研究性学习视域下高等代数教学改革的实践探究

黄政阁 崔静静

广西民族大学数学与物理学院 广西南宁 530006

1 问题提出

高等代数课程中核心点主要集中于有限维空间的线性理论的讨论，是数学专业学生必修专业课之一，为后继要学习的近世代数、实变函数等课程提供理论基础知识和应用工具，其概念颇多，有较强的抽象性和逻辑性。近40年来，众多学者在高等代数课程的教与学上，产生了大量的研究理论和可行性的教学指导成果，值得我们借鉴和思考。但从目前教学现状来看，与培养当今社会需要创新型高素质人才势头相对立，范式化、形式化教学模式依旧盛行，定理、定义以及高度抽象性表达术语让学生感到困惑。长此以往，导致学生只会机械性计算相关题目，对概念性知识理解停留在一知半解层面，更难以将知识系统化、条理化。

2 当前高等代数教学存在的问题

高等代数的教学改革一直备受高校一线教师的关注，许多高校从教学内容和教学理念上都对高等代数做了深入的理论研究和实践探索，并且也取得了相应的成果。但是就当前而言，多数教师依旧采用传统灌输式讲授，对高等代数的深入教学却未给予足够的重视，在学生学习活动中仅停留在布置作业与批改作业循环轮转的模式，对学生研究性学习关注甚微。高等代数知识的高度抽象性与逻辑严谨性使得学生在学习时很难直观化、可视化。因此，当前高等代数在课堂教学中存在的一些问题大致如下几个方面。

2.1 教学方式单调

高等代数是主要研究各类代数结构的共同代数性质的一门课程，一般采用的教学方式为首先介绍代数对象的定义和概念，然后引出代数对象相关的代数性质、结论和定理，进而对相应的结论和方法进行严谨的证明，最后通过例子对相应的定理结论或方法如何应用进行详细的说明。按照这种教学模式，相应内容讲授结束后，许多学生只是识记了相关的概念、引理、定理以及结论等。对于知识的核心概念群把握欠缺，在知识的正迁移方面，愈加模棱两可，或者只掌握了定理的内容和计算的方法，相应的证明过程不清楚，导致相应的数学思想的培养效果不好。长此以往，对知识网络的构建以及章节知识衔接的问题就无法厘清，即学生的“线性思维”无法被激活，至于发散思维的培育就寸步难行，导致部分学生觉得高等代数课程枯燥无味，学习兴趣低，甚至产生放弃学习此课程的念头。

尽管高等代数的教学是基于其教学大纲展开教学的，但在课堂教学中讲授定理证明和理论推导时，忽视对学生学习能力、创新能力等关键能力的培养和发展，缺少启发性、递进性，忽略问题意识，无法激发研究性学习的潜质，学生的学习习惯依然保留着中学学习方式的弊病。为此，大部分学生只是被动地接受知识，缺少主动思考与探索的素养。

2.2 评价方式单一

教师对学生学习成效的检测是多元化的，从教师教的角度出发，我们叫做评价。当前，大多数高校的高等代数课程仍采取传统的闭卷考试为考核模式，其具有操作简单、考核标准直观体现的优点，但不能真正地反映学生对知识的理解水平和学习过程，也难以体现学生的研究和创新能力，更不能把握学生对课程整体的体悟。因此有必要根据具体教学情况采用科学的、多层次的混合式考核方式。

虽然在教学过程中有布置并批改作业的环节，但是多数学生为了完成任务，对作业的完成质量仅停留在借鉴同伴或者借助网络检索相应试题的答案等途径上，对于一线教师而言，在批改作业时不可能管窥出作业的方方面面，更把握不了学生对知识是否掌握并理解的层面。因此，对学生学习效果的评价方式单一会弱化学生发现并提出问题的能力，进而直接阻碍学生独立自主探究能力和论证推理能力的培育。

2.3 教学手段匮乏

随着信息计算的高速发展及“互联网+”时代的到来，微信、腾讯会议、钉钉、QQ电话、云课堂及微视频等多种移动互联网技术使人们的教育观念、教学手段和学习模式越来越多样化和个性化，加速了知识的复制速度，丰富了知识的储备体系，拓展了知识的内涵框架。我们想要获得相关知识，就可以借鉴或者探索出网络中前人的研究成果，提升自身的关键能力。

但当前高等代数教学手段匮乏，依旧是板书结合PPT教学手段，甚者有些教师直接将PPT取代整节课的教学，遇到棘手问题时，处理手段单一，在互联网的使用和应用上缺少相应的引导，对于知识的获取缺少可视化的动态呈现，学生的学习方向仅停留在书本上。

3 基于改革高等代数课程教学的探讨

基于课堂教学的改革，从宏观层面来看，是围绕教学纲要，进行教学备课、教法的选取、教学方式的抉择、教学手段的定位以及制定教学评价方式等；从微观角度来说，一线教师要以真正培养学生发现问题及解决问题的能力为主要目的，发展学生逻辑思维能力以及论证推理能力，并培养学生的创新能力。但是，现实的课堂教学中，我们不仅要扮演好知识讲解与传授的角色，还要兼顾学生接受知识的现有水准。学生需要“一碗水”的时候，我们不仅要准备好足够的水，更要把“水倒准”。因此，笔者认为，在高等代数课堂教学中，解决数学问题时渗透研究性学习，使学生逐步养成主动学习的行为习惯，同时对教师的专业发展也具有一定的促进作用。鉴于此，笔者针对一线高等代数课堂教学中的教学反思与感悟，略谈一二。

3.1 在类比教学中剖析概念间的实质联系

高等代数课程起步较晚，具有划时代鲜明特点，研究该课程所需的数学思想与方法比较独特，具有强烈的辩证意义特征，尤其在相似概念之间的辨析与论证时，具有高度的抽象性与概括性。归根结底，不论解决高等代数问题还是解决其他课程中的数学问题，都是以概念为核心，所有新知识产生和发展的过程都离不开概念这个大前提。因此，概念学习的重要性是我们一线教师教学时必须要摆正的教学观。

此外，对于概念的教学要有针对性、灵活性、启发性，例如，在介绍“矩阵”这一概念时，并非仅仅局限于直接讲出矩阵的字面含义，我们可以从线性方程组的角度出发，由于线性方程组的解由系数和常数项所决定的，引导学生发现上述的元素可以构成一个表格，在此基础上添加括号后就变为矩阵。既捋顺了概念的合理存在性，又紧密贴合学生的认知经验，明确了新概念是客观事物的某种反映。

3.2 在有限教学课时内合理改革教学内容

课堂教学在遵循循序渐进教学原则的大前提下，还要考虑教学时限。而高等代数课程的特点是抽象性和概括性较强，其概念、性质、定理等交织出了该课程的基本框架，其解题思想和解题方法为学习高等数学课程搭建了桥梁，而在两个学期的时间内学完高等代数课程，时间仓促紧张，如何在有限课时内完成该课程的教学以及使课程收效达到最大化，是我们一线教师重点探讨和钻研的话题。

当前多数高校数学专业高等代数课程均采用北京大学数学系编写的《高等代数》教材，此教材体系严密，理论性强，其编写思路是以“概念→定理→证明”为主的严谨逻辑思绪，大部分学生初学该课程时觉得比较困难。为了实践研究性学习，在授课时可根据内容的板块和分类对讲授内容的顺序做适当的调整，如围绕线性方程组的有解判定、唯一解的求法、有无穷多解时解的结构，重新构建授课内容框架，将教材中第2～4章内容讲授顺序调整为：行列式及其计算—矩阵及其运算—初等矩阵—逆矩阵的求法—消元法—n维向量空间—线性相关性及矩阵的秩—线性方程组有解判定—线性方程组解的结构等。

大多数学生学习高等代数课程时难以对课程中有联系的知识进行系统性的记忆和总结，可通过对各章节内容、专题内容和学科交叉型内容进行对比、联系与总结，引导学生厘清知识脉络，建立高等代数的知识框架，认识不同学科对同一数学集合研究角度和方法的区别与联系，培养学生学习代数的数学思维方法，加深对各知识点的理解和掌握，提高学习兴趣和主动性。如可用如下图1中的知识框架图来帮助学生掌握和复习章与章内容之间的关系：

图1

从上述知识框架图就可让学生清晰地了解章与章之间的关系，相关内容之间的相互关系。例如，从图中可知线性变换其实是线性空间中一个具体研究的内容，其可构成特殊的线性空间，其建立了第六、第七章之间的关系；此外，第五章二次型与第四章矩阵其实是同一事物两种不同的语言表示形式，任意一个二次型对应的矩阵都是对称矩阵，关于二次型的一些结论也可用矩阵的语言来描述，反之对称矩阵的若干结论也可通过二次型的语言来描述。故通过知识框架给学生授课和复习可使学生在大脑中形成整体知识结构，让学生清晰学习内容，及它们之间的关联，帮助理解知识点，使知识点理解和记忆更深刻和透彻。

3.3 在学生认知范畴内合理选择适切的教学方法

鉴于高等代数课程内容多、概念抽象、逻辑性强，教师授课时可以采用启发式和探究式的教学方法，做到突出重点和突破难点的效果。例如，n维线性空间V中的全体线性变换所构成的线性空间L(V)同构于数域P上全体矩阵所构成的线性空间Pn×n，从线性变换可对角化→线性变换矩阵的若尔当标准形都是以上教学思维的体现，这些内容都是该课程的重难点，有必要做到细讲、精讲，对于激活学生线性思维培养、为后续培养学生的非线性思维具有重要的作用。对于高等代数中的部分难点和前后相关联的知识点，采用任务驱动、参与式等教学方法，引导学生积极参与教学过程，调动和发挥学生的主观能动性，提高自主学习意识。

此课程中的许多理论有着很强的几何背景，对过于抽象的相关内容，可有效利用直观演示法，借助几何直观性，帮助学生理解和掌握相关定理和概念。例如，在欧式空间中两个向量α和β正交，那么推想|α+β|2=|α|2+|β|2成立，可用中学几何的勾股定理的图形(见图2)来引出：

图2

通过具体的几何图形，为学生由初等代数的思维逐渐过渡到高等代数的思维搭建了桥梁，使高等代数中一些抽象的概念形象地展现给学生，使学生对新知识的理解更透彻。再例如，在讲授将一组线性无关的向量组通过施密特正交化过程化为单位正交向量组时，按公式化的形式展现给学生的效果不好，学生难以理解，可利用多媒体和数学软件将其几何意义展示在屏幕上，让学生更加直观地理解施密特正交化过程的真正含义——用已知向量减去其在已有正交向量组上的投影。

此外，在教学中可以渗透“点、线、面”教学思想，问题与问题之间以“串”的形式进行衔接，从涉及的基本概念为核心突破点，同时追溯定理的历史源头，在每一个知识结构学成后，及时把涉及的关键知识内容“串”成“线”。当每一个部分内容学完后，把每块内容之间拓展成一个“面”。例如，矩阵的特征值与特征向量的有关概念→求给定矩阵特征值和特征向量的方法→相似矩阵可对角化的条件→实对称矩阵对角化的方法。

4 教学启示

对于高等代数课程的教学，我们一线教师要在研究透教学大纲和教学目的的前提下备课，备课是一个系统工程，不仅仅是写教案，要备教材、备学生、备教法以及搜集相关教学信息。此外在用好教材的同时，要理解教材、琢磨教材并跳出教材，分清教学的侧重点。关于遇到概念、定理多，难以理解通透的问题时，要讲解透彻、全面。每讲一个概念，要抓住概念的内涵和外延，引用学生熟悉的例子进行类比讲解，将新知识与学生原有知识进行有效的衔接，有助于弄清楚概念的本质特征。在讲课时要做到概念细讲，性质及结论讲完后应以练习为主。此外，在课堂教学中，还有注重高等代数与初等数学的结合，这样便易于把握学生的学情。

牛顿曾经说过：“在学习科学时，题目比规则还有用些。”在高等代数课程的教学中，对于定理、例题及习题应注重一题多解，可通过纵横发散、知识串联、数形结合、综合沟通，达到举一反三、学细学精的目的，是培养学生发散思维的好方法。

高等代数不仅是数学学科的重要基础课程及许多后续课程学习的基础，也是数学专业硕士研究生入学考试的考试科目之一。虽然多数学校开设了一学年的高等代数课程，但是由于该课程内容多，课时依然不够，即教学内容很难进行加深与加难，达不到深度学习与研究性学习的目的，虽然后期有高等代数选讲内容的加入，但是课时相比之前的学习又递减了近乎三分之一，因此有必要在第一年学习阶段教学中适当地调整教学方式和教学内容的深、难度。期望通过对本课程的教学从各方面进行相应的改革，使学生能够对高等代数课程有着较全面、深刻的理解，同时使学生更深刻地体会数学学科的抽象严谨性，要学好数学需要逐步养成缜密的逻辑思维，学以致用。