基于前景理论和熵权法的交叉效率集结方法

梅鑫南, 王应明

(福州大学 经济与管理学院,福建 福州 350108)

0 引言

数据包络分析(data envelopment analysis，DEA)是一种处理多输入多输出评价问题的非参数统计方法，在效率评价方面受到越来越多的重视[1]。Charnes等[2]最早提出了DEA方法和CCR模型。CCR模型能够有效地评估决策单元的相对有效性，但缺乏进一步区分决策单元的能力。此外，CCR模型可能会出现极端不现实的权重。针对该问题，Sexton等[3]结合自评和他评的思想，提出了交叉效率评价方法。交叉效率方法是最可靠的排序方法之一，广泛应用于各种领域[4]。

交叉效率的理论研究主要分为两个方面：一是交叉效率矩阵的计算，通过构建二次目标模型来选择唯一的权重集；二是交叉效率的集结，根据自评和他评之间的关联来集结效率[5]。CCR模型的最优权重往往不是唯一的，从而导致交叉效率值的不稳定性。为此，学者们提出了不同的二次目标模型来解决该问题。Doyle等[6]提出了激进型和仁慈型交叉效率模型，Liang等[7]提出了DEA博弈交叉效率模型；Wang和Chin[8]提出了中立DEA模型；Wu等[9]结合目标识别模型，从不同的角度构造二次目标模型。关于交叉效率的集结，传统做法是将交叉效率值进行算术平均。算术平均方法未考虑决策单元之间的相对重要性，并且低估了自评的重要性。Wang等[10]从差异性和偏离度等角度出发，提出了三种确定交叉效率相对重要性权重的方法。Song等[11]引入香农熵集结交叉效率。刘鹏等[12]将交叉效率矩阵转换为专家打分矩阵，提出了基于“专家打分法”的集结方法。然而，这些方法忽视了决策者的风险偏好。事实上，决策者的心理在决策过程中起着重要作用。Wang和Chin[13]引入有序加权平均(OWA)算子进行交叉效率集结，考虑决策者对最佳相对效率的乐观水平。但该方法仅靠决策者乐观水平来决定集结方式，忽视了决策者在面对收益和损失时个人主观价值感受的差异[14]。Liu等[15]将前景理论应用于交叉效率评价，提出了前景交叉效率模型。然而，该方法运用算术平均方法集结最终效率，与实际情况不一致[16]。Chen等[17]提出了基于前景共识过程的交叉效率集结方法，根据期望值与结果之间的差异，不断调整期望值以达成共识。但该方法未考虑调整过程中的共识成本。

综上所述，上述方法存在的问题主要包括：第一，忽视了决策者的风险偏好，难以描述决策者在交叉效率集结时的心理行为；第二，考虑了决策者的偏好，但集结权重的方法存在一定的局限性。为了解决上述问题，本文结合前景理论和熵权法，提出一种新的交叉效率集结方法。首先，运用熵权法确定他评过程中评价单元的权重。然后，引入前景理论以考虑决策者在交叉效率集结过程中的风险偏好，确定正负参考点，得到前景交叉效率矩阵。随后，构建最大化前景价值模型，求解集结权重以及最终效率值。最后，结合实例验证方法的有效性。

1 基础理论

1.1 DEA交叉效率模型

假设有n个决策单元，每个决策单元具有m个投入和s个产出。对于第j个决策单元DMUj，令xij(i=1,…,m)和yrj(r=1,…,s)分别表示为DMUj的第j个投入和第r个产出。根据CCR模型，被评价单元DMUd的自评效率为:

uid≥0,vid≥0,r=1,2,…,s;i=1,2,…,m

(1)

(2)

针对模型(1)中可能出现最优解非唯一的问题，最常用的方法是使用激进型或仁慈型二次目标模型。由于激进型模型在求解时可能会产生较多的零权重，因此本文采用仁慈型模型来求解决策单元的交叉效率，具体模型如下:

urd≥0,vid≥0,r=1,2,…,s;i=1,2,…,m

(3)

1.2 熵权法

在不确定性条件下进行决策时，香农熵是一种有效的度量工具。熵权法是一种客观赋权方法，通过信息熵得到各指标的熵权，再利用熵权对各指标的权重进行改进以得到客观的权重[18]。该方法的具体步骤如下:

Step1对决策矩阵进行规范化处理。

(4)

Step2求第j个指标的熵。

(5)

Step3求第j个指标的权重。

(6)

1.3 前景理论

前景理论是Kahneman和Tversky在1979年提出的一种用于描述决策者在风险和不确定性条件下的行为决策理论[19。在前景理论中，前景价值能够反应决策者在面对得失时的主观感受。前景理论的价值函数表示为:

(7)

其中，Δz=z-z0，表示z与参考点z0的偏差值。当Δz≥0时，结果表示相对收益；当Δz<0时，结果表示相对损失。α和β分别表示决策者对收益和损失的敏感性程度，且0<α<1，0<β<1。变量θ表示损失规避系数，且θ>1，即决策者对损失的敏感程度要大于其获得同等收益的敏感程度。前景理论的相关研究表明，当α=β=0.88，θ=2.25时，这是最符合决策者在有限理性条件下的决策心理[19]。

在前景理论中，决策者依据参考点来衡量方案的收益和损失情况，参考点的选取往往依赖于决策者的风险偏好和心理状态[20]。确定参考点的方法有很多，但是以往选择参考点的方法不能充分反映总体情况，在评价时缺乏通用性。本文运用TOPSIS方法识别正负参考点，定义加权标准化矩阵中每一行的最大值为正参考点，最小值为负参考点，以构建前景交叉效率矩阵。

2 基于前景理论和熵权法的交叉效率集结方法

传统的算术平均方法忽视了决策单元之间的相对重要性，且未考虑决策者在交叉效率集结过程中的主观偏好。为了解决上述问题，本文提出一种基于前景理论和熵权法的交叉效率集结方法。首先，利用仁慈型交叉效率模型求解交叉效率值，运用熵权法确定他评过程中评价单元的指标权重。熵权法能够充分利用交叉效率矩阵的信息，提升决策单元的辨别能力。然后，引入前景理论考虑决策者在交叉效率集结过程中的风险偏好，运用TOPSIS方法识别正负参考点，定义加权标准化矩阵中每一行的最大值为正参考点，最小值为负参考点。在前景价值函数的基础上，根据正负参考点，得到损失值和收益值。求解综合收益损失值，得到决策单元的前景交叉效率矩阵；构建最大化前景价值模型，求解集结权重，并用于集结交叉效率矩阵，得到决策单元的最终效率值及排序结果。具体步骤如下：

Step1求解CCR模型和仁慈型交叉效率模型，得到交叉效率矩阵{θij}n×n。

Step2使用熵权法，确定他评过程中评价单元的权重w=(w1,w2,…,wn)。

Step3构造标准化决策矩阵{eij}n×n。

(8)

Step4构造加权标准化矩阵{xij}n×n。

xij=wj×eij.i,j=1,2,…,n

(9)

Step5确定正负参考点。运用TOPSIS方法，确定正负参考点为:

(10)

Step6求解加权交叉效率矩阵的前景价值。根据前景理论，当选择正参考点时，决策者的主观感受表现为相对损失；当选择负参考点时，则表现为相对收益。决策者主观感受的损失值、收益值和综合收益损失值分别为:

v′(xij)=v+(xij)+v-(xij)

(11)

为确保决策单元所有交叉效率的前景价值均为正数，本文借鉴文献[17]方法，令v(xij)=v′(xij)+max{xi1,xi2,…,xin}-min{xi1,xi2,…,xin}以得到前景交叉效率矩阵{v(xij)}n×n。

Step7构建最大化前景价值模型。在交叉效率评价过程中，决策单元的前景价值越高，那么被评价的决策单元的接受程度就越高，即决策者对交叉效率值越满意[14,16]。因此，具有较高前景价值的决策单元应被赋予较大的集结权重，且决策者希望决策单元的前景价值尽可能大。基于此，构建最大化前景价值模型：

(12)

其中，模型(12)的解为:

(13)

Step8集结最终交叉效率值，对决策单元进行排序。将集结权重与原始交叉效率矩阵进行计算，得到决策单元的效率值，并进行综合排序。

(14)

3 算例分析

3.1 问题描述

本节将通过一个例子来说明方法的有效性。本文选择文献[10]的实例，该实例描述了具有两个投入和两个产出的工业机器人的技术数据，以评价27个工业机器人的效率。表1为27个机器人的投入产出数据，其中将成本(10000美元)和可重复性(毫米)视为投入，将装载能力(千克)和速率(米/秒)视为产出。

表1 27个工业机器人的投入产出数据

3.2 交叉效率评价分析

本节采用提出的方法对表1的决策单元进行效率分析。具体过程如下：

Step1求解决策单元的交叉效率。限于篇幅，交叉效率矩阵可见文献[10]。

Step2求解评价单元的权重。根据公式(4～6)，得到评价单元的权重集w=(0.0582，0.1014，0.0194，0.1007，0.0642，0.0264，0.0204，0.0211，0.0300，0.0300，0.0204，0.0582，0.0400，0.0211，0.0194，0.0582，0.0194，0.0300，0.0204，0.0194，0.0194，0.1014，0.0194，0.0194，0.0211，0.0204，0.0204)。

Step3构造加权标准化矩阵，根据公式(8～10)，识别出正负参考点。

Step4求解公式(11)，计算交叉效率的前景价值。表2仅展示前5个决策单元对所有单元评价时的前景交叉效率值。

Step5根据公式(12-13)，得到交叉效率的集结权重λ=(0.0244，0.0176，0.0456，0.0178，0.0227，0.0378，0.0447，0.0438，0.0361，0.0361，0.0447，0.0244，0.0306，0.0438，0.0456，0.0244，0.0456，0.0361，0.0447，0.0456，0.0456，0.0176，0.0456，0.0456，0.0438，0.0447，0.0447)。

Step6计算公式(14)，得到最终的交叉效率值。表3为决策单元的排序结果。

表2 前景交叉效率矩阵(部分)

表3 各决策单元最终效率值及排序结果

从表1中可以看出，决策单元DMU1，DMU4，DMU7，DMU10，DMU13，DMU14，DMU19，DMU20，DMU27的自评效率值均为1，因此无法对它们进一步区分。在CCR模型中，决策单元会选择最有利于自身的权重来进行评价，从而导致自评效率值过高，决策单元之间无法实现全面排序。表3为各决策单元的效率值以及排序结果，通过对27个决策单元的效率分析可知，DMU7为最优决策单元，其次是DMU14。而DMU12的效率值最低，排在第27位。本文结合前景理论和熵权法对交叉效率进行集结，通过构建最大化前景价值模型求解集结权重，该方法能够解决自评效率高估的问题，并具备对决策单元进一步区分的能力。

3.3 方法比较与分析

本节将与传统的算术平均方法和文献[10]中Wang提出的三种方法进行比较分析，进一步说明本文方法的有效性。五种交叉效率集结方法的结果如表4所示。

通过不同方法的对比可知，五种方法的结果均表明最差的决策单元是DMU12。算术平均方法得出DMU14表现最优，后四种方法的结果则表明DMU7是最优单元。传统方法对每个决策单元赋予相同的权重，并没有考虑到决策单元之间的相对重要性。此外，该方法忽视了决策者在效率评价过程中的心理偏好。因此，采用算术平均方法集结交叉效率容易遗漏大量的决策信息。本文与Wang的方法得到的结果具有较高的一致性，主要原因是两者均考虑了交叉效率集结的相对重要性权重。Wang分别根据不同评价单元提供的他评效率之间的相似性、评价单元提供的他评效率与被评价单元的自评效率之间的差异性以及综合考虑相似性和差异性来确定集结权重。当评价单元提供的他评效率与其他评价单元相比具有较高的相似性，或者与被评价单元的自评效率之间具有较小的差异性，则被赋予较大的权重。然而，这些方法忽视了决策者的偏好，无法反映决策者在效率评价过程中可能会面临得失的心理行为。不同的是，本文通过定义正负参考点来反映交叉效率之间的差异性，求解交叉效率的前景价值以描述决策者的心理偏好；根据提供较高前景价值的评价单元应当被赋予较大权重的原则，求解集结权重。在Wang的三种方法中，DMU21分别排在第18位、第12位和第18位，而本文结果表明DMU21应当排在第15位。通过集结权重的对比发现，DMU21在Wang的三种方法中权重值分别为0.0290、0.0499和0.0336，第一种和第三种方法权重相差较小，与第二种方法差异较大。本文求得权重为0.0456，与第二种方法相差不大，但明显要大于另外两种方法。因此，本文得到与Wang方法排序不同的结果。同理，在本文方法中，DMU25的集结权重为0.0438，而在Wang的方法分别为0.0713、0.0474和0.0656。因此，DMU25在Wang的方法中分别排在第12位、第15位和第12位，但在本文中排在第14位。与Wang的方法相比，本文既考虑了交叉效率集结的相对重要性权重，又将决策者的风险偏好纳入到交叉效率集结过程中。因此，本文方法能够更好地反映实际情况，具有较好的实用性。

表4 不同方法下决策单元的效率值及排序结果

4 结论

作为一种重要的评价方法，交叉效率的研究得到越来越多的关注。在交叉效率集结过程中，常用的方法是算术平均方法。然而，该方法忽视了决策单元之间的相互重要性，且未考虑决策者在效率评价过程中的风险偏好。针对该问题，本文提出一种基于前景理论和熵权法的交叉效率集结方法。该方法首先利用熵权法确定他评过程中评价单元的指标权重；然后，引入前景理论来反应决策者在交叉效率集结过程中的风险偏好，利用TOPSIS方法识别正负参考点，求解前景交叉效率矩阵；最后，构建最大化前景价值模型，求解集结权重以得到决策单元的最终效率值。在本文方法中，熵权法充分利用交叉效率矩阵的信息，提升决策单元之间的辨别能力。引入前景理论，定义新的参考点，以考虑决策者在效率评价过程中的风险偏好。因此，本文方法不仅能够实现决策单元的全排序，而且能更好地反映实际情况。本文研究的是输入输出数据为确定值，并且需要考虑决策者风险偏好的效率评价问题。但现实生活中的输入输出数据可能是不确定的，决策者也可能面临模糊的环境。因此，未来将研究不确定性条件下的交叉效率方法。