测量数据中粗差的探测与处理

陈 磊 姚培军 孙愿平 王 兰

（1.中兵勘察设计研究院有限公司，北京 100053；2.交通运输部规划研究院，北京 100028）

0 引言

测量中反常的数据可能是测量仪器的损坏、观测环境的突然改变、观测设备的不合理操作等因素造成的[1]。在现代化的测量数据采集传输处理过程中，由于种种因素的影响会产生粗差，如不及时有效地检验处理，平差的结果会产生很大的影响，严重降低数据的精度[2]。

在抗差估计的理论研究中，除统计学研究外，国内外大地测量学领域也取得了大量成果。李德仁建立了抗差的选权迭代法[3]；周江文定义了IGG方法[4]；杨元喜系统地研究了抗差估计理论及其在大地测量与卫星统计定轨中的应用[5−6]；朱建军系统地研究了污染模型下的数据处理方法[7−9]；孙海燕系统地研究了P 范分布与P 范平差[10−11]；王新洲研究了方差分量的稳健估计[12−13]；归庆明研究了抗差岭估计[14]；欧吉坤研究了相关观测的可靠性理论及拟准检定法[15]。

本文利用传统粗差检验方法检验剔除出数据中的粗差，并通过稳健估计方法处理含有粗差的数据以及传统平差方法处理剔除过粗差的数据，并与加入粗差前的数据处理结果作对比，比较不同粗差处理方法的优缺点。经比较得出：在保证一定迭代计算次数的条件下，稳健估计能够达到抵抗粗差的目的；巴尔达粗差探测在数据中只含有一个粗差的情况下，与稳健估计相比，在满足一定精度要求的前提下，更能保证计算效率；稳健估计的原则是要充分利用观测数据中的有效信息，限制利用可用信息，排除有害信息。

1 巴尔达粗差探测及稳健估计方法的基本原理

1.1 巴尔达粗差探测的基本概念

20世纪60年代末，巴尔达（Baarda）在其著作中提出了测量可靠性理论和数据探测方法，奠定了粗差理论研究的发展基础。巴尔达提出的数据探测法，前提是一个平差系统只存在一个粗差，用统计假设检验探测粗差，从而剔除被探测到的粗差。数据探测法现在已经广泛应用于测量平差过程中[5−6]。

1.1.1 巴尔达粗差探测的基本原理

粗差检验的原理（以间接平差为例）：

对式（3）两端求期望

数据探测法原假设：观测值不含粗差，E(V)=0。作标准正态分布统计量

对式（6）作正态u检验，如果 |u|>ua/2则说明E(Vi)≠0，即 Li可能存在有误差。

1.2 稳健估计的基本原理

稳健估计讨论问题的方式是对于实际的问题有一个假定模型，同时又认为这个模型并不正确，而只是实际问题的一个近似[2]。

设不同精度独立观测值为L = ( L1, L2, ···, Ln)，相应的权矩阵为P = diag ( p1, p2, ···, pn)，其非线性误差方程为

式(7)的纯量形式为

相应的权为 pi，求解式(8) 的准则函数可表达为下列最优化问题：

式中最优化准则函数 ρ(vi)取不同的形式，可得到不同的最优化准则。

对式（9）θi求偏导数，并令其为零，得

令

将式(11) 代入式(10) 得

令

其矩阵形式为

式(15) 中，当f (X, θ) 为线性模型时，就是线性模型抗差最小二乘解，否则为非线性模型抗差最小二乘解。当f (X, θ) 为非线性模型时，式(15) 没有显表达式，方法可采用阻尼最小二乘法 。求解式(15) 之前，还必须选择最优准则函数ρ(V) 或Ψ(V)[16]。

2 算例分析

2.1 含有粗差的水准网及测量数据

针对一组含有粗差的高程网观测数据进行处理，利用巴尔达粗差探测，检验出含有粗差的观测数据。

在如图1所示的水准网中，A和B是已知高程的水准点，并设这些点已知高程无误差。图中P1、P2为待定点，A点和B点高程，观测高差和相应的水准路线长度见表1，试求各点的平差高程（在测段高差h2中人为加入0.2 m的粗差）。

表1 观测数值

图1 水准网略图

2.2 巴尔达粗差探测过程

经平差算出

经过正态假设计算，得到各观测值相关参数如表2所示。

表2 正态u结果

从表2中可以看出，观测值h2的u值明显大于其它观测值，从而断定h2是含有粗差的观测值。

2.3 剔除粗差后的平差计算

由巴尔达粗差探测方法探测到h2含有粗差，将h2剔除，对剩下的观测值进行平差计算。计算结果见表3。

表3 高程表

2.4 加入粗差前的平差计算

对已知的含有2dm的L2观测值减去相应的粗差，对不含粗差的观测值进行平差计算，计算结果如表4所示。

表4 高程值

2.5 选权迭代法处理过程

（1）列误差方程

设P1、P2点高程平差值为相应的近似值取为。

按图示列出平差值方程后，将观测数据代入即得误差方程：

（2）定权

以1 km的观测高差为单位权观测值，观测值相互独立，定权为 pi= 1/Si，则

设初始值

组成法方程BTPB−BTPl=0。

（3）解法方程得到

（5）取k=10−10， 根据 wi=定权得各观测值的一组新权因子w。

（6）重复以上（2）−（5）步骤直到改正数收敛为止。表5、表6列出了部分迭代的权因子和改正数。

表5 权因子迭代计算(h1−h3)

表6 权因子迭代计算（h4−h6）

经过27次的迭代计算，最后结果如表7所示。

表7 平差结果

将稳健估计得到的改正数代入到改正方程式，得到未知点高程的平差结果如表8所示。

表8 平差结果

3 三种平差方法的结果比较

3.1 不含粗差值的平差结果

将加入粗差前的观测数据利用传统的平差方法计算，得到如表9所示的平差结果。

3.2 巴尔达粗差探测法

通过巴尔达粗差探测方法检验出h2含有粗差，将路线二的观测值剔除，对剩下的五条观测路线利用传统平差方法进行计算，经平差得到相关参数见表10所示。

表10 平差结果

3.3 选权迭代法

通过选权迭代法处理含有粗差的观测数据后，利用传统的平差处理方法将改正后的观测数据进行处理，结果如表11所示。

表11 平差结果

三种平差方法所得到的结果见表12。

表12 比较平差结果

4 结论

（1）通过巴尔达粗差探测剔除粗差后的平差结果，平差结果绝对值与正常观测所得到的平差结果更为接近，因此在精度上略高于选权迭代法。

（2）在计算方法的复杂程度上，前者计算量要小于后者，但处理数据也具有局限性，在观测值中只含有唯一的粗差值的情况下，可以采用巴尔达粗差探测方法，将粗差值剔除后再进行平差计算，这种粗差处理方法不仅能满足一定的精度要求，也可以通过节省计算次数提高计算效率。

（3）在实际的观测过程中，由于各种因素的影响，粗差的数量是无法预计的，因此就限制了巴尔达方法的应用。当观测值中含有不止一个粗差值时，就需要采用稳健估计的方法加以处理，在牺牲计算效率的条件下，达到满足精度要求的目的。