eijeji代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eijeji+ejieij)=φ(eij)eji+φ(eji)eij,由φ是线性映射，则有φ(eii)+φ(ejj)=φ(eij)eji+φ(eji)eij，其中φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)eil及φ(eii)=φ(eiieii)=φ(eii)eii，则φ(eii)+φ(ejj)=φ(eij)eji+φ(eji)eij=φ(eij)eji+φ(ejj)ejieij=φ(eij)eji+φ(ejj)ejj=φ(eij)eji+φ(ejj)，可得φ(eii)=φ(eij)eji

(b)j≠i，ejj=ejieij由上式可得φ(ejj)=φ(ejieij)=φ(eji)eij.

(4)(a)i≠l，eil=eijejl将eil=eijejl代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eijejl+ejleij)=φ(eij)ejl+φ(ejl)eij，根据φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)eil，则有φ(ejl)eij=φ(ejj)ejleij=0，可得φ(eil)=φ(eijejl)=φ(eij)ejl.

(b)i≠l,0=ejleij,将0=ejleij代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(ejleij+eijejl)=φ(ejl)eij+φ(eij)ejl，由φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)eil及φ(eil)=φ(eijejl)=φ(eij)ejl，则φ(0)=φ(ejleij)=φ(ejl)eij，结论得证.

(5)(a)j≠k,i≠l,0=eiiekl将0=eiiekl代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eiiekl+ekleii)=φ(eii)ekl+φ(ekl)eii,则有φ(0)=φ(eii)ekl+φ(ekl)eii，其中φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)eil，则可得φ(0)=φ(eiiekl)=φ(eii)ekl和φ(0)=φ(ekl)eii=0，结论得证.

(b)j≠k,i≠l,j≠i,0=eijekl将0=eijekl代入φ(xy+yx)=φ(x)y+φ(y)x有φ(eijekl+ekleij)=φ(eij)ekl+φ(ekl)eij,则有φ(0)=φ(eij)ekl+φ(ekl)eij，其中φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)eil，则可得φ(0)=φ(eijekl)=φ(eij)ekl=0和φ(0)=φ(ekl)eij=0，结论得证.

引理1若φ是一个左Jordanτ-中心化子.则对于任意x,y∈R，有

φ(xy+yx)=φ(x)τ(y)+φ(y)τ(x)

(1)

φ(xyx)=φ(x)τ(y)τ(x)

(2)

证明 由φ是一个左Jordanτ-中心化子，则对于任意A∈R，满足φ(A2)=φ(A)τ(A)，令A=x+y，对于任意x,y∈R，有φ((x+y)2)=φ(x+y)τ(x+y)，整理有φ(x2+xy+yx+y2)=φ(x)τ(x)+φ(x)τ(y)+φ(y)τ(x)+φ(y)τ(y)，而由φ是线性映射则有

φ(xy+yx)=φ(x)τ(y)+φ(y)τ(x).

在(1)中用xy+yx代替y，则对于任意x,y∈R,φ(x(xy+yx)+(xy+yx)x)=φ(x)τ(xy+yx)+φ(xy+yx)τ(x)=φ(x)τ(x)τ(y)+2φ(x)τ(y)τ(x)+φ(y)τ(x)τ(x)φ(x2y+2xyx+yx2)=φ(x)τ(x)τ(y)+2φ(x)τ(y)τ(x)+φ(y)τ(x)τ(x)，其中τ为R上的一个满的自同态，则由(1)可知φ(x2y+yx2)=φ(x2)τ(y)+φ(y)τ(x2)=φ(x)τ(x)τ(y)+φ(y)τ(x)τ(x)，整理可得φ(xyx)=φ(x)τ(y)τ(x).

定理2设(X,≤)是一个有限预序集，R是含单位元的交换环.I(X,R)是在R上定义关于X的关联代数,则关联代数I(X,R)上的一个左Jordanτ-中心化子是左τ-中心化子.

证明 针对对于基元eij,ekl∈I(X,R),有以下几种情况：(其中i、l、j、k互不相等)

(1)eii=eiieii;φ(eii)=φ(eiieii)=φ(eii)τ(eii)

(2)(a)i≠l，eil=eilell;φ(eil)=φ(eilell)=φ(eil)τ(ell)

(b)i≠l，eil=eiieil;φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)

(c)i≠l，0=eileii;φ(0)=φ(eileii)=φ(eil)τ(eii)

(d)i≠l，0=elleil;φ(0)=φ(elleil)=φ(ell)τ(eil)

(3)(a)j≠i，eii=eijeji;φ(eii)=φ(eijeji)=φ(eij)τ(eji)

(b)j≠i，ejj=ejieij;φ(ejj)=φ(ejieij)=φ(eji)τ(eij)

(4)(a)i≠l，eil=eijejl;φ(eil)=φ(eijejl)=φ(eij)τ(ejl)

(b)i≠l,0=ejleij;φ(0)=φ(ejleij)=φ(ejl)τ(eij)

(5)(a)j≠k,i≠l,j=i,0=eiiekl;φ(0)=φ(eiiekl)=φ(eii)τ(ekl)

(b)j≠k,i≠l,j≠i,0=eijekl;φ(0)=φ(eijekl)=φ(eij)τ(ekl)

(1)eii=eiieii，将其代入(1)有φ(eiieii+eiieii)=φ(eii)τ(eii)+φ(eii)τ(eii)，则显然有φ(eii)=φ(eiieii)=φ(eii)τ(eii).

(2)(a)i≠l，eil=eilell，将eil=eiieil代入(1)有φ(eiieil+eileii)=φ(eii)τ(eil)+φ(eil)τ(eii)，对其右乘τ(eii)有φ(eil)τ(eii)=φ(eii)τ(eil)τ(eii)+φ(eil)τ(eii)τ(eii)，由τ为R上的一个满的自同态有τ(eii)τ(eii)=τ(eiieii)=τ(eii)，可得φ(eii)τ(eil)τ(eii)=0.由(2)可知φ(eii)τ(eil)τ(eii)=φ(eiieileii)=φ(0)=0，可知φ(0)=0.

将eil=eilell代入(1)有φ(eilell+elleil)=φ(eil)τ(ell)+φ(ell)τ(eil)，由τ为R上的一个满的自同态有τ(eil)=τ(eilell)=τ(eil)τ(ell)，则由(2)可知φ(ell)τ(eil)=φ(ell)τ(eil)τ(ell)=φ(elleilell)=φ(0)=0，可得φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)

(b)i≠l，0=eileii，将0=eileii代入(1)有φ(eileii+eiieil)=φ(eil)τ(eii)+φ(eii)τ(eil)，由φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)可知φ(eileii)=φ(eil)τ(eii)

(c)i≠l，0=elleil，由上式可知φ(ell)τ(eil)=φ(ell)τ(eil)τ(ell)=φ(elleilell)=φ(0)=0，可得φ(0)=φ(elleil)=φ(ell)τ(eil).

(3)(a)j≠i，eii=eijeji将eii=eijeji代入(1)有φ(eijeji+ejieij)=φ(eij)τ(eji)+φ(eji)τ(eij),由φ是线性映射，则有φ(eii)+φ(ejj)=φ(eij)τ(eji)+φ(eji)τ(eij)，其中φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)，则φ(eii)+φ(ejj)=φ(eij)τ(eji)+φ(eji)τ(eij)=φ(eij)τ(eji)+φ(ejj)τ(eji)τ(eij)，由τ为R上的一个满的自同态有τ(eji)τ(eij)=τ(ejieij)=τ(ejj)，可得φ(eii)+φ(ejj)=φ(eij)τ(eji)+φ(ejj)τ(eji)τ(eij)=φ(eij)τ(eji)+φ(ejj)τ(ejj)，由φ(eii)=φ(eiieii)=φ(eii)τ(eii)，得到φ(eii)+φ(ejj)=φ(eij)τ(eji)+φ(ejj)τ(ejj)=φ(eij)τ(eji)+φ(ejj)，φ(eii)=φ(eijeji)=φ(eij)τ(eji)得证.

(b)j≠i，ejj=ejieij同理可得φ(ejj)=φ(ejieij)=φ(eji)τ(eij).

(4)(a)i≠l，eil=eijejl将eil=eijejl代入(1)有φ(eijejl+ejleij)=φ(eij)τ(ejl)+φ(ejl)τ(eij)，根据φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)，则φ(eil)=φ(eij)τ(ejl)+φ(ejl)τ(eij)=φ(eij)τ(eji)+φ(ejj)τ(ejl)τ(eij)，由τ为R上的一个满的自同态有τ(ejl)τ(eij)=τ(ejieij)=τ(0)=τ(ejlejj)，则由(2)可知φ(ejj)τ(ejl)τ(eij)=φ(ejj)τ(ejl)τ(ejj)=φ(ejjejlejj)=φ(0)=0，可得φ(eil)=φ(eijejl)=φ(eij)τ(ejl).

(b)i≠l,0=ejleij,将0=ejleij代入(1)有φ(ejleij+eijejl)=φ(ejl)τ(eij)+φ(eij)τ(ejl)，根据φ(eil)=φ(eijejl)=φ(eij)τ(ejl)，则φ(0)=φ(ejleij)=φ(ejl)τ(eij)，结论得证.

(5)(a)j≠k,i≠l,j=i,0=eiiekl将0=eiiekl代入(1)有φ(eiiekl+ekleii)=φ(eii)τ(ekl)+φ(ekl)τ(eii),则有φ(0)=φ(eii)τ(ekl)+φ(ekl)τ(eii)，其中φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)，则φ(0)=φ(eii)τ(ekl)+φ(ekl)τ(eii)=φ(eii)τ(ekl)+φ(ekk)τ(ekl)τ(eij)，由τ为R上的一个满的自同态有τ(ekl)τ(eij)=τ(ekleij)=τ(0)=τ(eklekk)=τ(ekl)τ(ekk)，则由(2)可知φ(ekk)τ(ekl)τ(ekk)=φ(ekkeklekk)=φ(0)=0，则φ(0)=φ(eiiekl)=φ(eii)τ(ekl)结论得证.

(b)j≠k,i≠l,j≠i,0=eijekl将0=eijekl代入(1)有φ(eijekl+ekleij)=φ(eij)τ(ekl)+φ(ekl)τ(eij),则有φ(0)=φ(eij)τ(ekl)+φ(ekl)τ(eij)，其中φ(eil)=φ(eiieil)=φ(eii)τ(eil)，则φ(0)=φ(eij)τ(ekl)+φ(ekl)τ(eij)=φ(eij)τ(ekl)+φ(ekk)τ(ekl)τ(eij)，由τ为R上的一个满的自同态有τ(ekl)τ(eij)=τ(ekleij)=τ(0)=τ(eklekk)=τ(ekl)τ(ekk)，则由(2)可知φ(ekk)τ(ekl)τ(ekk)=φ(ekkeklekk)=φ(0)=0，则φ(0)=φ(eijekl)=φ(eij)τ(ekl)结论得证.