不连续随机利率下基于O-U过程的商期权定价

2022-08-16李敬楠刘会利

商丘师范学院学报 2022年9期

李敬楠，刘会利

(河北师范大学数学科学学院，河北石家庄 050024)

商期权是以两个标的资产、股指指数或其他数量的比值为标的资产的期权.Zhang[1]在Exotic Options一书中首次详细介绍商期权,并给出了在Black-Scholes-Merton框架下两个标的资产服从几何布朗运动的商期权价格解析式.2016年,杨晓琳等人[2]考虑了在分数布朗运动下标的资产服从跳扩散模型的商期权定价公式.在现实中利率往往并不是确定的.2020年,杨晓琳等人[3]又在假设利率是时间函数下,分别利用Girsanov定理和Esscher变换,推导出商期权的定价公式.利率仅仅是关于时间的函数并不可以包含现实世界中利率发生变动的大部分情况,Merton[4]考虑了利率是连续的随机过程且服从几何布朗运动.然而大量事实表明,利率过程有时会出现与连续变动不成比例的异常变化,呈现间断”跳跃”过程.2005年,陈琪琼等人[5]研究了在不连续随机利率下期权的定价问题.

受到这些研究工作的启发,本文在利率服从不连续随机过程的假设下,利用鞅方法,研究了在指数O-U环境下,具有不确定执行价格的商期权定价问题.

1 市场模型和基本引理

本文假设(Ω,F,(Ft)t≥0,Q)为域流是Ft的概率空间,其中Ω是非空样本集合.假设标的资产的价格Si(t)服从多维指数O-U过程:

(1)

其中μi(t)为第i个标的资产的预期收益率,σij(t)为第i个资产的价格波动率,并且都为时间函数,αi为常数.(W1(t),W2(t),…,Wm(t))为测度Q下的m维标准布朗运动,各个分量之间相互独立.假设执行价格服从以下随机微分方程(SDE):

(2)

(3)

(1)Z(t)=(Z1(t),…,Zm(t))为各个分量之间相互独立的m维布朗运动,且

引理3假设资产价格满足(1),则资产价格Si(t),(i=1,2),在t时刻满足

(4)

(5)

引理4[9]假设随机执行价格K(t)满足SDE(2),则在t时刻K(t)满足

(6)

引理5假设贴现过程满足SDE(3),则在t时刻有

(7)

2 不连续利率下商期权定价

本文假设市场是完备的,即没有违约风险,没有市场摩擦,不存在套利机会等.风险中性定价原理是指在市场是完备的条件下,如果衍生产品的价格仅依赖于可交易的基础资产,则衍生产品的价格等于到期收益的贴现值在风险中性测度下的期望.我们用c(t,S1(t),S2(t))(p(t,S1(t),S2(t))),(0≤t≤T)表示标的资产为S1(t),S2(t),到期日为T,执行价格为K(T)的看涨(跌)商期权在t(0≤t≤T)时刻的价格.

定义1标的为两个资产比率的商期权在T时刻的收益分别是:

看涨商期权

(8)

看跌商期权

(9)

定理1假设标的资产价格Si(t),(i=1,2)服从(1),执行价格K(t)服从(2),贴现过程B(t)服从SDE(3),则到期日为T，收益形式为(8)的看涨商期权在0时刻的期权价值为:

其中

Hj(T,s)=Mj(T,s)+σBj(s),Gj(s)=bj(s)+σBj(s),

证明由风险中性定价原理可知:

首先来计算φ1,由引理3中式(5)和引理5中式(7)可得:

(10)

则X1～N(0,σ2(T)).从而

(11)

接下来计算

(12)

其中d2=d1-σ(T).

综合(10),(11),(12)可得定理1.

定理2在定理1的条件下,收益形式为(9)的看跌商期权在0时刻的期权价值为:

其中

证明类似定理1证明可得.

3 数值分析

波动率是影响期权价格的重要参数,为了观察标的资产Si,(i=1,2)的波动率和执行价格K的波动率对期权价格的影响,利用MATLAB软件,对常数参数模型下的商期权进行相关参数的数值分析.在下面的实验中若没有特殊说明,假定m=1,贴现过程中μB=0.3,σB=0.02.以下分析不同参数的变化对期权价格的影响.