可视化教学在高中物理问题解决中的妙用

陈栋梁，皋 春

吴江盛泽中学，江苏 苏州 215228

1 问题的提出

2021年苏州市高三物理期中考试选择题第10题如图1所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。将小环从与定滑轮等高的A处静止释放，小环下滑过程中，下列说法正确的是（ ）

图1 2021年苏州市高三物理期中考试选择题第10题

A．小环的机械能守恒

C．当轻绳与光滑直杆间夹角θ=60°时，小环的速度最大

误解：需注意的是，小环加速度为零时，重物加速度不为零。不少人会误认为小环加速度为零时，重物加速度也为零，从而得出绳子拉力T=2mg，θ=60°时小环速度最大的错误结论。

方法一：设小环在任意角度θ时的速度为v，由系统机械能守恒得：

则小环的速度为：

此速度表达式十分复杂，无法直观得出速度的最大值及对应的角度，用数学求极值也非常困难。

此求解方法虽然可以排除错误答案，但不易被学生理解，且同样无法判定小环速度在哪个位置最大。因此，方法二的信服力不够，学生很难深入理解此题的全面过程。

基于上述困难，教师可以采用大家都熟悉且方便使用的Excel数值分析工具和图像绘制功能等可视化教学技术，帮助和引导学生全面深入地理解复杂和抽象问题。

2 可视化教学：Excel数值分析工具及图像绘制

可视化教学是指运用一切可能的图示、动画、声音、视频和实验等技术和手段对教学的所有环节进行设计和整合，进而实施教学的过程。在教学过程中充分利用知识和思维可视化理论，使凸显内涵要素的抽象或具体形态的外延可视化，使本来隐于头脑中的思维过程外显化、可视化。这样，教师会更加容易地捕捉到学生错误概念的根源，从而更快捷、准确地建构新的概念和规律。

原题中，无论用公式法，还是特殊值法，都不能使小环和重物随时间的变化规律可视化。而利用Excel的数值分析工具和图像绘制功能，能完整地显示小环和速度随时间变化的过程，且可以找到特殊位置的轨点，使大家对速度变化规律的理解更清晰、更深入。

2.1 小环和重物速度的数值及图像分析

图2 小环和重物速度随角度变化的曲线

图像分析：

（1）图2展现出的实际物理情境：在夹角θ从90°逐渐减小的过程中，小环和重物的速度都是先增大后减小。

（2）结合图2和表1中的Excel计算数值可知，小环速度最大时θ=67.5°；重物速度最大时，对应的夹角θ=52.2°。

表1 小环和重物速度随角度变化的计算数据

2.2 小环和重物加速度的数值及图像分析

小环和重物的加速度直接制约小环和重物的速度的变化规律，只有理解加速度的变化规律，才能更深入地理解速度的变化规律。因此，用Excel的数值分析工具和图像绘制功能，完整展示加速度随时间变化的规律显得非常有必要。

在任意角度θ时，对小环和重物分别受力分析，由牛顿第二定律，可得：

图3 小环和重物加速度随角度变化的曲线

图像分析：

（1）由图3，结合题目实际情境，在夹角θ从90°逐渐减小的过程中，小环的加速度由g逐渐减小为零，再反向增加；重物的加速度从零开始，先增大至某值再逐步减小为零，然后反向增加。

（2）由图3，结合表2中的Excel计算数值，我们发现，小环加速度为零时，对应的夹角θ=67.5°；重物加速度为零时，对应的夹角θ=52.2°。即小环的加速度为零时，重物的加速度不为零。

表2 图3对应的计算数据

2.3 小环和重物组成的系统动能之和的数值及图像分析

能量问题是伴随动力学问题必然要讨论的问题。经上面的讨论发现，原题中60°不是小环速度最大对应的角度，那是否是没有意义的角度呢？通过Excel的数值和图像功能，将小环和重物组成的系统动能之和进行可视化研究，发现了新的特殊结论。

图4 系统动能之和随角度变化的曲线

图像分析：

（1）由图4，结合题目实际情境，在夹角θ从90°逐渐减小的过程中，系统动能之和是先增大后减小。

（2）由图4，结合Excel计算数值，容易发现，系统动能最大时夹角θ恰好为60°。所以，虽然60°不是小环速度最大时的角度，但却是系统动能最大时的角度。

2.4 不同质量比时，小环和重物速度的数值及图像分析

原题中，只讨论了小环和重物在特殊质量时的变化规律。为使学生更深入地理解该物理问题，可以引导他们可视化探究小环和重物在不同质量比时的速度变化规律。

设小环质量为m，重物质量为m，在任意角度θ时小环的速度为v，重物的速度为v，由系统机械能守恒，得：

将两个速度无量纲化，并约化质量后，可得：

图5 不同质量比下小环速度随角度变化的曲线

图6 不同质量比下重物速度随角度变化的曲线

图像分析：

（1）结合图5、图6和题目实际情境，当质量比k＜1.0时，夹角θ从90°逐渐减小的过程中，小环和重物的速度都是先增大后减小。但同一质量比下小环和重物的最大速度对应的角度并不一致。

（2）当质量比k=1.0时，小环和重物的速度都是一直增加的，最后趋于一个稳定值。

（3）当质量比k＞1.0时，小环和重物的速度是一直增加的，且越增越快。

2.5 不同质量比时，小环和重物加速度的数值及图像分析

原题只讨论了小环和重物在特殊质量时的变化规律。为使学生更深入地理解该物理问题，可以引导他们对小环和重物在不同质量比时的加速度随时间的变化规律进行可视化探究。设小环质量为m，重物质量为m，任意角度θ时小环的速度为 v，加速度为 a，重物的速度为 v，加速度为a。由受力分析、牛顿第二定律、加速度牵连和系统机械能守恒，可得：

图7 不同质量比下小环加速度随角度变化的曲线

图8 不同质量比下重物加速度随角度变化的曲线

图像分析：

（1）图7可得的实际物理情境：当质量比k＜1.0时，夹角θ从90°逐渐减小的过程中，小环的加速度由g逐渐减小为零，再反向逐渐增加。这说明小环先加速后减速，中间会出现速度最大值；当质量比k≥1.0时，小环的加速度一直向下减小，即小环一直处于加速状态。

（2）图8可得的实际物理情境：当质量比k＜0.5时，夹角θ从90°逐渐减小的过程中，重物的加速度由0.518g逐渐减小为零，再反向逐渐增加；当质量比为0.5≤k≤1.0时，夹角θ从90°逐渐减小的过程中，重物的加速度由0.518g逐渐减小为零，再反向逐渐增加，再减小，最后趋于不变。这表明当重物较轻时先向上加速，再向上减速；当质量比k＞1.0时，夹角θ从90°逐渐减小的过程中，加速度由0.518g逐渐减小为零，再反向，大小逐渐增加，接着又逐渐减小为零，然后再变向并逐渐增加，最后趋于不变。这表明当重物较重时会多次出现加速和减速过程。

3 结语

用Excel的数值分析方法和图像功能，用可视化的手段，描述物理量的变化规律，操作方便、简单，易于师生课堂教学使用，并具有以下优点：

（1）可以精准地找出复杂物理表达式中物理量的极值（常规手段或通过表达式无法直接得出，例如小环和重物的速度、加速度、总动能等物理量的极值问题）；

（2）可以完整、形象地描述物理量的变化规律，尤其是不同情形下的物理量的变化规律（例如不同质量比情形下，各物理量的变化规律），从而深入理解物理规律和本质；

（3）可以创造性地引导学生探究不同物理量之和的变化规律（例如系统动能之和的极值问题）。