大跨度非对称拱桥结构合理拱轴线形研究

2022-08-09李振东

甘肃科学学报 2022年4期

李振东

(1.中铁第四勘察设计院集团有限公司,湖北武汉 430063; 2.中铁建大桥设计研究院,湖北武汉 430063)

上承式拱桥建筑高度大,对地基要求高,非常适用于峡谷桥位,是山区桥梁首选桥型之一[1-2]。目前,已建铁路上承式拱桥均采用以拱顶竖轴为对称轴两侧拱轴线对称布置的对称式结构。不同于对称上承式拱桥,非对称拱桥突破了这一传统模式,能够更好地适应起伏较大的山区地形,具有更好的经济性和视觉效果[3-4]。主拱圈(拱肋)作为拱桥的主要承重结构,其拱轴线形对主拱圈成桥内力状况起着决定性作用[5-6]。合理的拱轴线形不仅是景观上的需求,更重要的是能够实现拱肋合理受力状态,使体系具有优良的强度和稳定特性,充分发挥材料的性能[7-8]。拱轴线的选取是拱桥设计的基础,也是控制施工难易程度的关键因素。因此,研究大跨度非对称拱桥结构合理拱轴线形对于拱桥的设计和施工有着非常重要的意义。

拱桥设计时,拱轴线的选择应遵循的基本原则是:线形合理,尽可能地减小与荷载压力线偏差;美观,保证与周围环境和地质条件协调;施工简单,确保施工放样容易。对于对称式拱桥,目前常用的拱轴线有悬链线、样条曲线、二次抛物线及高次抛物线等[9]。宜万线野三河大桥为非对称拱桥,采用悬链线作为拱轴线,阳发金[10]、侯春辉等[11]通过“五点法”对其拱轴线系数进行了比选,确定了合理的拱轴线形,但未将结构矢高、跨度纳入考虑。当前我国已建的非对称拱桥大多采用高次抛物线作为合理拱轴线[12-13],如谭眉冲桥、车家河大桥、南门大桥、后沟大桥、通口大桥等,将高次抛物线(包括二次抛物线)作为合理拱轴线是一种通过n次多项式逼近拱肋的压力线,使拱轴线线形与压力线之间的偏差在某种度量意义下最小。杨允表等[14]、王建东等[15]、张家琪等[16]将此方法应用于对称拱桥的拱轴线优化调整。该方法的缺陷是需要通过多次试算、比较确定拱轴线的最高幂次n,由于拱轴方程的确定因人而异,因此确定的拱轴线也存在一定的偏差;同时拱轴方程参数的物理意义也不明确。此外,有学者[17-19]对大跨度拱桥选用样条曲线作为合理拱轴线的可行性进行了研究,样条曲线可以实现拱轴线和压力线离散点的精确重合,但由于样条曲线确定的拱轴线表达式和参数众多,在工程设计中需要借助计算机辅助软件,施工放样也极为不便,故样条曲线在实际工程中并没有得到广泛应用。

针对以上现状,研究理论推导了非对称拱桥的合理拱轴线方程,提出了一种基于弯曲变形能最小和惩罚函数思想的拱轴线形优化理论,并结合智能优化算法对某大跨度非对称拱桥拱轴线形进行优化,方便快捷地确定了最佳的拱轴线形,为大跨度非对称拱桥结构合理拱轴线形的确定提供了一种技术手段。

1 合理拱轴线方程研究

非对称拱桥一般采用无铰拱体系,考虑非对称实腹式无铰拱,对其合理拱轴线方程进行研究。研究基于以下假设:(1)实腹式拱桥仅承受拱上填料作用,荷载集度满足q(x)=qd+γy,其中qd为拱顶恒载集度,γ为填料容重;(2)拱肋任意截面仅承受轴力作用,即拱轴线与压力线重合;(3)忽略拱肋的轴向变形。

以拱顶为坐标原点建立直角坐标系,y轴竖直向下为正,非对称拱桥计算图如图1所示。图1中:l1为左半拱半跨度;f1为矢高;l2为右半拱半跨度;f2为矢高。

图1 非对称拱桥计算图Fig.1 Calculation diagram of asymmetric arch bridge

基于以上假设,拱脚竖向反力为半拱的恒载质量,即

(1)

水平推力为

(2)

合理拱轴线对于x∈[-l2,l1]有M(x)=0,据此可知MA=MB=0。拱肋任意截面弯矩表示为

M(x)=MB+FBV(l2+x)-FBH(f2-y)-

(3)

令M(x)=0,得到

(4)

等式两侧对x求2阶导数,得

(5)

将q(x)=qd+γy代入式(5)得到二阶常系数线性非齐次微分方程:

(6)

解得

(7)

在原点处满足:

x=0,y=0,得到A=qd/γ,

x=0,y′=0,得到B=0,

可以确定拱轴线方程为

(8)

引入变量m1、m2分别为左、右半拱拱脚处荷载集度与拱顶荷载集度的比值:

(9)

对于左半拱,qj,A=qd+γf1,则

(10)

因此,有

(11)

令x=l1,则

(12)

同理,利用右半拱可以推导出

(13)

根据左、右半拱求解所得水平推力相同得到

(14)

由于跨度l1、l2均为正,且对于大跨度拱桥m1、m2∈ (1,3),因此式(14)可等价表示为

(15)

同时,左、右半拱满足填料荷载方程

(16)

对于非对称拱桥在l1、l2、f1、f2取定的情况下,m1、m2需要满足以下约束:

(17)

给定l1/l2或f1/f2比值可以确定m1和m2关系,对于m1、m2∈(1,3),图2和图3分别给出了函数F(m1、m2)与G(m1、m2)关于m1、m2的变化规律。图2和图3的结果表明,对于给定l1/l2或f1/f2比值,满足等式的m1和m2为一条空间曲线。

图2 F(m1、m2)与m1、m2关系曲面Fig.2 Relationship surface between F(m1、m2) andparameters m1 and m2

图3 G(m1、m2)与m1、m2关系曲面Fig.3 Relationship surface between G(m1、m2) andparameters m1 and m2

因此,实腹式非对称无铰拱的合理拱轴线方程可以表示为

(18)

可见,非对称实腹式无铰拱在填料荷载作用下,合理拱轴线由约束方程限定下的2个半跨悬链线组成。

当l1=l2=l/2、f1=f2=f时,即

(19)

为实腹式对称无铰拱的合理拱轴线方程[5-6]。

2 合理拱轴线形优化方法

空腹式拱桥既承受拱肋自重,又承受拱上立柱传来的集中荷载,其荷载压力线难以用连续光滑的函数来表示。为方便施工放样,形成非对称式拱桥合理拱轴线形确定的一般方法,研究选择2个半跨悬链线作为非对称拱桥的合理拱轴线,通过调整参数来确定拱桥的合理线形。

2.1 数学模型

为实现非对称拱桥的合理受力状态,需要通过优化理论来确定拱肋合理拱轴线形。确定优化变量是拱轴线形优化的基础,拱桥设计时根据场地、地质条件及桥位断面可确定拱脚位置和总跨度l,优化变量可以选为左、右半拱的拱轴系数m1和m2,以及左半拱的半跨度l1、矢高f1。非对称拱桥拱上立柱无需沿拱顶竖轴对称布置,但立柱的纵向间距与桥面板预制施工的标准性和便利性相关,将其作为优化变量可能给桥面板的施工带来极大不便,并增加施工成本,因此不建议将立柱纵向间距作为优化变量。在优化过程中,拱上立柱与拱顶的相对位置保持不变。拱顶位置对拱桥的受力影响较大,根据国内建设经验,非对称拱左、右半拱的跨度通常满足l1/l2处于0.35～1,同时矢跨比f1/(2l1)、f2/(2l2)在[1/5,1/3]取值较为合理[12]。为使优化能够充分搜索空间域,拱轴系数m1、m2搜索域设为(1,3)。

在应用弯曲能量最小法[20-22]对拱轴线进行优化设计时,离散状态下结构拱轴线优化的数学模型可以定义为

其中:m为单元个数;li、Ei和Ii分别为单元i的长度、弹性模量和截面惯性矩;MLi和MRi分别为单元i的始末端的弯矩;Δf为左、右拱脚高差;{M}={M1M2…Mm}T为节点弯矩向量;[B]为系数权矩阵,表示为

模型参数向量定义为

p=[f1,l1,m1,m2]T,

引入惩罚函数,将其转化为无约束非线性优化问题:

其中:α表示惩罚因子,取很大的正数,可根据U进行调整;惩罚项gi(p)、hi(p)分别为

进一步根据不等式约束确定参数的搜索域,整理得到非对称拱桥拱轴线形优化模型为

2.2 基于遗传算法的合理拱轴线形优化方法

为识别模型参数,研究提出了基于遗传算法(GA,genetic algorithm)[23]的合理拱轴线形优化方法,GA的数学模型可描述为

GA=(C,E,P0,M,Φ,Γ,Ψ,T),

其中:C表示个体的编码方法;E表示个体适应度评价函数;P0表示初始种群;M表示种群大小;Φ表示选择算子;Γ表示交叉算子;Ψ表示变异算子;T表示终止条件。

结构内力采用有限元法计算,设计MATLAB-ANSYS联合仿真程序,其流程图如图4所示。

图4 MATLAB-ANSYS联合仿真流程图Fig.4 MATLAB-ANSYS co-simulation flow chart

每优化一代均需要进行收敛性检查,当满足下述收敛条件之一时优化终止:

① 优化达到最大迭代次数iterMax;

② 连续h代最佳解决方案没有改善,即

OF(pg)|k=OF(pg)|k-h。

由于每个个体适应度函数值的计算均需要进行一次有限元分析,为提高计算效率需要对模型进行简化。采用2D弹性梁元——BEAM3单元来模拟拱肋[24],拱上荷载包括拱肋自重和由立柱传递的竖向等效节点荷载,立柱传递的荷载考虑恒载及全桥均布一半列车静活载,在最初的设计中等效荷载可以根据初步拟定的参数通过平面模型确定。

在本次研究中,遗传算法具有以下特性:(a)种群规模P=25;(b)基因数目Np=4;(c)每个基因长度Lg=13 bits;(d)染色体长度Lc=52 bits;(e)单点交叉概率Pc=0.6;(f)变异概率Pm=0.2;(g)精英主义(选择算法,将适应度较高的个体直接放在下一代中);(h) 惩罚因子α=108;(i)优化的最大迭代次数iterMax=1 000代;(j)无改进的最大步数h=500代。

3 工程应用

某高速铁路桥跨越“U”形河谷,桥址横断面如图5所示。图5中小里程侧岸坡较陡,大里程侧岸坡较缓,综合考虑结构受力合理性、施工便捷性、造价经济性和造型景观性等因素,该桥采用了非对称式上承式拱桥结构,拱脚设置在既有道路附近,主跨跨度l=292 m,左、右拱脚高差Δf=43.5 m。

图5 桥址横断面Fig.5 Cross-section view of the bridge site

设计选择2个半跨悬链线作为非对称拱桥的合理拱轴线,优化参数为左、右半拱的拱轴系数m1和m2,以及左半拱的半跨度l1、矢高f1。该桥由于线路标高的限制,将参数f1的上界设为53 m,确定的参数搜索范围如表1所列。

表1 优化参数边界

3.1 MATLAB-ANSYS联合仿真分析

根据上述原理,利用MATLAB和ANSYS编制拱轴线优化程序,通过联合仿真优化得到的参数如表2所列。

表2 参数优化结果

图6展示了目标函数逐代变化情况,算法在近700次进化后获得了全局解,最终优化结果为7.34×103。

图6 目标函数OF随时间演变历程Fig.6 Temporal evolution of the objective function

图7给出了参数f1、l1、m1和m2逐代演变情况,前期各参数变化幅度较大,在近700次进化后各参数收敛趋于稳定。

拱肋满足弯曲变形能最小和各项约束下的合理拱轴线形如图8所示,图8中虚线为线路标高所限定的拱顶最高高度。

拱肋的内力结果如图9～图11所示,其中拱肋最大弯矩7.12×104kN·m,位于右半拱的拱脚;最大轴力1.29×105kN,位于右半拱的拱脚;最大剪力5.33×103kN,位于右半拱的拱脚。

图9 拱肋弯矩图(单位:N·mm)Fig.9 Moment diagram of arch rib (Unit:N·mm)

图10 拱肋轴力图(单位:N)Fig.10 Axis diagram of arch rib (Unit:N)

图11 拱肋剪力图(单位:N)Fig.11 Shear diagram of arch ribs (Unit:N)

3.2 参数敏感性分析

为进一步研究非对称拱桥设计参数对结构体系受力的影响,为结构优化设计提供依据,对非对称拱桥的参数进行敏感性分析。

(1) 拱轴系数对拱肋弯曲变形能的影响为分析拱轴系数m1和m2对拱肋弯曲变形能的影响,取最终优化结果f1=49.93 m,l1=124.97 m,拱轴系数m1、m2在区间[1,3]变化时目标函数的变化规律如图12所示,图12的曲面投影图见图13。

图12 OF(m1,m2)与m1、m2关系曲面Fig.12 Relationship surface between OF(m1,m2) andparameters m1 and m2

图13 关系曲面投影图Fig.13 Projection diagram of relation ship surface

从图12可以看出,m1取1.37、m2取1.50时目标函数OF最小;m2相较于m1对目标函数OF影响更为敏感;当参数m1、m2在区间[1,2]之间浮动时对目标函数OF的影响相对较小,在区间[2,3]变化时对目标函数OF的影响比较显著。

(2) 拱顶水平位置对拱肋弯曲变形能的影响为分析左半拱水平长度l1对拱肋弯曲变形能的影响,取最终优化结果f1=49.93 m、m1=1.37、m2=1.50,研究参数l1在区间[72,146]变化时目标函数OF的变化规律。

图14为目标函数OF随参数l1的变化规律,当参数l1取124.97时目标函数OF最小,这与优化结论一致。在最优值两侧曲线较陡,可知参数l1对目标函数的影响较为敏感,但存在δ1>0,在l1最优值所属区间[OF(bestParaVec)-δ1,OF(bestParaVec)+δ1]范围内调整参数对目标函数OF的影响较小,对于本桥δ1取3 m。