基于扩张状态观测器的板球系统误差反步控制

2022-08-10孟圣钧韩光信白淏文

吉林化工学院学报 2022年3期

孟圣钧，韩光信，白淏文

(吉林化工学院信息与控制工程学院，吉林吉林 132022)

板球装置作为一种典型的非线性系统，具有强耦合性和参数多变性等特点.小球在运动过程中需要不断地调整平板角度来实现定位控制或者轨迹跟踪控制，同时会受到电机传动机构、球与板之间的摩擦以及未知干扰的影响而降低轨迹跟踪精度.为此在板球系统的轨迹跟踪问题上，相关学者做了大量研究.例如，文献[1-3]采用滑模控制方法对参数和扰动变化不敏感这一优点，有效地克服外界干扰.其中，郝伟等[1]引入非线性观测器有效地观测系统干扰，并将滤波反演法与滑模控制相结合，保证系统的鲁棒性，但轨迹跟踪前期调节时间较长.文献[2]中滑模表面的系数有待进一步解决，文献[3]中跟踪精度有待进一步提高.韩洁[4]、史智慧[5]、翟晨汐[6]利用群智能算法分别结合VSFOA-PID、SFLA-PID和模糊滑模控制算法，提高系统控制性能.其中，韩洁[4]仅对图像做了中值去噪和OTSU二值化，图像处理效果有待进一步优化.史智慧[5]忽略了未知的机械干扰对控制效果产生的影响.翟晨汐[6]在一定程度上提高了板球系统的视觉控制精度，但在图像处理和加快蚁群优化的算法上还应进一步优化.文献[7-8]均运用反步法设计轨迹跟踪控制器，提高了系统稳定性.弋艳丽[7]未考虑板球系统受到的干扰，可能存在抗干扰能力不强的问题.王傲翔等[8]设计的自适应神经网络H∞控制器，简化了反步法的计算量，增强了系统抑制干扰能力，但其轨迹跟踪精度有待提高.黄文杰等[9]利用RBF-PID控制方案，提高了系统的抗干扰能力，但仅做了定点轨迹跟踪实验.

由于板球系统机械传动部分存在轮齿间隙、小球自身的滚动摩擦以及系统受到的不确定干扰均会影响平板的转动角度，增加板球模型的不确定性，降低系统的动态性能和控制精度.本文针对这一问题，以误差反步控制为切入点，设计扩张状态观测器观测出平板转角和角速度，估计出系统的未知扰动.同时结合板球数学模型引入低通滤波器，组建复合系统，接着将观测出的平板转角和角速度状态变量与反步法相结合，设计误差反步控制器，克服系统外界干扰.仿真结果表明，所研究的扩张状态观测器下的误差反步控制方案有效地提高了轨迹跟踪性能，增强了抗干扰能力.

1板球系统数学描述及控制方案

1.1 板球系统数学描述

板球系统通过视觉系统采集平板上小球的位置信息，将信息传递给系统控制器后，控制两个垂直方向的电机带动平板转动，从而实现小球在平板上的定点控制或轨迹跟踪控制.Quanser板球系统实验平台如图1所示，主要由伺服电机、连杆、摄像机、平板和小球组成.本文在建模过程中，忽略小球与平板之间的摩擦，假设负载力矩不会影响电机位置、平板角速度很小且转动角度范围不大(±5°).考虑小球受到外界不确定干扰的情况下，采用欧拉-拉格朗日方程推导板球系统X,Y轴两个方向子系统数学模型，在原点解耦、线性化后可得状态空间模型为[10]：

图1 Quanser板球系统实验平台

(1)

y1=x1.y2=x5.

其中，B=m/(m+Jb/R2)；球的转动惯量Jb=2mR2/5；m为小球质量；R为小球半径；x1、x2、x3、x4和x5、x6、x7、x8分别为板球系统X,Y轴对应的小球位置、速度和平板倾斜角度和角速度状态变量.y1、y2分别是板球系统X,Y轴小球的实际位置输出.ux、uy分别是板球系统X,Y轴控制输入，即角加速度.wx、wy分别是板球系统X,Y轴两方向受到的未知扰动.

1.2 基于扩张状态观测器的误差反步控制方案

板球系统中模型的不确定扰动、向心力和视觉系统采集小球位置信息的滞后性等因素均会对小球运动轨迹产生影响，为提高板球系统的轨迹跟踪精度，设计扩张状态观测器估计平板转动过程中受到的噪声干扰.针对采集平板转角存在的量测噪声，利用低通滤波器滤除噪声干扰，并针对板球系统和低通滤波器构成的复合系统设计了含有低通滤波的误差反步控制器，克服系统受到的外界未知扰动.板球系统X轴方向的扩张状态观测器下的误差反步控制方案结构图如图2所示.Y轴控制方案参考X轴设计.

图2 扩张状态观测器下的误差反步控制方案结构图

2 控制器设计及闭环稳定性分析

2.1 扩张状态观测器设计

小球实际的轨迹跟踪过程中，系统通过控制平板的倾斜角控制小球的运动.针对系统受到干扰而影响平板转动角度这一情况，根据扩张状态观测器设计原理[11]，选取板球系统模型式(1)中X轴子系统中的平板转角和角速度状态变量，扩张成新的线性控制系统式(2)，对这个被扩张的系统建立扩张状态观测器[12].因板球系统X,Y轴对称分布，Y轴的扩张状态观测器设计参考X轴即可.

(2)

2.2 误差反步控制器设计

针对存在随机量测噪声干扰的板球系统，为增强系统稳定性，将低通滤波器应用到误差反步控制方法中，首先引入低通滤波器如下[13-14]：

(3)

其中，T表示低通滤波器时间常数；x1、x3分别表示小球位置和平板转角；y3表示经过低通滤波器滤除测噪声干扰的平板转角.结合板球模型式(1)中X轴子系统和式(3)，组建带低通滤波器的复合系统如式(4)，板球模型Y轴方向的复合系统和误差反步控制器的设计参考X轴即可.

(4)

根据式(4),定义系统偏差[15]：

(5)

其中，α1、α2表示虚拟函数，在后面进行定义.y0x表示板球系统X轴参考输入信号.e1、e2、e3分别表示广义上的小球位置误差、平板转角误差和角速度误差.

对式(5)中e1求导，结合式(4)、(5)化简后可得：

(6)

(7)

定义虚拟控制量α1，

α1=-c1e1+x1(c1>0的常数) ,

(8)

代入式(7)得：

(9)

(10)

(11)

结合式(5)、(7)、(8)和(11)化简式(10)：

(12)

定义虚拟控制量α2：

(13)

带入式(12)得：

(14)

(15)

(16)

结合式(6)、(11)、(12)、(16)化简式(15)可得：

(17)

选取控制规律u0x，

(18)

结合式(4)、(5)、(8)、(13)化简式(18),可得误差反步控制规律u0x，

f2=c1+c2+c3-c1c2-c1c3-c2c3,

f3=c1+c2+c3,

f4=c1c2+c1c3+c2c3,

(19)

2.3 系统稳定性分析

板球系统式(1)稳定性与输入和扰动无关[17]，在X轴方向子系统中可令ux=0,wx=0.根据引理1，选取Lyapunov方程V4(x)=xTp1x(p1为实对称矩阵)，求导后得：

(20)

则式(1)中的X轴子系统是渐进稳定的.

对式(2)选取误差状态方程：

(21)

(22)

利用Young’s不等式[13]

(23)

根据引理1，结合式(22)、(23)可得：

≤-(λmin(Q2)-γ)‖ez‖2+γ‖p2‖2.

(24)

其中，λmin(Q2)表示矩阵Q2的最小特征值.根据Lyapunov稳定性理论，当扩张状态观测器在有限时间内渐进稳定，只需合理地调整观测器增益即可，使λmin(Q2)-γ>0的同时γ‖p2‖2有界.

结合式(9)、(14)、(17)、(18)、(20)和(24),根据Lyapunov稳定性理论，板球系统X轴方向的扩张状态观测器下的误差反步控制系统是渐进稳定的.同理可证板球系统Y轴方向的控制系统同样是渐进稳定的.

3 仿真结果分析

板球系统模型参数m=0.1 kg,R=0.01 m,g=9.8 m/s2,B=5/7.板球系统X,Y轴扩张状态观测器参数均为β01=35,β02=500,β03=1 000.误差反步控制器参数c1=3,c2=2,c3=1.小球从坐标(0,0.08)出发做半径r=0.1 m的圆形轨迹跟踪运动，输入信号为：

(25)

零初始条件下，采用幅值为±0.01持续的随机噪声干扰作为系统受到的外界未知扰动wx和wy，图3和图7分别是误差反步控制和LQR控制下的轨迹跟踪曲线.

图4和图8分别是误差反步控制和LQR控制下的X,Y轴误差响应曲线.图4表示的误差反步控制下板球系统X,Y轴跟踪误差绝对值的平均值分别为0.77 mm和1.87 mm，而图8表示的LQR控制下板球系统X,Y轴跟踪误差绝对值的平均值分别为5.3 mm和19.5 mm.图5和图9分别是误差反步控制器和LQR控制器输出曲线.图6和图10分别是误差反步控制和LQR控制下的扩张状态观测器X,Y轴扰动.

当小球稳定运行时，在10 s处加入幅值为0.1的单位脉冲作为系统受到的外界未知扰动wx和wy，误差反步控制下的轨迹跟踪曲线和X,Y轴跟踪误差分别与图3和图4仿真效果一样，LQR控制下的轨迹跟踪曲线和X,Y轴跟踪误差分别与图7和图8仿真效果一样.图11和图13分别是误差反步控制器和LQR控制器输出曲线.图12和图14分别是误差反步控制和LQR控制下的扩张状态观测器X,Y轴扰动.

从图3～14可以看出，误差反步控制系统的轨迹跟踪精度更高、抗干扰能力更强.