弹性碰撞与圆周率的奇妙联系

叶志炜，黄树清

福建师范大学物理与能源学院，福州 350117

中国古人计算圆周率是采取“割圆术”，南北朝时期的祖冲之在此基础上将圆周率精确到小数点后的第七位，远领先于同时期的国外圆周率的研究。而谈到圆周率，我们往往想到的是数学中的求圆面积公式；谈到碰撞，则往往想到的是物理中的弹性碰撞和非弹性碰撞。那么，弹性碰撞和圆周率有什么联系呢？下面对此进行研究。

1 弹性碰撞分析

此问题并不复杂，我们首先从高中物理中一个常见的碰撞概念说起。两个物体之间在极短时间内产生很大的相互作用力，然后速度发生了变化，这个过程就是碰撞。碰撞又可分为弹性碰撞（无机械能损失）、非弹性碰撞（部分机械能损失）和完全非弹性碰撞（机械能损失最大），本文所研究的是弹性碰撞范畴。

弹性碰撞中，最典型的一个碰撞模型如图1所示。

图1 典型碰撞模型

在水平地面上有两个小球，球M的质量为m，以速度v水平向右运动，另一个球N的质量为m，以速度 v也水平向右运动，且 v＞v，两速度在同一直线上，问两球碰撞之后的运动状态如何？

通常求解该问题时，我们都要利用动量守恒定律和机械能守恒定律得到两个等式，然后再利用代数的方法进行求解，其中这两个等式为

通过变换，我们成功地将方程简化，由此便很容易将动量和能量所对应的图像联立画出，如图2所示。

图2 动量和能量对应的图像

以上推论说明，通过数学中几何的方法可以有效解决物体的碰撞问题。

2 圆周率与碰撞的联系

那么，圆周率是怎么跟碰撞产生联系的呢？假设有弹性非常好且光滑的竖直固定墙和水平地面，地面上左边放着物体M，其质量为m（质量小）；右边放着物体N，其质量为m（质量大）。如图3所示，初始物体N以初速度v向左运动与物体M发生碰撞，随后物体M将会向左撞向墙面并反弹再撞物体N，如此反复碰撞直至停止，如果我们去统计物体M的碰撞次数，会发现碰撞的次数和圆周率的大小有着紧密联系。分析可知，由于该过程还是弹性碰撞，所以依旧可以采用上文求得的几何关系来进行深入分析。

图3 位于光滑地面上的M、N两物体和竖直墙面之间的碰撞

图4 多次碰撞过程中x和y值的变化情况示意图

继续根据图像可以分析得到，每碰撞一次对应着一段圆弧，而这段圆弧所对应的圆周角是θ，则可以得到碰撞N次之后，总的角度之和会比圆的圆周角小，即比圆周率的值略小，而碰撞N+1次后，会与圆周率的值相等或略大于圆周率，即

进一步化简可得

表1 与碰撞次数的关系

3 总结

本文通过非常规的数学几何图像的方式，推导得到圆周率与物体弹性碰撞之间奇妙的定量关系，揭示了数学与物理之间的奇妙联系，同时也说明了具备良好的数学素养则可以更好地体会物理之美。